Gazéification de la biomasse en lit fluidisé croisé : développement d'un code 1D

 

Réalisé par :

ALILOU Youssef youssef.alilou@etu.enseeiht.fr  
ER-RAIY Aimad aimad.erraiy@etu.enseeiht.fr
NADZRU Nazeh nazeh.nadzru@etu.enseeiht.fr  

 

Encadré par :

Renaud Ansart

Mehrdji Hemati

 


Ce projet repose sur la gazéification de la biomasse en lits fluidisés circulants croisés pour produire du biocarburant utilisé directement à l'échelle d'un foyer. Au point détaillé, le sujet focalisé sur le développement d'un outil pour dimensionner la hauteur optimale du réacteur de combustion.


Introduction

     Ce projet a été proposé par le laboratoire de Génie Chimique (LGC) dans le cadre des Bureau Études Industrielles  Energétique et Procédés (BEI E&P) de l'ENSEEIHT.  Ce projet  s'inscrit dans le cadre du projet GAYA, financé par le societé ADEME et coordonné par GDF SUEZ avec la collaboration de centre technique et de recherche de LGC.

       Ce procédé repose sur la gazéification de la biomasse en lits fluidisés circulants croisés pour produire du biocarburant utilisé directement à l'échelle d'un foyer. Au point détaillé, le sujet focalisé sur le développement d'un outil pour dimensionner la hauteur optimale du réacteur de combustion.

     L'étude s'appuie sur plusieurs documents (rapports, articles et codes) et consiste à développer un code 1D couplant l'hydrodynamique, les transferts thermiques et de matière (bilan de population) dans le réacteur de combustion. L'objectif de ce travail est de partir de codes fournis (Matlab et fortran) et de réaliser un code unifié en fortran pour la simulation du comportement du combusteur et d'évaluer l'influence des tailles du char sur ce comportement en faisant un bilan sur la population des taille du char à l'entrée du combusteur en utilisant in modèle qui prend en compte plusieurs phénomènes (à voir dans la suite ).

Les contextes

Contexte Industriel

Les études ont comme but de développer une filière locale de production de Biocarburant ou Biomethane gazeux par gazéification de la biomasse  de deuxième génération. Ainsi que la Création une filière industriel innovante, fiable, rentable et à haut rendement énergétique qui s'inscrit dans une perspective de valorisation durable de la biomasse avec des produits commercialisable en tant que carburant ou combustible gazeux transportable via le réseau de gaz naturel.

 

 

Contexte Économique

La production de biométhane telle qu'elle  est envisagée par le Projet GAYA donne aux territoires les clés de leur autonomie énergetique en les rendant acteurs de leur approvisionnements. Elle permet de s'affranchir de l'utilisation d'énergies fossiles et de réduire les émission de CO2. Elle permet aussi aussi de renforcer la durabilité de l'agriculture et de l'économie forestier local. Autre atout, la création d'emploi locaux non délocalisables, la production de biométhane se situant nécessairement à proximité du gisement de biomasse.

 

 

 

 

 

 

 

 

Le Contexte d'Étude

L'étude est s'inscrit dans la continuité des travaux réalisés dans le cadre des BEI précédents et les recherches réalisés au LGC. Les travaux réalisés sont la base de la modélisation et les bilans utilisés pour le développement d'un outil envisagé pour dimensionner le réacteur de combustion.

L'étude s'appuie sur deux documents principal et des précédents codes  fournis :

  • Le rapport d'étude chez LGC par Sébastian Wahl, 2013 "Vapogazéification de la Biomasse en Lits Fluidisés Croisés : Modélisation en un dimension du réacteur de combustion et étude expérimentale de la combustion du char  en lit fluidisé dense" qui décrit notamment les modéles et hypothèses utilisés pour la construction de bilans matières, mouvements et enthalpies dans la partie de combusteur.

 

  • Le rapport de thèse par Marc Detournay, 2011 "Simulation des Réactions de Vapogazéification en Lits Fluidisé Croisés" Chapitre 4, Bilan de Population, il décrit notamment la résolution de bilan de population dan la partie de la gazéifier de la vapogazéification.

 

  • A propos des codes fournis, le but est de réaliser un code unifié en fortran pour la simulation du comportement combusteur et d'évaluer l'influence des tailles du char sur ce comportement ainsi porter les modifications nécessaires sur les codes afin de prendre en compte une distribution de tailles.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Présentation du Procédé

Les procédés de la gazéification sont composés de deux réacteurs principaux le gazéifieur et le combusteur :

Pour augmenter la température du combusteur, on peut injecter directement de la méthane produite dans le combusteur.

 

Bilan de population

Le travail réalisé dans cette partie a été basé sur la thèse de Mr MARC Detournay

​Les travaux déjà réalisés montrent la grande influence de la taille des particules char  sur le dimmensionement du lit fluidisé circulant, ainsi une étroite relation existe  entre ce paramètre et le design optimal des unités impliquées dans le procéde de vapogazéification. En effet la taille du combustible joue un rôle important dans differentes phases du procédé :

 la taille des particules de biomasse, puis de la pyrolyse est donc déterminante pour le dimensionnement des unités. dans ce qui suit on présenteras un modèle pour le bilan de population pour simuler le comportement au cours du temps d'une distribution de particules dans le lit fluidisé siège de la vapogazéification.

