Approche théorique

Dans cette partie, nous allons commencer par l'approche la plus simple, c'est à dire l'approche 0D, simplement à base d'équation, et particulièrement l'équation de Bernoulli pour étudier la vidange de réservoir.

Dans un second temps nous compléterons notre modèle en tenant compte des pertes de charge singulières et linéaires dans le système.

Nos résultats seront par la suite utilisés pour les comparer avec ceux obtenus grâce à la CFD (Computationnal Fluid Dynamics - Mécanique des Fluides Numériques).

Conservation du débit

Considérons que l'on impose un débit d'air entrant dans un réservoir initialement rempli d'eau (on se place dans le cas incompressible). La conservation du débit volumique impose que le débit en sortie sera égal au débit entrant. On a :

$Qv_{entrant}=Qv_{sortant}$

Donc, si l'on insère un débit volumique en entrée constant, nous avons :

$Qv_{entrant} = Qv_{sortant} = C^{te}$

et ainsi, en supposant que toute l'eau se vide du réservoir avant que de l'air ne sorte, on obtient :

$T_{vidange} = \frac{V_{réservoir}}{Qv_{ sortant}} = \frac{V_{réservoir} * \rho_{air}}{Qm_{entrant}}$

avec $Qm$ le débit massique.

Lors d'une vidange uniforme avec débit d'air entrant constant, on a donc un temps de vidange qui évolue en $Qm_{entrant}^{-1}$. On utilisera ce résultat plus tard pour vérifier la validité de notre étude.

Vidange selon le modèle de Bernouilli

Considérons maintenant que l'on impose une pression en entrée d'un réservoir d'eau. En connaissant la pression à la sortie du réservoir on peut prévoir, avec la loi de Bernoulli, déterminer le temps de vidange.

Un première estimation consiste à étudier avec l'équation de Bernoulli la vidange d'un réservoir parallélépipèdique d'un volume de 7.5 m3 avec une différence de pression variable entre l'entrée et la sortie.

À l'aide de l'équation \[ \frac{V_{1}^{2}}{2g} + z_{1} + \frac{P_{1}}{\rho g} =   \frac{V(z = 0)^{2}}{2g} + z_{2} + \frac{P_{2}}{\rho g}  \]

Et à l'aide de la conservation du débit : \[ V(z = 0) * \pi R^2 = V_{interface} * S_{interface} \]

On obtient : 

\[ V(z = 0) = \sqrt{ \frac{2 g h + \frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}}{1 - \frac{\pi r^{2}}{l L}}} \]

Puis, la conservation du débit nous donne la relation suivante : 

\[ V_{interface} = V(z = 0) * \frac{\pi R^2}{L * l} \]

Or $ V_{interface} = - \frac{dh}{dt}$ d'où, on obtient l'équation suivante : 

\[ \frac{dh}{dt} = - \sqrt{ \frac{2 g h + \frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}}{1 - \frac{\pi r^{2}}{l L}}} * \left ( \frac{\pi R^2}{L * l} \right ) \]

 

La résolution de cette équation a été réalisé à l'aide de MATLAB et les résultats sont représentés dans le tableau et le graphe suivant :

 


 

L'industriel nous a indiqué que l'on pouvait imposer une pression en entrée jusqu'à 1.5 bar. Les résultats contenu dans le tableau suivant ont été réalisé pour un diamètre en sortie de 60 cm : 

$P_{2} - P_{1}$ 20 000 Pa 27 500 Pa 35 000 Pa 40 000 Pa 50 000 Pa
Temps de vidange  5.1 s 4.5 s 4.1 s 3.9 s 3.5 s

 

Ces premiers résultats, simplement à l'aide de l'équation de Bernoulli nous indique qu'il sera probablement possible d'atteindre un temps de vidange de 8 secondes, Cependant, cette première approche impose de fortes hypothèses non vérifiés dans la réalité. En effet, nous supposons tout d'abord que le fluide est parfait et ne possède donc pas de viscosité, or le fluide utilisé pour la vidange est un fluide assez visqueux et donc ces résultats sont donc déjà fortement remis en questions. De plus, nous supposons que la surface libre est horizontale à tout instant, ce qui ne sera sûrement pas le cas et donc entraînera donc une dissipation d'énergie qui ralentira la vidange du réservoir. Les résultats obtenus sont donc à relativiser et ne donne qu'un ordre de grandeur de la pression à imposer nécessaire à la vidange d'un tel réservoir.

Influence des pertes de charge

Nous allons maintenant compléter le modèle précédant en prenant en compte les pertes de charge à la fois singulières au niveau de la sortie et linéaires sur les parois du réservoir.

\[ \frac{V_{1}^{2}}{2g} + z_{1} + \frac{P_{1}}{\rho g} =   \frac{V(z = 0)^{2}}{2g} + z_{2} + \frac{P_{2} + \Delta P_{PdC}}{\rho g}  \]

avec $\Delta P_{PdC} = \Delta P_{S} + \Delta P_{R} $

  • Perte de charge singulière à la sortie :

Lors de la vidange du réservoir, la restriction de l'écoulement au niveau du tube d'éjection provoque un première perte de charge dont il peut être nécessaire de tenir compte dans nos calculs afin de se rapprocher au plus près du résultat "réel".

L'expression de cette perte de charge est la suivante :

\[ \Delta P_{S} = \xi \rho \frac{V(z=0)^{2}}{2} \]

avec $ \xi = 0.5 $ dans notre cas.

 

  • Perte de charge régulière sur les parois :

Le frottement du liquide sur les parois du réservoir provoque également des pertes de charge dans le système. Celles-ci se modélisent de la façon suivante :

\[ \Delta P_{R} = \lambda \rho \frac{V(z=0)^{2}}{2} \frac{h}{L}  \]

 

avec $ \lambda $ le coefficient de perte de charge dont l'expression dépend de la nature de l'écoulement (Laminaire ou Turbulent).

 

En effet :

  • En régime Laminaire (Re < 2000), $ \lambda = \frac{64}{Re} $
  • En régime Turbulent (Re > 2000), $ \lambda = 0.316 Re^{-0.25} $

Ainsi, en insérant ces pertes de charge dans l'équation de Bernoulli, nous obtenons comme expression de la vitesse en sortie de réservoir :

\[ V(z=0) = \sqrt{ \frac{ 2gh + \frac{2 \Delta P}{\rho}}{ 1 - \frac{\pi R^2}{L l} + \lambda \frac{h}{L} + \xi} }  \]

 

Nous avons utilisé MATLAB afin de résoudre cette équation non linéaire.

Voici les résultats obtenus :

 

$P_{2} - P_{1}$ 20 000 Pa 27 500 Pa 35 000 Pa 40 000 Pa 50 000 Pa
Temps de vidange  6.2 s (+21.6%)* 5.5 s (+22.2%) 5 s (+21.9%) 4.7 s (+20.5%) 4.3 s (+22.8%)

* Comparaison avec le temps de vidange sans prendre en compte les pertes de charges

Nous trouvons bien un temps de vidange plus grand avec les pertes de charge. Nous comparerons par la suite nos résultats avec ceux obtenus dans le cas d'une simulation en trois dimensions.