Validation du code en convection naturelle

Avant de lancer le calcul sur une situation réelle, il est nécessaire de valider le code sur des situations tests, soit en validant des cas théoriques simples, soit en retrouvant des résultats expérimentaux. Dans notre cas, il existe assez peu de résultats théoriques, mais de nombreux résultats expérimentaux ont été publiés. La convection naturelle entre deux plaques planes a longtemps été étudiée, dans diverses configurations. Nous étudierons deux cas particuliers de convection naturelle :

L'étude portera sur le comportement du nombre Nusselt à différents nombres de Rayleigh pour de l'air lors de la validation.

Nombre de Nusselt

Le nombre de Nusselt représente un flux de chaleur convectif adimensionné par le flux conductif correspondant au même écart de température et sera défini comme suit tout au long de notre étude :

\begin{equation} \boxed{Nu=\dfrac{1}{l^2} \int_0^l \int_{0}^l \left( u^* T^* - \dfrac{ \partial T^*}{\partial y^*} \right) dxdy}\end{equation}

 

où les grandeurs $.^*$ sont des grandeurs adimensionnées :

\begin{eqnarray} u^* &=& \dfrac{u l}{\kappa} \\ y^* &=& \dfrac{y}{l} \\ T^* &=& \dfrac{T-T_{froid}}{T_{chaud}-T_{froid}} \end{eqnarray}

Les grandeurs $l$, $\kappa$, $u$, $T_{froid}$ et $T_{chaud}$ réprésentent respectivement la hauteur de la boîte, la diffusivité thermique du fluide, la vitesse du fluides et les températures des parois.

Nombre de Rayleigh

Le nombre de Rayleigh compare les transferts thermiques par conduction aux transferts par convection. On le définit comme :

\begin{equation} \boxed{Ra=\dfrac{g \alpha l^3 }{\nu \kappa}}\end{equation}

avec $\alpha$ un coefficient de dilatation thermique et $g$ l'accélération de la gravité.

Loi de Gay-Lussac (air)

Pour un écoulement d'un gaz chauffé, les variations de densité doivent être prises en compte. Pour une transformation à pression constante, la loi des gaz parfaits donne :

\begin{equation}P=\rho r T \end{equation}

ce qui donne $\rho T= constante$. On obtient donc la loi de Gay-Lussac :

\begin{equation}\boxed{\rho_1 =\rho_0 \dfrac{T_0}{T_1}}\label{gaylussac}\end{equation}

Code source du fichier Fortran 77 (NCELET est le nombre de cellules) :


    DO IEL = 1, NCELET
        PROPHY(IEL,IROM(IPHAS)) = RO0(IPHAS) *T0(IPHAS) /W1(IEL)
    ENDDO

Modèle de Boussinesq (liquides)

L'écoulement est considéré comme incompressible mais les sources thermiques modifient la densité dans le terme de gravité des équations de Navier-Stokes uniquement.

\begin{equation} \boxed{\dfrac{\rho}{\rho_0} = 1-\alpha (T-T_0) }\label{boussinesq}\end{equation}

où $\rho_0$ est une densité de référence et $\alpha$ une constante qui dépend du fluide.

Code source du fichier Fortran 77 (NCELET est le nombre de cellules) :


    DO IEL = 1, NCELET
        PROPHY(IEL,IROM(IPHAS)) = RO0(IPHAS) *(1-
        & alpha*(W1(IEL)-T0(IPHAS)))
    ENDDO

Cavité carrée

Corrélation de Wright

Nous essayons de trouver une relation qui lie le nombre de Nusselt au nombre de Rayleigh. Dans notre cas de convection naturelle en cavité carré, la corrélation de Wright nous donne :

\begin{equation}   Nu=
\begin{cases}
    0,028154 Ra^{0,4134},& \text{si } Ra \le 5\cdot 10^4\\
    0.0673838Ra^{1/3}, & \text{si } 5\cdot 10^4 \le Ra  \le 10^6 \\
\end{cases} \label{wright_corr}
\end{equation}

Géométrie et maillage

Nous utilisons comme paramètres de calcul un maillage carré non structuré de 5 cm de côté, avec 20 cellules par centimètre.

 

Résultats qualitatifs

Nous observons le champ de température avec $Ra = 1371$ et $Ra = 1.6779\cdot 10^6$.

 

 

Champ température Champ température

 

La paroi chaude de gauche réchauffe le fluide, le dilate et le fait donc monter par gravité. Il est ensuite refroidi à la paroi de droite où plus dense, il descend. Les vitesses au milieu sont faibles, le transfert thermique se fait essentiellement par conduction.

Comparaison avec la corrélation

Quatre valeurs de Rayleigh ont été testées et comparées avec la corrélation de Wright. Les résultats de NEPTUNE semblent satisfaisants pour ce cas test.

Champ température

Plaques planes horizontales

Corrélation de Dropkin-Somerscales

On réalise une deuxième étude comparative qui donne encore une fois le nombre de Nusselt en fonction du Rayleigh. Le but de cette étude est de comparer les simulations NEPTUNE_CFD avec la corrélation expérimentale de Dropkin-Somerscales (1965) pour des plaques horizontales :

\begin{equation}Nu=0,069Ra^{1/3} Pr^{0,074} \end{equation}

Géométrie

Cette corrélation est valable pour deux plaques planes horizontales et parallèles de longueur $L$ et de hauteur $h$ à la limite $L/h \to \infty$. Dans notre étude, on impose $L/h=10$. Nous simulons en premier lieu avec de l'air. Les parois latérales sont adiabatiques. Le maillage utilisé comporte 100 mailles par côté.

 

Champ température

Résultats qualitatifs

Nous observons le champ de températures pour $Ra=1,1587\cdot 10^6$. Les rouleaux de convection caractéristiques de l'instabilité de Rayleigh-Bénard sont bien visibles.

Champ température

 

Comparaison avec la corrélation

Calcul du coefficent de compressibilité pour l'oxygène

Nous utilisons les tables thermodynamiques de l'oxygène liquide données par le National Institute of Standards and Technology, sur une plage allant de $55K$ à $154K$. Nous calculons le coefficient $\alpha$ du modèle de Boussinesq à $100K$ .

Boussinesq

L'hypothèse de Boussinesq est donc valable entre $55K$ et $125K$ et $\alpha=0.0049K^{-1}$.

Pour de l'air, l'état stationnaire est facilement atteint, grâce à la faible densité du gaz. La loi de Gay-Lussac est codée dans la subroutine usphyv.F, qui définit les propriétés physiques des phases.

Corrélation Ra-Nu

Les résultats de NEPTUNE semblent ici aussi tout à fait satisfaisants quelque soit le fluide, et sur une plage de nombre de Rayleigh relativement large. La convection naturelle étant donc validée, nous passons donc à l'étape d'ébullition.