Etude paramétrique

Etude paramétrique des temps caractéristiques

Etude paramétrique des temps caractéristiques

Etude paramétrique du temps d'attente

Les modèles de Basu et Al et Yeoh et Al donnent des modélisations du temps d’attente différentes. Dés lors, il serait intéressant de les comparer dans des conditions identiques pour estimer les écarts potentiels entre les deux modèles. De plus, le modèle de Yeoh et al dépend des angles de mouillage, il serait donc intéressant de voir sa sensibilité à ceux-ci.

Le temps d’attente selon la corrélation de Yeoh et Al s’écrit :

$$t_w=\frac{1}{ \pi \eta} (\frac{(T_w-T_l) C_1 r_c}{(T_w-T_{sat})-\frac{2 \sigma T_{sat}}{C_2 \rho_g h_{lg} r_c}})²$$

avec

$$r_c=(\frac{1}{C_1 C_2})^{\frac{1}{2}}(\frac{2\sigma T_{sat}k_l}{\rho_g h_lg \Phi_w})^{0,5}$$

$$C_1=\frac{(1+cos \theta)}{sin \theta}$$

$$C_2=\frac{1}{sin\theta}$$

Les simulations ont été effectuées à pression atmosphérique car les corrélations de Basu et al ne sont valides qu’entre 1 et 3,2 bars.

Les écarts entre les temps d’attente proposés par les deux modèles sont très conséquents. En effet, à faible surchauffe, le rapport des temps est de l’ordre de 10². Des études, notamment la thèse [12] de monsieur Montout avec les données de Maity[13], montrent qu’aucune de ces modélisations ne prédit fiablement le temps d’attente réel. Le modèle de Basu surestime fortement le temps réel et le modèle de Yeoh sous-estime celui-ci. Ensemble, ils permettent d’encadrer la fourchette d’ordre de grandeur.

Par ailleurs, il convient de remarquer que selon le modèle de Yeoh et al, une erreur de
30° entraine une erreur de l’ordre de 10% à forte surchauffe allant jusqu’à 30% à faible
surchauffe.

Comparaison des temps d'attente et de décollage selon Basu[14]

Selon le modèle de Kurul et Podowski, le temps de croissance est négligeable devant le temps d’attente. Dés lors, il parait intéressant de comparer ces deux temps pour estimer les limites de validité de cette hypothèse. Etant donné que nous ne disposons pas de données expérimentales, nous nous proposons de faire cette étude avec le modèle de Basu.

Ainsi, l’hypothèse est valide à faible surchauffe. En effet, à partir 10°C à pression atmosphérique, l’hypothèse est erronée car le temps de croissance devient supérieur au temps d’attente.

Densité des sites de nucléation

Densité de site de nucléation

La densité de site de nucléation permet de quantifier le nombre de sites actifs par unités de surface sur la paroi, elle dépend de l’état de la paroi et donc du temps. On dispose de très peu d’informations concernant celle-ci. Néanmoins, quelques corrélations permettent de la modéliser.

La corrélation de Lemmert et Chwala [8]

Dans la corrélation de Lemmert et Chawla la densité de site de nucléation actifs dépend uniquement de la surchauffe. Ainsi,

$$N_a=[210(T_w-T_{sat})]^{1,8}$$

La corrélation de Mikic et Rosenhow [15]

Elle donne le nombre de cavités de rayon supérieur à r 0 activée. Le paramètre m est égal à 4 ou 5.

$$N_a=(\frac{r_0}{r})^m$$

$$N_a=(\frac{r_0 (T_l - T_{sat}(P_l))h_{lg}}{2 \sigma (T_0) T_sat(P_0) v_v})^m$$

La corrélation de Basu et al. [14]

Lors du développement de leur modèle, Basu et al ont fourni cette corrélation empirique :

$N_a=0,34.10^4[1-cos(\Phi)] \Delta T_{sat}²$ si $\Delta T_{sat}<15$

$N_a=0,34.10^4[1-cos(\Phi)] \Delta T_{sat}^{5,3}$ si $\Delta T_{sat}\geq 15$

Simulation et interprétation

Les paramètres de la simulation pour la corrélation de Rosenhow est r0=250µm et m=4 pour avoir le même ordre de grandeur que les autres corrélations. Ainsi, on remarque que selon l’angle φ choisi, la corrélation de Basu varie trés fortement. Elle tend à rejoindre la corrélation de Lemmert et Chwala pour des angles assez importants. On choisit donc la corrélation de Lemmert et Chwala comme corrélation de référence.