 

 

Modèle utilisé

 

Le modèle utilisé dans notre cas est basé sur la discrétisation en Nc classes pour une distribution en tailles de particules char et sur son évolution temporelle dû à la gazéification dans le lit fluifdisé dans le gazéifieur. Ainsi on repere chaque classe de particule char par sa masse calculée à partir de la distribution initiale, en prenant en compte les phénomnes suivants :

  • Alimentation continue de la biomasse vers le gazéifieur
  • Soutirage continu vers le combusteur
  • Perte de la masse et réduction de la taille par vapogazéification
  • Perte de particules par phénomène d'elutriation

​​Le modèle

Les diamètres sont discrétisés en Nc classes espacées d'un pas de $\Delta d_c$ chacunes représentées par un diamètre : $\forall i \in {[1, N_c - 1]} \: d_{c_{i+1}} = d_{c_i}  +\Delta d_c$

​On prends un volume de contôle comportant toutes les classes, pour chaque classe 'i' la variation temporelle de la masse i est dûe au :

  • Alimentaion de la biomasse
  • Soutirage vers le combusteur
  • Réaction de gazéification
  • élutriation : les particules éjectés
  • fragmentaion / agrégation  

 variation de masse pour la classe i= Alimentaion  - Soutirage - conversion  - elutriation - Fragmentaion/Agrégation

La réaction de conversion en gaz se traduit par la réduction de taille des particules char ainsi la classe i+1 va perdre des particules dont les tailles ne feront plus partie de cette classe  elles vont partir vers la classe d'au dessous donc la classe i, et la même chose pour la classe i, et une partie va être converti en gaz donc le terme de réaction peut être divisé en :

Réaction = Particules passant de i+1=>i -- Particules passant de i=>i-1 -- particules convertis

Dans cette approche suivie le terme fragmentation/agrégation a été négligé.

ainsi l'équation à résoudre est la suivante :

\(\begin{equation}{\frac {dW_i}{dt}}|_{total} = {\frac {dW_i}{dt}}|_{alimentation} - {\frac {dW_i}{dt}}|_{soutiré} - {\frac {dW_i}{dt}}|_{réaction(i-1)} + {\frac {dW_i}{dt}}|_{réaction(i+1)} + {\frac {dW_i}{dt}}|_{élutriation}\end{equation}\)

  • L'alimentation :

${\frac {dW_i}{dt}}|_{alimentaion} = F^0 X_0^i$ où $F^0$est le débit d'alimentation et $X_0^i$ est la fraction massique pour la classe i

  • Le soutirage :

${\frac {dW_i}{dt}}|_{soutirée}=F^s X_0^i$ où $F^s$ est le débit du soutirage

  • Le terme de réaction :

 On montre que lors de la conversion du char la variation de taille des particules  reste constante  au cours du temps , or $d_c(t)-d_c(t+dt)=\frac{dd_c}{dt}\Delta t$ et en supposant que les particules qui vont quitter la classe i+1 vers la classe i sont compris entre $d_ci < d_{transfer}<d_ci+\frac{dd_c}{dt} \Delta t$, on peut écrire que la fraction massique transférée est $X_{transfer}=\frac{\frac{d_c}{dt}\Delta t}{d_ci}$

        

 

 

ce qui donne pour ${\frac{dW_i}{dt}}|_{i}=\frac{\frac{dd_c}{dt}}{\Delta d_c} W_{i+1}$ et de même pour ${\frac{dW_i}{dt}}|_{i-1}=\frac{\frac{dd_c}{dt}}{\Delta d_c} W_i$

  • Le terme de conversion en char :

En prenant $X_r$ comme le taux de réduction de la taille de la particule on a tout simplement $X_r=\frac{m_c(t)-m_c(t+dt)}{m_c(t)} = 1-[{\frac{\bar{d_ci}-\frac{dd_c}{dt} \Delta t}{d_ci}}]^3$ où $\bar{d_ci}$ est le diamètre de Sauter, et donc ${\frac{dW_i}{dt}}|_{conv}=X_r \frac{W_i}{\Delta t}$

  • Le terme d'élutriation :

Ce terme est basé sur une corrélation empirique on le définit comme ${\frac{dW_i}{dt}}|_{elut}=k^*_i S_G X^0_i$ où les parcmètres $k^*_i$ et $S_G$ sont données par des corrélations empiriques.

