Étude principale en trois dimensions

Nous passons donc à une étude en trois dimensions afin de prévoir correctement le temps de vidange des réservoirs. Pour simplifier les calculs, nous avons décidé de ne modéliser qu'un quart du domaine et d'utiliser des conditions limites de symétrie pour réaliser la simulation comme si le domaine était entier. De cette manière on limite de manière très importante le temps de calcul (qui malgré cela reste important).

Comme nous allons le voir, nous avons commencé par étudier l'influence de plusieurs paramètres tel que la résolution du maillage, les propriétés du mélange eau-retardant ou encore la condition d'entrée. Puis nous allons nous attarder sur notre objectif principal qui est de déterminer comment vider les quatre réservoirs dans un temps de huit secondes en conservant un débit le plus constant possible.

Analyse d'une simulation

Avant de s'intéresser aux effets des différents paramètres, étudions en détails les résultats d'une simulation. Voici ici le cas ou l'on fait entrer 3 kg/s dans un réservoir avec trois entrée d'air :

Ci-dessus une vidéo ou l'on peut voir l'évolution de l'interface liquide/air. Au dessus de cet interface (du coté des trois entrées) il y a l'air et en dessous il y a l'eau. On peut voir que l'interface change de couleur au cours du temps, ceci est du au fait que l'échelle, qui représente l'altitude le long de l'axe z, se calibre à chaque instant entre le point le plus haut de l'interface et le point le plus bas. On peut ainsi voir qu'au début de la vidéo le point le plus haut de l'interface est à 1.76 mètre (le haut de la tuyère d'entrée) et que vers la fin le point le plus bas est à -0.5 mètre (bas de la tuyère de sortie). Afin de mieux comprendre la vidéo on peut la comparer avec la courbe suivante : 

Cette courbe représente le débit de liquide en sortie de tuyère en fonction du temps. On va analyser cette courbe grâce à certaines images tirées de la vidéo :

  • Le début de la courbe est simple, on a un débit de sortie constant. C'est tout à fait normal puisque l'on impose un débit d'air en entrée constant. Le premier événement marquant se situe au bout de 2,8 secondes où il y a une brusque chute de débit. Comme on peut le voir sur la vidéo cela correspond au moment où la première bulle d'air sort. A partir de ce moment on a un mélange liquide/air qui sort du réservoir.

 

  • Après la chute initial de débit on se retrouve dans une courte période (environ 0,3 - 0,4 secondes) ou le débit fluctue beaucoup mais où sa valeur moyenne ne chute pas vraiment. Cela correspond à une période où dans le réservoir, l'air sort par des bulles séparées qui grossissent de plus en plus.

  • Ensuite on arrive à une période où on retrouve une colonne d'air au centre de la tuyère de sortie. A partir de ce moment le débit commence à décroître rapidement et toujours avec des fluctuations importantes puisque la colonne d'air n'est pas stable et sa forme évolue en permanence.

  • Enfin arrive la dernière étape de la vidange où la colonne d'air adopte une forme circulaire définitive et où son rayon grandit jusqu'à la fin de la vidange.

On a donc vu quels sont les différentes étapes qui se déroulent lors d'une vidange. On va donc pouvoir étudier maintenant l'influence des différents paramètres et ainsi voir si oui ou non ils affectent ces étapes.

Influence de la résolution du maillage

Nous avons commencé par étudier l'influence de la résolution du maillage afin de déterminer si les résultats dépendent fortement du maillage ou non, afin d'utiliser le maillage avec le moins de mailles possibles sans altérer les résultats.

 

Maillages à 16500 mailles et à 148000 mailles

On utilise trois maillages : 16500 mailles, 44000 mailles et 148000 mailles. Les temps de calcul sont très différents allant de moins de quatre heures pour le maillage le plus grossier à plus de vingt heures pour le maillage le plus raffiné. On obtient les résultats suivants :

Nous remarquons que l'influence du maillage est quasiment nul. Sur le volume restant dans le réservoir nous n'observons aucune différence notable sur la première partie de la vidange, mais nous obtenons un écart d'environ 4% au maximum sur la fin de la vidange, ce qui n'est pas très significatif.