Détachement et décollage de bulles

Détachement et décollement des bulles

Inventaire des forces

L’écoulement est de type ascendant dans un tube vertical. L’axe x est orthogonal à la paroi et l’axe y est tangent à la paroi et est orienté vers le haut (Cf. configuration de la bulle). Vu que l’on s’intéresse au détachement et au détachement de bulle, on s’intéressera particulièrement à la projection du produit fondamental de la dynamique suivant l’axe x. L’inventaire des forces s’exerçant sur la bulle est le suivant :

  • La force de flottabilité :  $F_b=V_b(\rho_l-rho_g)g$
  • La force de tension de surface : $F_s=2\int{\pi}^{0} \sigma r_c t(s) ds$

Elle est simplifiée grâce aux travaux de Klausner et al.  Ainsi, la composante intéressante de la force capillaire est approximée par :  $F_{sx}≈2 r_c \sigma \frac {pi}{\alpha _\beta}(cos \beta - cos  \alpha)$

$r_c$: représente le rayon du pied de la bulle

t le vecteur unitaire tangent à la surface de la bulle et perpendiculaire à la ligne de contact triple

s l’angle polaire le long du pied de la bulle

α et β les angles de contact (cf. configuration de la bulle)

  • La force de pression de contact : $F_{cp}=(P_g -P_l)\pi r_c²=\frac{2 \sigma}{r_r}\pi r_c²e_x$

$P_g -P_l$ la différence de pression au pied de la bulle

$r_r$ le rayon de courbure au pied de la bulle entre 5R et 2R (modèles)

  • La force de portance : $F_l=\rho_l C_l V_b (U_l-U_b)\land rot U_l$

Le coefficient de portance est modélisé grâce à la corrélation de Legendre et Magnaudet [16] qui s’écrit : $C_l=\sqrt{(C_l^{low})^2+(C_l^{high})^2}$

Avec $C_l^{low}=\frac{6}{\pi}\frac{2,255}{sqrt{Re_b S_r}(1+0,2 \frac{Re_b}{S_r})^{\frac{3}{2}}}$  , $C_l^{high}=\frac {1}{2}\frac{1+16/Re_b}{1+29/Re_b}$ et $S_r=\frac{2 \omega R}{|U_l-U_b|}$

  • La force de trainée : $F_d=\frac{1}{2}\rho_l \pi C_d R²||U_l-U_b||(U_l-U_b)$ 

Le coefficient de portance utilisé est celui développé par Legendre et al [16]: 

$$C_d=\frac{48}{Re_b}(1+g(s)-(1+s^{-3})\frac{2,211}{Re_b^{0,5}}+O(Re_b^{-5/6})$$

  $s=\frac{distance entre le centre de deux bulles}{rayon des bulles}$s=2 dans le cas de deux bulles en contact

$g(s)=s^{-3}+\frac{3}{4}s^{-6}+O(s^{-7})$:la correction de Kok

  • La force d’inertie : $F_I=- \rho_l \frac {d}{dt}(V_b(t)(U_b-U_l))-\rho_l C_{am1xy}\frac{d}{dt}(V_b(t)(U_b-U_l))- \rho_l V_b(t)(C_{am2} \frac{(dR/dt)²}{R}+C_{am3} (\frac{d²R}{dt²}))e_y$

D’après les travaux de Legendre et al [16] : $C_{am1x}=0,636$, $C_{am1y}=0,784$ ,$ C_{am2}=-\frac{1}{2}$, $C_{am3}=-\frac{1}{2}$

Diamétre de détachement

 Diamètre de détachement

  Lorsqu’ un germe de vapeur est piégé sur un site de nucléation, une bulle de vapeur d'eau est crée et grandis sur la paroi sous l'effet de la surchauffe pariétale. Ces bulles grandissent jusqu'à atteindre un diamètre maximal où elles se détachent de la paroi. On parle alors d'un diamètre de détachement. La connaissance de ce diamètre permet de connaître les temps caractéristiques des différents phénomènes d'échange de chaleur entre la paroi et le liquide.