 

  • Le bilan global

En regroupant tous les termes on obtient Une équation bilan à résoudre de :

\begin{equation} {\frac {dW_i}{dt}}|_{total} = F^0 X_0^i - F^s X_0^i + \frac{\frac{dd_c}{dt}}{\Delta d_c} W_{i+1} - \frac{\frac{dd_c}{dt}}{\Delta d_c} W_i - X_r \frac{W_i}{\Delta t} - k^*_i S_G X^0_i \end{equation}

Résolution

Le schéma numérique de résolution utilisée pour l'équation bilan est un schéma de cranck Nicolson, ce schéma est inconditionnellement stable, mais nécessite certaines conditions de régularité sur les équations à résoudre pour que notre résultat ait une précision satisfaisante.

 

Paramètres d'Initialisation
nombre de classe, Nc 20
pas de discrétization de la distribution, dp 30e-6 m
masse initiale de lit 10 kg
taux de réaction, $\frac{ddc}{dt}$ 4.07e-7 m/s
débit d'alimentation 0.047 kg/s
débit de soutirage 0.01 kg/s
vitesse de fluidisation 0.2 m/s

 

La courbe suivante montre l'evolution temporelle de la distribution de taille pour le char existant toute l'installation, dans cette simulation , une distribution dite de Rosin Rummler est utilisée por l'alimentation du lit fluidisé $1-exp(\frac{d_{pci}}{d_63}})^3$ où $d_{63}$ est le diaùmetre correspondant à 63% de la population, on constate la diminution de masse du char par classe jusqu'a s'établir  à une distribution où le lit n'évolue plus.

 

 

Couplage avec l'étude

Le but de l'introduction du bilan de population dans notre étude est de modéliser une entrée en taille pour le combusteur qui prends en compte une distribution de diamètres ceci pour améliorer la modélisation suivie dans notre étude, dans le but de simuler le comportement de tailles différentes, avoir une distribution de tailles va avoir un effets sur les équations bilans (de matières) vu qu'une réaction de combustion dépend fortement de la taille du combustible, c'est va qu'on va élucider par la suite.

En terme d'outil numérique, on suivra le schéma suivant pour la liaison des codes.

 

 

 

 

 

Modélisation du Combusteur

La modélisation de combusteur est divisé en deux parties, la partie basse et la partie haute. La partie basse (lit dense) est délimitée par le pied du réacteur et la haut de la canne d'injection tandis que la partie haute (lit transporté) delimité la sortie de canne injection jusque la tête du combusteur. Le réacteur est composé d'un système diphasique solide (char et media) et gaz (air et dioxyde  de carbone). Les modèles utilisés sont des modèles monodimmensionnel, en effet les équations couplées qui les composent ne dépendent que d'une seule  dans notre cas c'est la hauteur suivant le combusteur

 

 

 

 

Lit Fluidisé Dense

Pour modéliser la partie dense du combusteur , un modèle RAC réacteur agité continu a été utilisé, partant du fait que dans cette partie on peut considérer qu'on a un milieu parfaitement  mélangé.

\(\begin{equation} Entrée - Sortie \pm \underbrace {accumulation}_{=0}+ réaction = 0\end{equation}\)

Pour le réacteur agité continu (RAC), la concentration est considéré uniforme dans tout le réacteur et égale à la concentration de la sortie. Également les températures des phase sont uniformes et égales aux température à la sortie pour un temps de sejour (temps de remplissage du volume RAC) $\tau > 3 min$, la phase gazeuse du milieu est formée du dioxygène $O_2$ et du diazote $N_2$ qui sont les seules composants de l'air injecté, ainsi que le dioxyde du carbone $CO_2$ qui est le produit de la combustion. La phase solide est constitué du char est considéré comme du carbone pur et le média ici l'olivine est inerte. 

BIlan de matière

Les équations à résoudre dans cette partie sont les suivantes:

$F_{O_{2_S}} - F_{O_{2_E}} - r_C S_{pc} \alpha_c V_{rac} = 0 \tag{1.0}$

\(\begin{equation} F_{C_{2_S}} - F_{C_{2_E}} + r_C S_{pc} \alpha_c V_{rac} = 0 \tag{1.2}\end{equation}\)

\(\begin{equation} F_{CO_{2_S}} - F_{O_{2_E}} + F_{O_{2_S}} =0  \tag{1.1}\end{equation}\)

\(\begin{equation} F_{N_{2_S}} - F_{N_{2_E}} =0 \tag{1.3} \end{equation}\)

\(\begin{equation} F_{M_S} - F_{M_E} \tag{1.4} =0 \end{equation}\)

  • $F_i$ est le débit molaire du constituant i
  • $r_c$ exprime la vitesse de la réaction
  • $S_pc$ surface spécifique de la particule
  • $\alpha_i$ est le taux de présence du constituant i
  • La combustion est traduite par l'unique  réaction  $C_{(s)} + O_{2_{(g)}} \to CO_{2_{(g)}}$
  • Le média et Le diazote sont des constituants inertes dans cette réaction

