Etude thermique du film

 

Après avoir analysé et compris la dynamique du système, on s'interesse à la dimension thermique. L'étude précédente nous a permis de connaitre les taux de cisaillement interfaciaux, l'évolution de la couche limite de l' air, les débits caractéristiques voire les ordres de grandeurs de hauteurs d'eau.

L'analyse s'effectuera en 3 étapes : la mise en place du système d'équations, la validation du code avec le modèle d'évaporation présenté dans l'article [1] à l'aide des résultats présentés dans [8], enfin la comparaison des divers modèles d'évaporation.

 

 

Présentation des équations

 

Avant de nous lancer dans les calculs et à la recherche d'équation, il parait intéressant de faire un point sur les données et inconnues du problème.

 

 

Paramètres et données :

  •  coefficient de convection de l'air : $ h_{air} $
  • température de paroi : $ T_{wall} $
  • débit impactant : $ \dot m_{imp} $ calculé précédemment
  • nombre de Lewis : $ Le = \frac{c_{p,air} \cdot D_{water/air} \cdot \rho _{air}}{k} $

Inconnues :

  • température moyenne de l'eau : $ T_{water} $, $ T_{in} $, $ T_{out} $
  • coefficient de convection de l'eau : $ h_{water} $
  • débit évaporé : $ \dot m_{evap} $
  • débits entrant et sortant : $ \dot m_{in} $, $ \dot m_{out} $

Ce qui fait 7 inconnues.

Nous avons 5 équations :

  • température moyenne dans une maille : $$ T_{water}=\dfrac{T_{in}+T_{out}}{2} $$
  • conservation du débit : $$ \dot m_{out} = \dot m_{in} + \dot m_{imp} - \dot m_{evap} $$
  • bilan thermique : $$ \dot Q_{evap} + \dot Q_{cine} +\dot Q_{air} + \dot Q_{plaque} + \dot Q_{flux} = 0 $$ avec :
    • chaleur perdue par évaporation : $ \dot Q_{evap} = - \dot m_{evap} \cdot l_{lv}$, avec $l_{lv}$ la chaleur latente de vaporisation
    • chaleur cinétique crée par l'impact des gouttelettes : $ \dot Q_{cine} = \dot m_{imp} \cdot {{V_d^2} \over {2}} $
    • chaleur perdue par convection avec l'air : $ \dot Q_{air} = l_i \cdot e \cdot h_{air} (T_{rec} - T_{water}) $
    • chaleur gagnée par convection avec la plaque : $ \dot Q_{plaque} = l_i \cdot e \cdot h_{water} \cdot (T_{wall} - T_{water}) $
    • chaleur générée par les entrées/sorties d'eau : $ \dot Q_{flux} = \dot Q_{entrant} - \dot Q_{sortant} $ avec
      • $\dot Q_{entrant} = C_{p, water} (\dot m_{in} (T_{in} - T_{ref}) + \dot m_{impactant} (T_{d} - T_{ref}) )$
      • $\dot Q_{sortant} = C_{p, water} ( \dot m_{out} (T_{out} - T_{ref}) + \dot m_{evap} (T_{out} - T_{ref})) $

 

  • corrélation de Colburn : $$ h_{water} = \frac{1}{2} \cdot \rho_{water} \cdot u_f(s,\delta _f) \cdot c_{p,water} \cdot C_f \cdot Pr^{-2/3}$$ Remarque : le Prandt est déterminé avec les tables thermodynamiques [7]. Les $u_f$ et $C_f$ sont calculés avec les équations de la dynamiques présentées précédemment.

 

  • corrélation pour calculer le débit évaporé (sujet des parties suivantes)

 

Les conditions aux limites sont les suivantes :

 

Point d'arrêt : 1ère maille de l'extrados

  • débit entrant : $$ \dot m_{in} = 0 $$
  • débit sortant : $$ \dot m_{out} = \frac{\dot m_{imp}}{2} = \dot m_1 $$
  • température de l'eau entrante : $$ T_{in} = \frac{T_d + T_{wall}}{2} $$

1ère maille de l'intrados

 

  • débit entrant : $$ \dot m_{in} = \dot m_1 $$
  • température de l'eau entrante : $ T_{in} = T_{out} $ sortant du point d'arrêt

Ces conditions aux limites ont été établies avec les hypothèses suivantes :

  • l'eau impactant au point d'arrêt arrive à une température $T_d$, mais elle est rapidement réchauffée par la plaque, donc la température $T_{in}$ au point d'arrêt est la moyenne entre $T_d$ et $T_{wall}$.
  • au point d'arrêt il n'y a pas de débit entrant
  • le débit sortant du point d'arrêt se sépare équitablement entre l'intrados et l'extrados

Remarque : La position du point d'arrêt est calculée avec le $ C_p$ : point pour lequel $ C_p=1$.