                                                

                                                          Configuration de bulle étudiée

  Des expériences ont été réalisées par plusieurs auteurs et des corrélations ont été développées afin d'établir une relation entre le diamètre de détachement et les propriétés physiques de l'écoulement ambiant.
Dans cette partie, on présentera la corrélation de Basu et al. ainsi que la corrélation analytique établie à partir du bilan de forces agissant sur la bulle. On comparera ensuite ce résultat analytique la base expérimentale de Maity (2000) en étudiant l'influence des angles α et β.

  Corrélation de Basu et al.

  La corrélation principale utilisée pour sa modélisation est celle développée par Basu que l’on rappelle ici :

            

            

Avec,
lc : longueur capillaire
Jasup : Nombre de Jacob basé sur la sous saturation
Jasat : Nombre de Jacob basé sur la surchauffe pariétale
Ø : l’angle de contact statique pour lequel aucune fermeture n'est proposée.
Cette corrélation a été développée dans le domaine suivant :

 

                                                    

 

Relation obtenu à partir du bilan des forces

  Une autre relation a été obtenue par Montout (2009) à partir d'un bilan de forces agissant sur la bulle. L'expression trouvée par Montout est donnée par la relation suivante :

                        

  La fonction h(α,β) à la forme suivante :

 

                               

Comparaison avec les données expérimentales de Maity (2000)

 

  La relation précédente sera comparée avec les données expérimentales eau/vapeur développée en pression atmosphérique par Maity. Il s'agit des seules données disponibles pour le moment qui donnent les valeurs des diamètres de détachement.

 

                              

 

 

Calcul du paramètre K

  Le paramètre K utilisé dans la formule précédente intervient dans la loi de croissance de la bulle. La loi choisie est la loi de croissance de bulle contrôlée par les effets diffusifs proposée par Zuber rappelée ici :
  Les résultats expérimentales de la croissance de la bulle de Maity trouvés pour une vitesse du liquide de 0,25m/s et ΔTsub=0,2°C et ΔTsat=5,3°C sont présentée sur la figure suivante.

 

                                

Évolution du diamètre de la bulle en fonction du temps

  Le nombre de Jacob est calculé à partir de ΔTsat dans le tableau précédent, on trouve alors k=0,83.

Choix des angles α et β :

  Au moment de détachement, il est difficile de connaître les valeurs exactes des angles α
et β. Donc une étude paramétrique sera réalisée afin de voir l'influence de ces angles sur
les résultats obtenus.

Résultats :

  Le tableau suivant montre les valeurs obtenues pour le diamètre de détachement pour
plusieurs valeurs d'angles α et β :

 

   

Tableau récapitulatif des résultats du diamètre de détachement

  On remarque que le choix des angles de contact entre la bulle et la paroi a une influence énorme sur les valeurs du diamètre de détachement obtenues.
  Le bon accord avec le résultat de Maity est obtenu avec les valeurs de α=80° β=40° où l'erreur est inférieure à 10 %.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Diamètre de décollage

 Diamètre de décollage

 Après que la bulle ait atteint son diamètre de détachement, deux scénarios sont possibles :

  -  Décollage immédiat de la paroi.
  - Glissement sur la paroi et croissance de la bulle jusqu'à atteindre un autre diamètre plus grand où le décollage à lieu.
 Dans les deux cas on parle d'un diamètre de décollage.

 

                                                             

Glissement et décollage de la bulle après détachement de la paroi

 

Plusieurs corrélations sont proposées pour le diamètre de décollage. Nous allons citer les différentes corrélations utilisées et ensuite nous les comparerons avec la base expérimentale de Situ et al.

 

Corrélation de Basu et al.

  Elle a la même forme que celle du diamètre de détachement. Elle a été aussi développée à partir des données expérimentales eau/vapeur de Maity (2000)

  Les paramètres qui intervient dans cette expression ont déjà été définis dans la partie (diamètre de détachement )
 

Corrélation de Ünal et Boree et al.

  C'est la version finale des formules de Kurul et Podowski et celle de Ünal, elle s'écrit sous
la forme suivante :

                                              

 

où a et b et φ sont des paramètres définis par :

                      

 

 : une constante dépendant des propriétés physiques de la paroi et du fluide :

  où :
  kw : représente la conductivité thermique de la paroi, ρw la masse volumique de la paroi et Cw la chaleur spécifique de la paroi.

  Le domaine d’établissement de cette corrélation dimensionnelle est proposé dans le tableau suivant. Il concerne exclusivement les écoulements eau/vapeur.

 

                   

 Domaine de validité de la corrélation de Borée et al.