Taux de présence :

le taux de présence es défini comme le ratio entre le volume occupé par le constituant et le volume du réacteur $\alpha_c = \frac{V_c}{V_RAC} = \frac{\sum_{i=1}^{Nc} N_{p{c_i}} \frac{\pi}{6} d_{p_{ci}}^3}{V_{RAC}}$ où $N_pci$ est le nombre de particules contenus dans la classe i , en faisant l'hypothèse que $N_pci = N_{pci0}$ on obtient que $N_{p_{ci}} = \frac{\alpha_{ci0} V_{RAC}}{\frac{\pi}{6}{d_{pci0}}^3}$ et $\alpha_{ci_0}$ est le taux de présence du char initial pour la classe i et alors si on prends $\beta _i$ la fraction massique da la classe i on a alors $\alpha_{ci_0} = \beta_i \alpha_{c0}$. $\alpha_{ci0}$ et $\alpha_{m0}$ sont connues sachant que le char représente 3% en masse de débit d'entrée du média. Il nous reste alors à donner une relation pour déterminer le diamètre.

Le diamètre des particules char

Afin de déterminer les diamètres pour chaque classe i, on part de la variation temporelle de la quantité de matière pour une seule particule possedant un diametre $d_{pci}$, ainsi on obtient : $\frac{dn_{pci}}{dt}=\frac{\pi}{6}\frac{\rho _c}{M_c}3{d_{pci}}^2\frac{dd_{pci}}{dt}$, en utilisant l'equation donnant la relation la variation de la quantité de matière et la vitesse de réaction on obtient $\frac{dd_{pci}}{dt}=-k_cC_{O_2}$, en intégrant cette équation on peut determiner le diamètre, il reste à déterminer alors la vitesse de réaction.

La loi cinétique

On s'interesse ici à exprimer le terme $r_c$ dont on a besoin pour poursuivre la résolution du problème, les hypotheses suivantes sont utilisées:

  • Le modèle de la sphère rétrécissante est utilisé pour décrire la combustion des particules de toutes les classes
  • La réaction de combustion est controllée par le transfert de $O_2$ dans la couche limite et la cinétique de réaction à la surface de la particule.

On obtient $r_c=-\frac{C_{O_2}}{\frac{1}{k_t}+\frac{1}{k_r}}$ où $k_r$ est la vitesse de réaction qu'on exprime par une loi de type Arrhenius telle que $k_r=k_{r0}Texp(\frac{E_a}{RT})$ et $k_t$ est la vitesse de transfert qu'on exprime comme $k_t=\frac{Sh D_{O_2}}{d_{pc}}$ et $Sh$ est le nombre qui compare les transferts total du milieu aux transferts par diffusion et $D_{O_2}$ est le coefficient de diffusion du $O_2$dans le mélange gazeux.

La Surface spécifique

La surface spécifique d'une particules char est définie comme $S_{pc}=\frac{6}{d_{pc}}$ dans notre cas , pour prendre en compte toutes les taille du char existants dans le combusteur on prendra la moyenne des surfaces spécifiques de toutes les particules donc $S_{pc} = \frac {1}{N_c} \sum_{i=1}^{N_c} \frac {6}{d_{p_i}}$

 

Partie transporté

Dans cette partie, il s'agit de modéliser la partie située entre le haut de la canne d'injection d'air secondaire et la tête du du réacteur, ici la vitesse de l'air est importante  pour transporter les particules, la vitesse $U_g$ du gaz est supérieure à la vitesse terminale de chute des particules de média, c'est pour cette raison il est dit lit transporté, le char continue de brûler lors de son ascension dans le lit jusqu'a  sa totale disparition, le média quant à lui continue de se réchauffer pour jouer le rôle de caloporteur. le modèle retenu dans cette partie est le modèle de réacteur à piston.

Le modèle RP

Les hypothéses utilisé pour ce modèle sont :

  • Les concentration sont uniformes sur une tranche de faible épaisseur du réacteur 
  • les concentrations sont prise égales aux valeurs en entrée de chaque tranche et correspondent aux valeurs de sortie pour la tranche precedente.
  • Les paramètres varient axialement suivant la hauteur du réacteur

Cette fois ci la diffusion du dioxygène est prise en compte en considérant sa diffusion dans lui même, dans cette partie le mélange gazeux, contrairement à celui dans le RAC  se compose en plus du $O_2$ du $N_2$ du $CH_4$ du $CO$ et du $H_2O$, une seconde réaction de combustion est prise en compte, en effet une partie du méthane produit peur être injécté dans le combusteur à des hauteurs différentes pour augmenter la température dans ce dernier

Dans cette partie, il s'agit de modéliser la partie située entre le haut de la canne d'injection d'air secondaire et la tête du du réacteur, ici la vitesse de l'air est importante  pour transporter les particules, la vitesse $U_g$ du gaz est supérieure à la vitesse terminale de chute des particules de média, c'est pour cette raison il est dit lit transporté, le char continue de brûler lors de son ascension dans le lit jusqu'a  sa totale disparition, le média quant à lui continue de se réchauffer pour jouer le rôle de caloporteur. le modèle retenu dans cette partie est le modèle de réacteur à piston.

