Présentation des équations

 

Avant de nous lancer dans les calculs et à la recherche d'équation, il parait intéressant de faire un point sur les données et inconnues du problème.

 

 

Paramètres et données :

•  coefficient de convection de l'air : $ h_{air} $
• température de paroi : $ T_{wall} $
• débit impactant : $ \dot m_{imp} $ calculé précédemment
• nombre de Lewis : $ Le = \frac{c_{p,air} \cdot D_{water/air} \cdot \rho _{air}}{k} $

Inconnues :

• température moyenne de l'eau : $ T_{water} $, $ T_{in} $, $ T_{out} $
• coefficient de convection de l'eau : $ h_{water} $
• débit évaporé : $ \dot m_{evap} $
• débits entrant et sortant : $ \dot m_{in} $, $ \dot m_{out} $

Ce qui fait 7 inconnues.

Nous avons 5 équations :

• température moyenne dans une maille : $$ T_{water}=\dfrac{T_{in}+T_{out}}{2} $$
• conservation du débit : $$ \dot m_{out} = \dot m_{in} + \dot m_{imp} - \dot m_{evap} $$
• bilan thermique : $$ \dot Q_{evap} + \dot Q_{cine} +\dot Q_{air} + \dot Q_{plaque} + \dot Q_{flux} = 0 $$ avec :
  • chaleur perdue par évaporation : $ \dot Q_{evap} = - \dot m_{evap} \cdot l_{lv}$, avec $l_{lv}$ la chaleur latente de vaporisation
  • chaleur cinétique crée par l'impact des gouttelettes : $ \dot Q_{cine} = \dot m_{imp} \cdot {{V_d^2} \over {2}} $
  • chaleur perdue par convection avec l'air : $ \dot Q_{air} = l_i \cdot e \cdot h_{air} (T_{rec} - T_{water}) $
  • chaleur gagnée par convection avec la plaque : $ \dot Q_{plaque} = l_i \cdot e \cdot h_{water} \cdot (T_{wall} - T_{water}) $
  • chaleur générée par les entrées/sorties d'eau : $ \dot Q_{flux} = \dot Q_{entrant} - \dot Q_{sortant} $ avec
    • $\dot Q_{entrant} = C_{p, water} (\dot m_{in} (T_{in} - T_{ref}) + \dot m_{impactant} (T_{d} - T_{ref}) )$
    • $\dot Q_{sortant} = C_{p, water} ( \dot m_{out} (T_{out} - T_{ref}) + \dot m_{evap} (T_{out} - T_{ref})) $

 

• corrélation de Colburn : $$ h_{water} = \frac{1}{2} \cdot \rho_{water} \cdot u_f(s,\delta _f) \cdot c_{p,water} \cdot C_f \cdot Pr^{-2/3}$$ Remarque : le Prandt est déterminé avec les tables thermodynamiques [7]. Les $u_f$ et $C_f$ sont calculés avec les équations de la dynamiques présentées précédemment.

 

• corrélation pour calculer le débit évaporé (sujet des parties suivantes)

 

Les conditions aux limites sont les suivantes :

 

Point d'arrêt : 1ère maille de l'extrados

• débit entrant : $$ \dot m_{in} = 0 $$
• débit sortant : $$ \dot m_{out} = \frac{\dot m_{imp}}{2} = \dot m_1 $$
• température de l'eau entrante : $$ T_{in} = \frac{T_d + T_{wall}}{2} $$

1ère maille de l'intrados

 

• débit entrant : $$ \dot m_{in} = \dot m_1 $$
• température de l'eau entrante : $ T_{in} = T_{out} $ sortant du point d'arrêt

Ces conditions aux limites ont été établies avec les hypothèses suivantes :

• l'eau impactant au point d'arrêt arrive à une température $T_d$, mais elle est rapidement réchauffée par la plaque, donc la température $T_{in}$ au point d'arrêt est la moyenne entre $T_d$ et $T_{wall}$.
• au point d'arrêt il n'y a pas de débit entrant
• le débit sortant du point d'arrêt se sépare équitablement entre l'intrados et l'extrados

Remarque : La position du point d'arrêt est calculée avec le $ C_p$ : point pour lequel $ C_p=1$.