 

  Borée et al. ont étendu le domaine d'utilisation de cette corrélation pour comprendre les écoulement faiblement sous-saturé. Pour cela ils ont modifié l'expression de la constante b.

 

 avec  Stlim =0,0065

Relation obtenu à partir du bilan des forces

Vitesse de bulle

A partir d'un bilan de forces agissant sur la bulle pendant son glissement sur la paroi, Montout aboutit à une autre expression du diamètre de décollage. La projection de ce bilan de forces sur les deux axes est donnée par :

$$x \rightarrow -\frac {1}{8} \rho_l \nu_l²( \frac{5}{3} \frac{K^4 J_a^4}{Pr_l^2}+52,9 \frac {K² J_a²}{Pr_l})+ \frac{1}{2}C_l R²V_r =0$$

$$y \rightarrow -\frac {19}{24} \rho_l R² \frac{dV_r}{dt}- \frac{1}{4} \mu_l V_r (52,9+ \frac {19 K^2 J_a^2}{4 Pr_l})+ \frac{4}{3}(\rho_l -\rho_g) R² g =0$$

Ainsi, grâce à ces travaux, lorsque le paramètre K est supposé constante dans la loi de croissance de Zuber qui s’écrit : $R(t)=KJ_a sqrt(\eta t)$, il est possible d’obtenir une expression analytique de la vitesse relative des bulles en connaissant le diamètre de détachement qui fera office de condition initiale.

Ainsi,

$$V_r(t)=\frac{\epsilon_2}{1-\epsilon_1}t+\epsilon_3 t^{\epsilon_1}$$

Avec,

$$\epsilon_1=-(\frac{6}{19} \frac{52,9 \nu_l}{K²J_a²\eta_l}+\frac{3}{2})$$

$$\epsilon_2=\frac{32}{19}g$$

$$t_0=\frac {D_d²}{4K² J_a² \eta_l}$$

$$\epsilon_3=-(U_l\frac{D_d}{2}+\frac{\epsilon_2}{1-\epsilon_1}t_0)/t_0^{\epsilon_1}$$

Où $U_l$est la vitesse du liquide au centre de la bulle

Des simulations ont été réalisées grâce aux données de la thèse de Maity pour les diamètres de détachement, avec l’hypothèse d’un paramètre K constant dans la loi de Zuber. En lissant l’évolution des diamètres en fonction du temps, le paramètre K est de l’ordre de 0,83 en moyenne, ce qui semble assez cohérent avec les données de l’expérience numéro 2. Aux temps longs cependant, il convient de noter que le modèle diverge par rapport aux expériences. La vitesse débitante est de 0,25m/s.

  A partir d'un bilan de forces agissant sur la bulle pendant son glissement sur la paroi, Montout aboutit à l'expression suivante du diamètre de décollage :

 

                                  

 

Avec
Cl : le coefficient de portance
Vr : la vitesse relative.

Comparaison des résultats avec les données expérimentales de Maity(2000)

 On compare les valeurs du diamètre de décollage obtenue avec chaque corrélation avec les valeurs expérimentales de Maity (cf. Tableau de Maity). Le tableau suivant montre les résultats obtenus :

 

 Pour le cas i : le modèle local basé sur le bilan des forces réduit bien l'écart entre les corrélations et l'expérience, pourtant cet écart reste encore important (17,5%).

 Pour le cas ii : le modèle de Basu et al présente l'écart le moins important (9%).

 Comme on peut le remarquer, aucune des corrélations marche bien dans les deux cas donc il n'est pas évident de conclure sur ces résultats.

 

Comparaison des résultats avec les données expérimentales de Situ

  On comparera les corrélations précédentes avec la base de données de Situ et al établie à pression atmosphérique.

 

                                          

Données expérimentales de Situ et al.

 

 Le tableau suivant montre les résultats obtenus :

 

 

Comparaison des corrélations avec les données expérimentales de Situ et al.

 

 Les corrélations de Basu et al. et de Borée et al. sur-estiment beaucoup les diamètres de décollage trouvés par Situ et al. On retrouve la même remarque avec le modèle basé sur le bilan des forces pour les deux derniers cas.

 Pourtant, les valeurs trouvées à partir du bilan des forces dans les 3 premiers cas sont plus proches des données expérimentales de Situ et al. Les écarts trouvés ne dépassent pas 35 %. Ce modèle peut alors constituer une bonne amélioration des modèles précédents.