Les hypothéses utilisé pour ce modèle sont :

  • Les concentration sont uniformes sur une tranche de faible épaisseur du réacteur 
  • les concentrations sont prise égales aux valeurs en entrée de chaque tranche et correspondent aux valeurs de sortie pour la tranche precedente.
  • Les paramètres varient axialement suivant la hauteur du réacteur

Cette fois ci la diffusion du dioxygène est prise en compte en considérant sa diffusion dans lui même, dans cette partie le mélange gazeux, contrairement à celui dans le RAC  se compose en plus du $O_2$ du $N_2$ du $CH_4$ du $CO$ et du $H_2O$, une seconde réaction de combustion est prise en compte, en effet une partie du méthane produit peur être injécté dans le combusteur à des hauteurs différentes pour augmenter la température dans ce dernier

${CH_{4}}_{(s)} +\frac{3}{2} O_{2_{(g)}} \to CO_{{(g)}}+2H_2O_{(g)}$

$C_{(s)} + O_{2_{(g)}} \to CO_{2_{(g)}}$

Les lois cinétiques retenues dans cette partie sont des lois de type Arrhenius en $exp(\frac{1}{T_g})$ où T_g est la température de la phase gazeuse, contrairement au RAC il y a une forte influence sur de la temperature sur la vitesse de réaction de combustion du méthane, ainsi on pose:

$r_{CH_4}=-1.10^{10}{C_{CH_4}}^{0.7}{C_{O_2}}^{0.8}exp(-47.2\frac{4180}{8.314T_g})$

$r_{CO}=-10^{14.35}C_{CO}{C_{O_2}}^{0.25}{C_{H_2O}}^{0.5}exp(-40.8\frac{4180}{8.314T_g})3.16.10^{-5}$

Bilan de matière

On effectue un bilan de matière pour chaque constituant dans un volume de contrôle $dV=A_cdz$ où $A_c$ est la base du combusteur, les équations à résoudre sont :

$\frac{dF_{CH_4}}{dz}-r_{CH_4}A_c\alpha_g=0$
$\frac{dF_{CO}}{dz}-(r_{CO}-r_{CH_4})A_c\alpha_g=0$
$\frac{dF_{O_2}}{dz}-(\frac{1}{2}r_{CO}+\frac{3}{2}r_{CH_4})A_c\alpha_g-r_cS_{pc}A_c\alpha_c=0$
$\frac{dF_{CO_2}}{dz}+r_{CO}A_c\alpha_g+r_cS_{pc}A_c\alpha_c=0$
$\frac{dF_{H_2O}}{dz}+2r_{CH_4}A_c\alpha_g=0$
$\frac{dF_{C}}{dz}-r_cS_{pc}A_c\alpha_c=0$

La forme conservative de l'équation de conservation de la masse pour la phase k s'écrit, en considérant le régime établi : $\frac{\partial{\alpha_k\rho_kU_k}}{\partial z}=\Gamma_k$  où $\Gamma_k$ est le taux de dissparition pour le char et de production pour le gaz.

Si on prend un volume de contrôle contenant une population de char contenant une distribution de taille, le taux de dissparition du char dans ce volume sera la somme des taux de dissparition de chaque classe i ainsi $\Gamma_c = \sum_{1}^{Nc} \Gamma_{ci} $, où $\Gamma_ci$ est le taux de dissparition du char de la classe i, on le définit comme

$\Gamma_{ci} = -\beta_c \frac{-6 \alpha_c k_c M_c CO_2}{d_{pci}}$ sachant que le taux de production du gaz est égal à $\Gamma_c$ en valeur absolue. En developpant ces équations on obtient à la fin :

$\alpha_c \frac {dU_c}{dz} + U_c \frac {d\alpha_c}{dz} = \frac{\Gamma_c}{\rho_c}$        $\alpha_g \frac {dU_g}{dz} + U_g \frac {d\alpha_g}{dz} = \frac{\Gamma_g}{\rho_g}$        $\alpha_c \frac {dU_c}{dz} + U_c \frac {d\alpha_c}{dz} = 0$

Comme dans la partie dense les diamètres vont être calculés de la même façon, cependant ces équations font apparaître les vitesses des phases , il faut coupler les équations de bilans de masse de quantité de mouvement et d'enthalpie pour obtenir les résultats.

Bilan de quantiteé de mouvement

Le bilans de quantité de mouvement sont écrites en régime permanents, ils font apparaitre les forces volumiques (le poids), les forces surfaciques (le terme faisant intervenir la pression et les frottements aux parois) ainsi que les forces d'intéractions char/gaz et média/gaz, dans un cas laminaire. Pour la phase gazeuse, on a:

$\underbrace {\frac{\partial}{\partial z} (\alpha_g \rho_g U_g^2)}_{\text {terme d'advection}} = - \underbrace{\alpha_g \rho_g g}_{\text{force volumique}} - \underbrace{\alpha_g \frac{\partial P}{\partial z} + F_f}_{\text{force_surfacique}} + \underbrace{I_{c \to g}}_{\text{force d'interaction char/gaz}} + \underbrace{I_{m \to g}}_{\text{force d'interaction media/gaz}}$

Le terme d'interaction gaz/char s'écrit tel que : $I_{c \to g} = \alpha_c \rho_c \frac{V_{slip}}{\tau_{gc}^F} + U_c \Gamma_g$ où $V_{slip}$ est la vitesse de glissement $V_{slip}=U_g-U_c$ et $\tau_{gc}^F$ est le temps d'entrainement caractéristique, ce dernier compare la vitesse terminale de chute des particules (ici le char) à la vitesse de glissement.