On peut noter, sur la courbe du débit de sortie, l'apparition d'oscillations parasites lorsque la taille des mailles augmente. Néanmoins ces oscillations se compensent en moyenne puisque cela ne modifie quasiment pas le volume restant dans le réservoir. L'origine des oscillations provient sûrement du fait que pour calculer le débit on utilise la valeur moyenne de la vitesse sur les mailles de la face de sortie multipliée par la taille de ces mailles. Plus le maillage sera grossier, plus ce débit calculé va être sujet à des "variations numériques" du à notre méthode de calcul.

On peut donc conclure que si l'on veut faire une étude quantitative où seul le temps de vidange nous intéresse, un maillage grossier peut suffire. En revanche si l'on veut s'intéresser avec précision aux différents phénomènes qui peuvent se produire dans le réservoir, il faut utiliser un maillage plus raffiné pour ne pas voir apparaître des effets indésirables du à des mailles trop grosses. 

Influence de la viscosité du mélange eau-retardant

La documentation disponible sur le retardant utilisé, le Fire-Trol 931, n'est pas très précise, notamment au niveau de la viscosité. De plus le retardant est mélangé avec l'eau (environ 20% de retardant et 80% d'eau), la viscosité du mélange peut varier si les proportions changent entre deux largages. Nous avons donc étudié l'influence de la viscosité sur le temps de vidange ainsi que sur l'écoulement dans le réservoir afin de voir si celle-ci a une influence notable.

Voici à titre d'exemple le résultat d'une simulation avec un liquide à grande viscosité ($\mu= 2 Pa.s$ et 3 kg/s d'air entrant) :

Le résultat principal de la comparaison est que le temps de vidange ainsi que le débit en sortie n'est en rien altéré par une variation de viscosité du fluide :

 

Les courbes ne présentent aucune différence majeure. On peut à peine remarquer quelques petits écarts sur la courbe du débit mais ces écarts restent très faibles et ne permettent pas de dégager une quelconque tendance.

Cependant on peut tout de même observer l'influence de la viscosité lorsque l'on s'intéresse au ballottement du liquide dans le réservoir. On peut constater qu'une augmentation de la viscosité tend à faire diminuer le ballottement. En effet si on regarde les deux images ci-dessous tirées de deux calculs où la seule différence provient de la viscosité du fluide ($\mu = 0.02 Pa.s$ à gauche et $\mu = 2 Pa.s$ à droite), on peut voir qu'au même instant l'interface est plus plate lorsque la viscosité est grande. L'échelle, qui s'adapte automatiquement entre le point le plus haut de l'interface et le plus bas, couvre une gamme de valeur bien moins large pour $\mu = 2 Pa.s$ :

 

Simulations à conditions identiques au bout de 2 secondes avec $\mu =0.02 Pa.s$ (à gauche) et $\mu=2 Pa.s$ (à droite)


 

On peut retrouver cette constatation si l'on regarde la courbe représentant l'écart type de la variable "hauteur de la surface libre". Cet écart type représente l'écart moyen de la position des points de l'interface par rapport à la position moyenne de cette même interface. Plus l'écart type est grand plus la surface est déformée. Et plus cet écart type varie rapidement, plus la surface se déformera vite et entraînera un phénomène de ballottement qui peut être dérangeant pour le pilotage de l'avion. On peut constater sur la courbe que si l'écart type est de même ordre de grandeur quelque soit la viscosité, il varie beaucoup plus vite lorsque la viscosité baisse. L'amplitude de la déformation de la surface ne change donc pas mais le ballottement diminue à grande viscosité.

Cette courbe est découpée en deux parties :

  • la première, avant que le siphon d'air ne se mette en place (ici entre 0 et 4.5 secondes).
  • la seconde, après la mise en place de ce siphon (de 4.5 s à la fin).

