Bilan de masse et de quantité de mouvement

Bilan de masse

Sur chaque phase, le bilan de masse s'écrit :

\begin{equation} \frac{\partial \alpha_{k} \rho_{k}}{\partial t}+ \frac{\partial \alpha_{k} \rho_{k} U_{k}}{\partial x_{i}} = \Gamma_{k} \end{equation}

De plus, $\Gamma_{1}=-\Gamma_{3}$=$\Gamma_{c}$ (car une mole de char réagit avec une mole de dioxygène) et $\Gamma_{2}=0$ car l'olivine est inerte.

Bilan de quantité de mouvement

Le bilan de quantité de mouvement pour chaque phase s'écrit de la même façon :

\begin{equation*} \alpha_{k}~\rho_{k}~\frac{\partial U_{k}}{\partial t} +  \alpha_{k}~\rho{k}~U_{k,i}~\frac{\partial U_{k,i}}{\partial x_{j}} = \end{equation*} \begin{equation}-\alpha_{k}~\frac{\partial P_{g}}{\partial x_{i}}+\alpha_{k}~\rho{k}~g_{k} + \frac{\partial[\alpha_{k}~\rho_{k}~<u_{k,i}'~u_{k,j}'+\Theta>]}{\partial x_{i}} + I_{k,i}'+ [U_{\sigma,i}-U_{k,i}]~\Gamma_{k} + \delta_{k,i}~\sum{S_{k,j}}  \end{equation}

$I_{k,i}=\frac{\alpha_{k}~\rho{k}~V_{k,i}}{\tau_{k}}$ avec$V_{k,i}$ la ième vitesse de la phase k. Ce bilan modélise le transfert de quantité de mouvement entre le fluide et les particules. $\delta{k,i}$ est l symbole de Kronecker (où i et k désignent les différentes phases). $S_{k,j}$ est le terme modélisant l'effets des collisions entre phases. le termes en $\Gamma_{k}$ décrit les transferts de quantité de mouvement liés à la réaction. La vitesse de la phase gazeuse après réaction est supposée égale à la vitesse de la particule.

Scalaires

Deux scalaires résolus sont définis YCO2 et $\chi_{d}$ (un scalaire $N_{2}$ sera ajouté pour l'étude en injection d'air). On écrit pour chacun d'entre eux une équation de transport. Ces deux scalaires représentent le transport de deux paramètres clés de la simulation : le taux de CO2 rejeté et la conversion du char.

\begin{equation} \alpha_{1}~\rho_{1}~\frac{\partial Y_{CO_{2}}}{\partial t} + \alpha_{1}~\rho_{1}~U_{1,j}~\frac{\partial Y_{CO_{2}}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left ( \alpha_{1}~\rho_{1}~\frac{\mu_{1}}{\sigma_{1}}~\frac{\partial Y_{CO_{2}}}{\partial x_{j}} \right) - Y_{CO_{2}}~\Gamma_{1}+\phi_{1} \end{equation}

On définit $\rho_{g}=\frac{P_{ref}}{R~T_{g}}~\left(\frac{Y_{O_{2}}}{W_{O_{2}}}+\frac{Y_{CO_{2}}}{W_{CO_{2}}}\right)^{-1}$

\begin{equation} \alpha_{3}~\rho_{3}~\frac{\partial \chi_{d}}{\partial t} + \alpha_{3}~\rho_{3}~U_{3}~\frac{\partial \chi_{d}}{\partial x_{i}}= -\frac{\partial \alpha_{3}~\rho_{3}~<u_{3}'~\chi_{d}>}{\partial x_{i}} - \chi_{d}~\Gamma_{c} \end{equation}

$\chi_{d}$ étant défini par $\chi_{d}=\left(\frac{d}{d_{0}}\right)^{3}$, où $d$ est le diamètre d'une particule. Le calcul de $\chi_{d}$ permet d'évaluer l'évolution du diamètre de particule avec la réaction. Il est aussi possible de remonter à un $\chi_{d}$ moyen peut aussi être obtenu via le bilan de masse sur la phase char (hypothèse : toutes les particules réagissent identiquement et qu'il n'y a pas d'élutriation).

Par la suite, on ajoutera aussi un troisième scalaire : $Y_{N_{2}}$. Ce scalaire, codé pour correspondre à la fraction d'azote dans le milieu, permet de faire évoluer le gaz de fluidisation de dioxygène pur à air ambiant. Cette évolution permet de faire coller le gaz de fluidisation à celui utilisé dans l'expérience du LGC. On prendra une composition 80%$N_{2}$ / 20%$O_{2}$. Ce scalaire suit l'équation de transport suivante :

\begin{equation} \alpha_{1}~\rho_{1}~\frac{\partial Y_{N_{2}}}{\partial t} + \alpha_{1}~\rho_{1}~U_{1,j}~\frac{\partial Y_{N_{2}}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left ( \alpha_{1}~\rho_{1}~\frac{\mu_{1}}{\sigma_{1}}~\frac{\partial Y_{N_{2}}}{\partial x_{j}} \right) - Y_{N_{2}}~\Gamma_{1}+\phi_{1} \end{equation}

Les codes correspondant à ces deux scalaires sont dans le user ustssp.F de NEPTUNE_CFD. L'expression du diamètre est rentré via une fonction user dans usphyv.F.

         Implémentation du fichier source ustssp.F.

Le terme sources pour le bilan de quantité de mouvement sur un scalaire s'écrit sous la forme TS = TSA + TSBdX

TSA correspond aux termes source explicite et TSB à sa dérivé par rapport aux scalaires.

Pour $\chi_{d}$

\begin{equation*} TSA =  \frac{\Gamma_{c}}{\alpha_{3}}~\chi_{d} \end{equation*}

\begin{equation*}  TSB = \frac{\Gamma_{c}}{\alpha_{c}} \end{equation*}

Pour $Y_{CO_{2}}$

\begin{equation*} TSA =  \frac{\Gamma_{c}}{\alpha_{1}}~\left( \frac{M_{CO_{2}}}{M_{c}} + Y_{CO_{2}} \right) \end{equation*}

\begin{equation*}  TSB = \frac{\Gamma_{c}}{\alpha_{1}} \end{equation*}

Pour $Y_{N_{2}}$

La quantité de ce scalaire dans le lit ou le courant entrant ne change pas au cours de la simulation. Mais la proportion d'azote varie avec la production de $CO_{2}$ et la consommation $O_{2}$. Les termes sources entrés dans le code modélisant ce comportement sont :

\begin{equation*} TSA =  \frac{\Gamma_{c}~Y_{N_{2}}}{\alpha_{1}}  \end{equation*}

\begin{equation*}  TSB = \frac{\Gamma_{c}}{\alpha_{1}} \end{equation*}