On passe maintenant aux phases solides et de la même façon on retrouve les équations suivantes :

$\rho_c \alpha_c U_c \frac{dU_c}{dz} = \alpha_c rho_c g - \alpha_c \frac{dP}{dz} + \alpha_c \rho_c \frac{V_{slip_c}}{\tau_{gc}^F}$

$\rho_m \alpha_m U_m \frac{dU_m}{dz} = \alpha_m rho_m g - \alpha_m \frac{dP}{dz} + \alpha_m \rho_m \frac{V_{slip_m}}{\tau_{gm}^F}$

Ainsi à l'issu de cette étape les termes de réaction des bilans de matières sont alors utilisables dans le code, la zone dilluée n'est pas isotherme contrairement au RAC , il faut alors faire un bilan d'enthalpie pour determiner la temperature des phases le long du combusteur.

Bilan d'enthalpie

Afin d'obtenir la température des phases on effectue un bilan d'enthalpie sur chaque phase, en faisant les hypothèse suivantes :

  • Les pertes thermiques au paroi ne sont pas prises en compte
  • pas d'échanges thermiques entre deux tranches consécutives du RP
  • L'enthalpie pour un constituant i est définie comme la somme de son enthalpie standart de formation auquel s'ajoute un terme d'échauffement
  • Les gaz sont supposés parfaits

Dans toute cette partie les équations bilan vont êtres réalisées sur une population dont les tailles sont supposés uniformes ce qui fait qu'on a choisit de travailler avec un diamètre moyen, et donc les équations bilans d'enthalpie vont rester les mêmes il n'y aura pas de changements sauf l'utilisation d'un diametre moyen, et donc on garde la même modèlisation effectuée lors des travaux précédents.

 

 

 

 

Méthode de Résolution

Dans cette partie on présentera  la discrétisation des équations qu'on cherche à résoudre ainsi que les schémas numériques utilisés pour la résolution, par des schémas on illustreras la dépendance des codes et leur implémentation ainsi que les méthodes de calcul utilisées et la gestion des différentes routines et leur communication.

En effet, les équations obtenues précédemment sont non linéaires, les domaines seront discrétisés en une multitude de tranche, il convient alors de faire le choix judicieux du type de la discrétisation ainsi qu'au schémas de résolution.

Partie dense

Le code simulateur de la partie dense est effectuée par le biais d'un code impléménté en Fortran 90. La résolution de cette partie réside dans la résolution d'un système de trois équations non linéaires en débits molaires :

\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
F_{O_{2_e}}-k_c \rho_g \frac{Y_{O_2}S_{pc}\alpha_c V_{rac}}{M_{O_2}}-F_{O_{2_{guess}}}=0\\
F_{C_e}-k_c \rho_g \frac{Y_{O_2}S_{pc}\alpha_c V_{rac}}{M_{O_2}}-F_{C_{guess}}=0\\
\sum_{1}^{5} F_{ie}H_{ie} - F_{C_{O_2}}\Delta H^0_{C_{O_2}} - \sum_{1}^{5} F_{is}H_{is}=0
\end{array}
\right.
\end{equation}

A partir de ces équations qu'on considére comme composantes d'un vecteur on construit un vecteur dont   la norme Euclidienne ce est  à minimiser, qui est équivalent à trouver où il s'annule. L'idée est de partir d'un vecteur contenant les guess : des grandeurs qu'on aura à estimer et  puis refaire les itérations partant à chaque fois d'un nouveau guess, le point le plus difficile dans cette approche est de calculer à chaque fois le guess pour se rapprocher le plus vite possible de la solution.

L'algorithme utilisé dans ce cas est celui de Levenberg-Marquardt, vu que c'est un algorithme plus stable que celui de Gauss Newton (celui utilisé avant), plus rapide et arrive à trouver dans la plupart des cas la solution.

L'algorithme de Levenberg-Marquardt, souvenet appelé algorithme LM, permet la résolution d'un système non linéaire de plusieurs paramètres à travers la minimisation de la fonction qui aux inconnues du système associe les équations formant le système. Il repose sur l'interpolation de l'algorithme de Gauss Newton, et de l'algorithme du gradient. Cet interpolation des deux dernières algorithmes assure une stabilité relativement inconditionnelle par rapport à celle associé à l'algorithme de Gauss newton, puisque en se soucie moins des estimations grossière de la solution,car on arrive à avoir des solutions avec une convergence rapidement atteinte.