 

Modèle sans évaporation

 

Pour avoir un ordre de grandeur des températures mises en jeu, on commencera par faire une simulation sans évaporation.

Le système d'équation sera le même que celui mis en place précédement, car en prenant $ \dot{m}_{evap} = 0 $, une inconnue est supprimée ainsi qu'une équation.

 

 

On remarque que le film est constamment à la même température que la paroi. Cela s'explique par le fait que le coefficient $h_{water}$ est très élevé(entre $10^3$ et $10^6$), ce qui implique que la plaque fournie une grande quantité d'énergie à l'eau.

Nous avons refait un calcul en considérant un transfert purement conductif au vue de la faible vitesse du film d'eau. Dans ce cas, à cause de la faible épaisseur du film $\delta_f$, nous trouvons le même ordre pour le rapport $ \frac{k_{water}}{\delta_f}$.

On peut donc conclure que ce résultat est cohérent.

L'ajout de l'évaporation va modifier la température de l'eau car l'eau va extraire de l'énergie du film pour se vaporiser, ce qui va avoir pour effet de refroidir le film. Cependant, le film va s'affiner ce qui va encore augmenter les transferts de chaleur avec la plaque.

 

Validation du code

 

Pour valider le code on va utiliser le modèle et les résultats des articles [1] et [8].

 

Présentation du modèle

 

Dans le premier modèle, utilisé dans [1], le débit évaporé est calculé ainsi :

$$ {\dot m_{evap}}=l_i \cdot e \cdot \dot m_{evap}^{"} $$

 

avec:

$$ \dot m_{evap}^{"}=g_m \cdot B_m $$

 

$$ g_m = St \cdot G \cdot Le^{2/3} \cdot \frac{ln(1+B_m)}{B_m} $$

 

$$ B_m = \frac{Y_s-Y_ \infty}{Y_s-1} $$

 

$$ Y_s = \frac{P_{vs} \cdot M_{air}}{P_{tot} \cdot M_{water}} $$

 

Le nombre de Lewis ($ Le = C_{p,air} \cdot D_{water/air} \cdot \rho _{air}/k $) nous est donné de façon empirique par l'entreprise Liebherr (Le=0.89). Le nombre de Stanton est calculé comme suit : $ St=h_{air}/(c_{p,air} \cdot \rho _{air} \cdot U_e )$ .

 

Pour le calcul de la pression de vapeur saturante à l'interface, on peut prendre comme température celle de l'eau, après calcul du nombre de Biot [9].

 

Convergence et précision du maillage

 

 

La discrétisation du bord d'attaque que l'on modélise a été donnée par Liebherr. On commence les calculs au point d'arrêt. On incrémentera les débits et les températures comme suit :

  • continuité des débits : $$ \dot m_{in}(i) = \dot m_{out}(i-1) $$
  • continuité des températures : $$ T_{in}(i) = T_{out}(i-1) $$

Pour la convergence, on effectue une boucle dans laquelle les températures de l'eau, de sortie, d'entrée ainsi que les débits sont recalculés sur un grand nombre d'itérations par maille.

 

 

Résultats

 

Pour valider les résultats deux tests ont été effectués. Dans le premier, le coefficient $ h_{water}$ utilisé est celui présenté dans le graphique de l'article. Dans le second cas, comme le $ \delta_f$ est de l'ordre de $ 10^{-6}$m, il a été supposé que la température du film était homogène et égale à la température de la paroi.

 

      1.  $ h_{water}$ conforme à l'article :

L'article nous fournit les valeurs de h suivantes :

 

 coefficients d'échanges convectifs, source [8]

Sur ce graphique, le $ h_{air} $ a été pris égal au $ h_{convective} $. Pour cela, différentes hypothèses ont été faites :

  • le coefficent $ h_{convective} $ a été mesuré lorsque la plaque n'été pas mouillée
  • l'eau a une température proche de celle de la paroi
  • l'eau est vue comme un mur par l'air du fait de sa faible vitesse

En ce qui concerne le $ h_{water} $ il a été considéré égal au $ h_{overall} $

 

Avec ces conditions initiales on obtient les résultats suivants :

On remarque qu'avec notre code, l'évaporation est grandement sous-estimée en comparaison avec les résultats de l'article. Cependant, les résultats obtenus semblent cohérents au vue des conditions initiales. En effet, la température du film va baisser à cause des pertes thermiques induites par l'évaporation. De plus, on voit sur le graphique que le coefficient d'échanges convectifs $h_{water}$ diminue le long de l'aile, ce qui va amplifier la baisse de température du film et donc limiter l'évaporation.