C'est la première partie de cette courbe qui nous intéresse. En effet, même si ce n'est pas ce que semble indiqué la courbe précédente au premier regard, c'est à ce moment là que le ballottement est le plus grand. L'augmentation brutale de l'écart type dans la deuxième partie provient du fait que le siphon se met en place, il y a alors un grand écart entre le point le plus haut de l'interface et le point le plus bas mais cela n'est pas source de ballottement.


 

Cette étude peut être utilisée s'il est possible de jouer sur la concentration du retardant, ou sur le type de retardant utilisé (et ainsi changer la viscosité). En effet, si le ballottement devient un facteur dont il faut tenir compte dans le cas de bombardement en région ou le pilotage est difficile, l'utilisation d'un retardant plus visqueux pourrait permettre, tout en gardant la même efficacité d'extinction de réduire ce facteur dangereux.

Influence du nombre d'entrée d'air

Lorsque l'on utilise la condition d'entrée mass flow inlet (flux d'air entrant), nous avons étudié la possibilité de faire entrer le flux par plusieurs entrées au lieu d'une seule afin de constater l'influence que cela peut avoir sur la vidange.

 

Géométries avec 1 et 3 entrées

Voici le résultat d'une simulation dans le cas à une entrée d'air (3 kg/s entrant) :

Les figures suivantes représentent l'évolution du débit ainsi que du pourcentage de volume de liquide restant dans le réservoir en fonction du temps pour les deux cas suivants : avec une seule entrée située au milieu pour tout le domaine et avec trois entrées (de la même taille) comme représentés sur les figures précédentes.

Les graphiques nous montrent que le nombre d'entrée n'a pas une importance majeure sur le temps de vidange puisque la courbe du volume restant ne change pas mais il joue quand même un rôle sur le déroulement du largage. En effet sur la courbe du débit de sortie on peut voir que l'air commence à sortir plus tôt dans le cas à une entrée (environ 0,2 seconde plus tôt que dans le cas à une entrée). Ensuite une fois que l'air commence à sortir le débit décroît moins vite en moyenne dans le cas à une entrée. Il y a donc des différences, pour mieux comprendre quels en sont les effets nous allons nous intéresser au ballottement.


Les animations nous permettent d'observer que diviser le flux d'air sur plusieurs entrées permet de diminuer le ballottement dans le réservoir. En effet comme on peut le voir sur les images suivantes, l'interface est plus stable avec plusieurs entrées d'air. Il s'agit de simulation où l'on injecte dans un cas 3 kg d'air par seconde dans la tuyère centrale (on voit trois tuyères sur les images mais seule la centrale fonctionne) et dans l'autre 1 kg d'air dans trois tuyères ce qui au total fait aussi 3 kg d'air par seconde. Tout les autres paramètres sont les mêmes pour les deux simulations.

  • Au bout 0,8 seconde, on voit que la forme de l'interface est plus plate dans le cas avec plusieurs entrées. Ceci est logique puisque le flux d'air est divisé en trois contrairement à l'autre cas ou il est concentré au centre du domaine.

 

A gauche 1 entrée d'air, à droite 3

  • A 1,6 seconde on voit nettement que l'interface, dans le cas à une entrée, est très déformée et on peut distinguer des "vagues" assez importantes. On retrouve encore une fois une interface plus plate en moyenne et surtout plus stable (moins de mouvement de liquide) avec plusieurs entrées.

 

A gauche 1 entrée d'air, à droite 3

  • Enfin à 2,6 secondes, on retrouve les vagues sur les cotés dans le cas à une entrée et la colonne de sortie d'air qui commence déjà à se former alors que l'interface est encore plate et la colonne pas mise en place dans le cas à plusieurs entrées.

 

A gauche 1 entrée d'air, à droite 3


Nous retrouvons ces constatations sur le ballottement à l'aide de la courbe représentant l'écart type de la hauteur de la surface libre en fonction du temps.