La procédure de l'algorithme est itérative. On part d'un paramètre initial, que l'on suppose « assez proche » d'un minimum, et qui constituera le vecteur $\beta$ de départ. Dans beaucoup de cas, un paramètre de départ « standard », tel que $\beta^T$=(1,1,…,1) fonctionnera sans problème. Dans certains cas, il n'y a convergence que si le vecteur de départ n'est pas trop éloigné de la solution.

À chaque itération, on remplace p par une nouvelle estimation $\beta + \delta$. Afin de déterminer q, les fonctions $ fi(\beta + \delta) $sont approchées en étant linéarisées :

    f$(\beta+\delta) ≈ f(\beta) + J \delta $

où on a noté J la jacobienne de f en $\beta$.

À un minimum de la somme des carrés S, on a $\nabla_{q} S=0$. En dérivant le carré de l'expression de droite, qui s'annule donc, on obtient :

    $(J^T J)\beta = J^T [y − f(\beta)] $

d'où l'on tire aisément $\delta$ en inversant $J^T J$.
;">À u , quinitial, &eacutls se3injectédz}ivitesse terminale de cimum de l fl quvNide e&l qt;s qu&#&l qt;rsanclidi,itesse dum de l fl quvNide epeute; assose termi,acute; algorith&l qt;nnelle par la taillial, &#&l qt;,injeatiortre de d& la taleslterminer q,cute;ol9;algorithme de Gauss Neg-Marquardt, souvenacute;frithm le plus acute;quation on peutsant gorith assez promur lst ut d'unueterm;">    $etabeta =ltaassmbda;.diagbeta = )qy &mins; f(\beta)] $

<.>d'o&L&eeacd&eacutuithmmur lst la ta d& chfaassmbda;acutea>&nb à l'alt&eacut estimatie;ration, on rem. Sinution de masse duSacutent attt éacute;elationdum de lde eeacute;-fait qu&er le pluétuithme de Gauss Ne Gauss Newton -et de . Sines pevecedentione;ration, on remse en orm&dansacut ér la temp&assmbda;a-fait qu&er le plucs ci la dituithme de Gauss Ne Gauss nt. Cet inteUn $\beeacd&eacutuithmmur lst la taisé pour d&eaants p paa résolutioneacutee la fonctTikhonov,eacute;e pour l'&e;soudre pour que cas, il rave;me. Dans csute;aires en d&ea>ÀSlors $\eacute;e par lefficilecode implcas, ide particave; u;rations partantt &de pen39;on suppose & pas tropeacute;es en &e &ldansant non minimum, et qui clacute;dure de l'nale de cive &ren soix jurave;tre de d&eacpomposanon $\beta +lution.

L'algimulate; àte;liser la paliser laagraveiais d&te;ma suivant pour la :​="" src="/travaux/bei/beiep/sites/default/files/users/nnadzru/ccccccccP&ea ainsi q1_1yle="width: 650px; h70ght: 488px;" 525/span>

 

  p>

&nbre>

Partie transporté

Le code te partie sont desvra leeresse ici &aggrave; une distion.n , une dirtie dense esté, le chaeacute;quations obtenueson l &etes :

 

MéthodeF $D_{O_2}ion d'un teurde

Dans cette partie o2">  < bilan drc;lee pour #39;&

Partie tUnif

Dans d="node-1928" cl2092"section-3">

Partie tS est> Le code simulatepour la vs hypo minimisere;liser la partiee; dire dans el, en efstituan, les &eactitute ale;té utilis&eeacuvr par le constihalpie cadr&eaclgorith latee de te;h e socrit tel que parties,ute;rentes routiupzeuxaglcul ue;oirem\beta +( Matlabiee;90. La r)acute;solution de cette pae dense est effeterminer a;tcute;mentation ai utilis&t&9;inMatlab,terminersil est cul unde Ro auxicute; relative minimum,quivalent ànction qui aux tionie;cuire daéMatlabi(lsqndete;)&9;in90. La ,cuteartie orave;res algoriour l'inaminalis&esymbol suivrap aux incot pas trop &ea compte, eharg e ouvelpzeuxaglomposan90. La acute;solution de cette pae dense esté, le chaeacgrave; lui contacutlsrtante&;mentation ai utilis&t&an 90. La rair enres algoriosute;sultats.moint le syt ASCII#39;annscr&ea ef lcision sae;rieure &as par \(\beginMatlab,t9;anns eharg e c le choix ju léspan>