 

Au vu des résultats obtenus, on peut supposer que notre compréhension des coefficients d'échanges convectifs présentés dans l'article a été mauvaise. C'est pourquoi, il a été décidé d'effectuer un deuxième test en considérant que la finesse du film nous autorisait à considérer que celui-ci avait une température égale à celle de la plaque.

 

    2. $T_{water} = T_{wall}$} :

En supposant que la température du film vaut celle de la paroi, on obtient les résultats suivants :

Avec ces conditions initiales, les deux courbes sont très proches. On peut donc supposer que notre interprétation précédentes des valeurs de h était erronée. De plus, ces résultats semblent cohérents car pour une épaisseur de film si faible, il semble logique de ne pas avoir de grand gradient de température.

On peut donc dire, que notre code est validé par l'article en prenant une température de film valant celle de la paroi.

 

 

En conclusion l'étape de validation nous a permis de constater que notre système d'équation et nos conditions limites sont cohérentes puisque l'on obtient des ordres de grandeurs égaux à ceux de l' article en terme de zone d'assèchement, de débit. Nous pourrons noter que le système est très sensible aux choix des conditions limites et de certains paramètres tel que le coefficient de convection $h_{water}$. Ainsi une étude plus poussée pourrait permettre d'avoir une meilleure prédiction de ces paramètres.

 

Le code étant validé avec les résultats de [8], nous pouvons effectuer des calculs avec les conditions de vol de Liebherr. De plus l' entreprise nous ayant fourni deux autres modèles d'évaporation, nous pourrons donc comparer les différents modèles.

 

Comparaison avec les autres modèles

 

Les deux modèles sont similaires. Ils se composent d'un terme de coefficient de diffusion de vapeur utilisant l'analogie de Chilton Colburn ($ \frac{h_{air}}{c_{p,air}} \cdot \frac{1}{Le^{2/3}} $) et d'un terme de différence de concentration de vapeur entre la surface du profil et l'air extérieur.

 

Modèle 1

Le modèle de Messinger, publié en 1951, s'écrit :

$$ \dot m_{evap}=\frac{h_{air}}{c_{p,air}} \cdot \frac{1}{Le^{2/3}} \cdot \frac{M_{water}}{M_{air}} \left[ \frac{P_v(T_{wall})}{P_{st}} \cdot \frac{T_{st}}{T_{wall}}-\frac{P_v(T_{st})}{P_{st}} \right] \cdot l_i \cdot e $$

 

Modèle 2

Cette formulation, développée par Gary Ruff en 1986, s'écrit :

$$\dot m_{evap}= \frac{h_{air}}{c_{p,air}} \cdot \frac{1}{Le^{2/3}} \cdot \frac{\frac{P_v(T_{wall})}{T_{st}}-\frac{P_{tot}}{T_{tot}} \cdot \frac{P_v(T_{st})}{P_{st}}} {\frac{M_{air}}{M_{water}}\frac{P_{tot}}{T_{tot}}-\frac{P_v(T_{wall})}{T_{st}}} \cdot l_i \cdot e $$

 

Comparaison

On constate que ces modèles donnent un résultat équivalent. Sur la figure, on constate que l'aile s'assèche très rapidement. De plus les débits évaporés sont presque les mêmes comme peut le montrer le graphe. La puissance thermique envoyée sur l'aile est sur-évaluée par le système d'anti-givrage de Liebherr, ce qui a pour conséquence un assèchement très rapide de l'aile.

 

Conclusion

Le choix du modèle d'évaporation ne semble pas beaucoup influencer les résultas, les paramètres ayant un fort impact étant plutôt les coefficients de convection $ h_{air} $ et $ h_{water} $, et ce du fait de la très faible hauteur du film d'eau. Il semble étrange d'avoir une telle différence entre les valeur des h que nous calculons et ceux de l'article [8].

 

La résistance à l'évaporation n'est pas prise en compte dans ces différents modèles car elle n'intervient que pour des hauteur de film de l'ordre de $ 10^{-8} $ m.