En effet, nous observons bien qu'avec trois entrées d'air l'amplitude des déformations est moins importante qu'avec une seule. On voit aussi que le grand pic correspondant au moment ou l'air sort du domaine arrive un peu plus tôt, ce qui confirme ce que l'on a pu dire précédemment. En conclusion, on peut dire que sur le strict point de vue physique on préférera le cas à plusieurs entrées d'air car cela permet d'avoir le même temps de vidange qu'un cas à une entrée et aussi moins de ballottement. La seule limite à ce cas peut être de l'ordre de la réalisation pratique avec les contraintes d'aménagement de l'avion et le coût plus élevé.

Détermination du temps de vidange

Il est possible pour nous d'imposer deux types de conditions d'entrée dans notre réservoir : l'injection du débit massique d'air ou imposer une pression constante en entrée. Nous avons traité ces deux cas pour voir quels en sont les différences.

Condition d'entrée : Flux d'air entrant

Dans cette première partie, nous avons réalisé les calculs en supposant que nous imposions un débit massique d'air en entrée de réservoir (comme tout ce qui a été fait dans les parties précédentes). Ceci peut être obtenu en faisant entrer de l'air en tête de réservoir provenant directement d'une ouverture dans la coque de l'avion.

Évolution du volume restant dans le réservoir en fonction du temps


Évolution du débit d'eau en sortie de réservoir en fonction du temps


On trace le temps de vidange à 95% d'un réservoir en fonction du débit d'air entrant :

 

Débit (kg/s) Temps de vidange à 95% (s)

2

7.16
2.5 6.23
3 5.67
3.5 5.11
4 4.67
5 4.05

 

 

On trouve un loi qui montre que le temps de vidange évolue selon $Q^{-0.62}$ (avec un très bon coefficient de corrélation $R^2=0.9985$. Cette loi peut nous permettre d'anticiper le débit à imposer pour obtenir un certain temps de vidange. On ne trouve pas une loi en $Q^{-1}$ comme ce que l'on avait vu dans la partie théorique car la vidange n'est pas uniforme (on a du liquide et de l'air qui sortent en même temps). On verra dans la partie de vérification des résultats comment retrouver cette évolution en $Q^{-1}$.


Cette courbe représente l'écart type de la hauteur de la surface libre (interface liquide/air) en fonction du temps pour deux débits d'air entrant différents. Nous observons qu'un débit d'air plus élevé implique un écart type à la fois plus instable et plus élevé (notamment au début), ce qui se traduit physiquement par un plus grand ballottement dans le réservoir. Le ballottement devant être le plus faible possible, nous préférerons retenir le cas à débit d'air le plus faible.


Les enseignements que l'on peut tirer de cette première étude, notamment sur les stratégies pour vider les quatre réservoirs, sont les suivants :

  • Comme on pouvait s'y attendre la stratégie qui consiste à vider les quatre réservoirs en même temps pendant huit secondes n'est pas viable. En effet il est impossible de garder un débit qui ne varie pas beaucoup et la majeure partie du liquide serait vidée lors des premières secondes.
  • Le cas ou l'on vide les réservoirs les uns après les autres en environ deux secondes chacun semble plus réalisable. En effet on peut réussir à trouver un débit d'air entrant qui permettra cette configuration (environ 5.5kg/s).
  • Et enfin la dernière stratégie ou l'on vide deux réservoirs en quatre secondes puis à nouveau deux autres en quatre autre secondes est possible aussi. Elle a l'avantage d'être moins violente au niveau des mouvements de fluide à l'intérieur du réservoir que la configuration précédente (débit d'air entrant plus faible).

On détaillera ces deux configurations retenues dans la conclusion de l'étude.

Condition d'entrée : Pression imposée

Nous avons ensuite essayé d'imposer une pression constante en entrée, comme si l'on utilisait un compresseur en tête de réservoir.