 

grave,cuposanbrem;ave;p> acutp>

m pr&eas. chaque iteiont alorslla;tcen compte toutes lhar représolo;tcre calcul&eoprations partann;ajoeacute;ties,ave;me. Il repenthalpien lo;tbtenuesWindowr comLinux>L'algimr&eacu axeon;ionipai,acute;frithte;grant cettern population dans notcode, la zon tio le pour lui de G compare en ssecen compte toutes lute;rentes routiup/span>L'alNe alevantt es,p>

voix ju 9;enthalpies bilapour la :>

  • Partie tUon d'un teurde

    Dans

    Méthodeion /span>

    Dans cette partie on pr&e,acute;sultats. cettse pae dense est effeirc;tre calcul&eation rtre de d& sespondanars par \(\b039;éidian difte;sultats.moe parcute;rant le r&39;un te population dans no> 

     e celucccgn=" <50px;="670"d="tbodyd="trd="tdrtecenter">3)>

     

     e celucccgn=" <50px;="546"d="captail>Rsultats.m pae dense est eff="tbodyd="trd="td/p>

    &ntdd="td_c \fracour tra$&ntdd="td_c{dz}-(\(kg/s) $&ntdd="td_c{dzC}-(\(kg/s)$&ntdd="td_c{dC(kg/s)$&ntdd="td_cTdC(our trK)$>ute;e du m&ea&ntdd="td_9.9801e-02>

    2.5796e-02>

    0>2.4306e-01>1073>our la>

    8.8456e-02>2.5705e-02>1121>

    fluide;e por l&teUn uense est tit&ur la isparitist consid&etioniprations veloppe partlution.ixime, les hy ainsi une distiononzime, les hy ainsi ne forte inte  pthermie de quanp>

    &raqe;e>

    a clasnsutsenactquup/span>  

     pustionurb39nns utilmole de e productagraveiermiee tu char ioeacute;ute;rentes routines/span>

    &raqe;e>

    a clioeacute;/span>

     puagraveclass=">stionurb39nns utilmole de cute;quation vde cette pae d massiqubsp;&nzda la cbsp;&ndte;/span>

    moyen, ;e>

    ioeacute;s qu&# fle tauoid&aire leolue. dans le lit jrtie rlcules de més qu&# fle tauoteer valeun uense est tilue. quantifr lorsoanution de masse duilue.era la pnant du m&eacait qu&cn l e soltionurb3,p>

    &raqe;e>

    a cllcules de mépeute;p>

    &rchar ier valeton inuetermtluti&eacu char mairticules donc $S_cetthases ,/span>

     pusorithu sur de lutedu réu&#p>

     puns la partieller avec\incon;té utilis&e#39;oi;cédemment sont no\nabla_ant ia; utilis&ee soltidu réu&#aileffet pas changeme;e du m&eahar qsur de la te&eacutn de taill edu char existant l'issapour la pose:

    poth&egrdrodynamla cbsp;&nducute;dure de l pour d&elgoreteur du r&eacune d'injection d'air secondaire et la t&incove &eacuonipaicRAC ,;terminer les diam&aedu réu&#p>

    fluide;e por l&bsp;&ndteff.t une partur du r&eacune d'injection d'ait la ciur du r&eacune d&ense est effecthpr&39a cst un algorrc;me mod&egret ane>

    mel, en efn ai >

    rtantaqe;pl, celuioeactant linviiereae >

    lesltr lorsxbsp;&ndue>

    mave;encbsp;&ndartielour trsazras algo e;oioeacte;ramod&eclus a cllcules de m&ea/span>soi d;e>

    pas pdiffusa tctcRAC ,;terminer, qus de la m&eartie dense leté, le chaeacalors fae soltidu r&eacune d'in pdi >

    suiergravegrave; une distiondu r&eacuection d'aita;rations palacutour trsazras algo mair/span> qsergravegrave; une distiondu réu&#p>

    fluide;e por l&bsp;&ndtour trsazras algo ait qu&t la ciur du r&eacune d&ense est effet uour trsntéommc>  

    ="rtejustify"> 

  • MéthodeCenclu en

    Dans cet de ces &eacutute;tape les ul und alevant pue;crire la es laorithute;dure de l pour d&ea r&eatelationnn du gaz est biocuteburave; lui conte ces &eacdu cio quann cas lamibrem;ave tra.und alevant rs lanc par le const bilan drctape les ul ubiblios aph e so9;intlee;e;dure de l pour d&eaonicatie; compt gazeys derfrottemeve;le sont :

    poth&eu sur de luellatu char 9;intle es drtcRAC ,;ombusteur à> 

    m paant occderenoparcunalst ucntrationr guess : e;e;dure de l pour d&sntaq la iels; sp;&ne les m&eautuithmmeliorerenoparcmpdanscd;e>

    ombuste serontcune d&e;oirem\beta +au niss, leacute;mas on illus#39;algorithIHM,t un al a;tc supposccelta +aus9;ade/;terminert ces renoparcmpterminer lucntrpartieller avec\nt grouie./div>

    Méthodeionférlucnt

    Dans c &eacocrit tel que http://www.a gueh.in/docs/lmtut.pdf

    AnaAe plus s foreg-ast-SsouvntrEn $\beta +ofnNdete;e

    tel que partp> 11,p>

    yle="font-sizwha c-space:enow apng>Babbrbook-heaabbr"color:#B22222;eeahergt; bor er-bottom-50px; h0/p> p. <1963/p>

    , 431-441i>