Etude dynamique du film

 

Dans un premier temps, l'évaporation sera négligée bien qu'il s'agisse d'un phénomène majeur de l'étude. Cela permettra d'avoir un ordre de grandeur de l'épaisseur du film, ainsi que des champs de vitesses et de températures au sein de ce dernier.

 

 

Epaisseur du film liquide

 

On appellera $ \delta_f $ l'épaisseur du film liquide et $ u_f(s,y) $ la vitesse dans le film liquide. Dans le film de liquide, l'écoulement est de type Couette. Le profil de vitesse est donc un polynôme du 2ème degré, que l'on détermine avec la conservation de la quantité de mouvement dans le film liquide :

$$ \frac{\partial p_e}{\partial s} = \mu _{water} \cdot \frac{\partial ^2 u_f}{\partial y^2} $$

 

et les conditions limites suivantes :

 

condition d'adhérence à la paroi : $ \left( u_f \right) _{y=0} =0 $

 

condition de cisaillement à la surface :$ \left( \frac{\partial u_f}{\partial y} \right) _{y= \delta_f} = \tau_i = \tau_p $ calculé dans la partie 'Couche limite dans l'air'

 

La combinaison de ces 3 équations permet d'obtenir l'équation suivante pour la vitesse au sein du film :

$$ u_f(s,y) = \frac{1}{2 \mu _{water}} \cdot \frac{\partial p_e}{\partial s} y^2 + \frac{1}{\mu _{water}} \left( \tau_i - \delta_f \frac{\partial p_e}{\partial s} \right) y $$

 

Grâce à cette expression de la vitesse on va pouvoir accéder à l'épaisseur du film. En effet, par définition, le débit ruisselant vaut: $ \frac{ \dot m _{in} + \dot m_{out} } {2} = \rho_{water} \int_0^{e} \int _0 ^{\delta_f} u_f dy $ .

Cette équation devient :

$$ \delta_f = \frac{1}{\rho_{water} \bar u_f} \cdot \frac{ \dot m _{in} + \dot m_{out} } {2 e } $$

avec $ \bar u_f = \frac{1}{\delta_f }  \int _0 ^{\delta_f} u_f dy $.

 

Les 2 équations ci-dessus permettent de trouver $ \delta_f $ en résolvant l'équation suivante :

$$ - \frac{1}{3} \cdot \frac{\partial p_e}{\partial s} \cdot \frac{\delta _f ^3}{\mu _{water}} + \frac{ \tau _i}{2} \cdot \frac{\delta _f ^2}{\mu _{water}} - \frac{\dot m_{in} + \dot m_{out}}{2 \rho _{water}} =0 $$

 

En résolvant cette équation avec les données fournies par Liebherr on obtient le débit ruisselant le long de l'aile ainsi que la répartition du film le long de l'aile.

 

 

 

Analyse des courbes :

 

 

Le débit ruisselant le long de l'aile est très faible car la concentration d'eau dans les nuages est peu élevée. Le débit augmente puis sature sur l'intrados et l'extrados. Comme l'évaporation n'a pas été prise en considération les variation du débit sont dues à l'apport d'eau par les goutellettes impactantes. Cet apport cesse lorsque la limite de captation (à l'intrados ou à l'extrados) est dépassée. A partir de ce moment le débit ruisselant reste constant.

 

Sur le graphique on peut remarquer que le film est très mince (de l'ordre de $10^{-5}$ m). Cette faible épaisseur s'explique essentiellement par le fort cisaillement à l'interface du à la grande vitesse de l'air ainsi que par les faibles débits mis en jeu.

On voit que l'épaisseur du film continue d'augmenter même après que les goutelles d'eau cessent d'impacter la plaque. Cette augmentation n'est donc pas due à un apport d'eau mais à la diminution du cisaillement.

 

L'étude dynamique du film sans évaporation nous donne une épaisseur de film très faible (quelques dizaines de microns) due au fort cisaillement et au faible débit ruisselant.

 

Champs de vitesse

 

En résolvant l'équation du champs de vitesse $ u_f(s,y)$ vue dans le chapitre précédent, il est possible d'accéder à la vitesse en tout point du film.  Celle-ci est en moyenne de l'ordre de quelques cm/s.

 

Nous nous intéresserons ici au profil de vitesse au sein du film et à la vitesse à l'interface.

 

 

Sur le profil de vitesse au sein du film fluide, on peut se rendre compte que le profil est quasiment linéaire. Cela peut être expliqué par la faible épaisseur du film.

 

La vitesse du film à la surface est une valeur importante pour le calcul du coefficient $h_{water}$. C'est pourquoi nous avons choisit de tracer cette vitesse.