Afin de répondre à l'attente d'une vidange en moins de 8 secondes, et sachant que l'on ne peut pas mettre en pression l'air à plus de 1,5 bars (contrainte imposée par Kepplair Evolution), nous avons réalisé les calculs aux pressions suivantes : 1.2 bars, 1.275 bars, 1.3 bars, 1.4 bars et 1.5 bars (la pression de sortie étant de 1 bar, on lit sur les courbes les différences de pression $\Delta P$ exprimées en Pascal). Nous avons aussi ajouté la courbe à 1.6 bars à titre informatif même si cette condition ne peut pas être imposée. Les résultats sont représentés dans le graphique suivant :

Évolution du volume restant dans le réservoir en fonction du temps à différentes pressions


Évolution du débit d'eau en sortie en fonction du temps  à différentes pressions


Nous retrouvons des résultats similaires à ceux du cas du débit d'air entrant. Nous observons que la vidange du réservoir se déroule en deux étapes ici. Durant la première, le débit d'eau en sortie est globalement constant (hormis sur les premiers dixièmes de secondes), ou augmente légèrement, puis chute brutalement lors de la seconde phase. Lorsque l'on observe les images de la vidange du réservoir, nous remarquons que la chute du débit d'eau en sortie intervient lorsqu'un siphon d'air se crée de l'interface liquide/air vers la sortie du réservoir comme dans le cas du débit d'air entrant.

La seule différence notable entre les deux cas est la mise en place de la vidange. On peut voir ici lors des premiers instants que le débit de sortie augmente très rapidement pour atteindre un palier quasi-constant alors que dans le cas du débit d'air entrant le débit est constant dès l'instant zéro.


On consigne dans le tableau suivant les temps de vidange à 95% d'un réservoir en fonction de la surpression imposée :

Surpression (Pa) Temps de Vidange Numérique à 95 % (s)
20 000 8.22
27 500 7.3
35 000 6.59
40 000 6.5
50 000 6.12
60 000 5.85

Les conclusions que l'on peut tirer de cette étude de la condition de pression imposée, notamment sur les stratégies pour vider les quatre réservoirs, sont les suivantes : 

  • Les limitations imposées par l'industriel sont problématiques. En effet on pourra au maximum vider le réservoir en 6 secondes ce qui exclut les deux stratégies ou l'on décale les vidanges des réservoirs les unes par rapport aux autres.
  • La seule configuration possible est donc de vider tout les réservoirs en même temps. Or comme nous l'avons dit dans la partie précédente cette stratégie n'est pas bonne puisque la majeure partie du liquide sort lors des première secondes, ce qu'il faut éviter.
  • Au final on préférera donc imposer un débit d'air plutôt qu'une pression, en effet le premier nous offre une marge de manoeuvre plus importante pour remplir nos objectifs et présente aussi l'avantage d'être plus facile à mettre en oeuvre.

Vérification des Résultats

Cas à flux d'air entrant :

 

Une fois le maillage et les calculs réalisés, nous avons souhaité comparer nos résultats avec ce que la théorie donne afin de valider ou non nos calculs. Pour cela, nous avons tout d'abord commencé par comparer le temps de vidange dans notre cas avec celui donné par l'équation de conservation du débit.

L'équation de conservation du débit (Voir ici : http://hmf.enseeiht.fr/travaux/bei/beiep/content/g18/conservation-debit) nous donne $T_{vidange} = \frac{V_{réservoir}. \rho_{air}}{Qm_{entrant}}$, c'est à dire une évolution du temps de vidange en $Qm_{entrant}^{-1}$. Afin de vérifier si nos calculs sont bons, nous allons repérer le temps de vidange à 50% (car à ce stade il n'y a encore que du liquide qui sort du réservoir), et nous allons comparer l'allure de son évolution à celle du temps théorique. Nos résultats sont regroupés dans le tableau et le graphique suivant.

 

Débit (kg/s) Temps Numérique Vidange 50%
2 3.13
2.5 2.5
3 2.08
3.5 1.78
4 1.56
5 1.25

 

Les valeurs représentées par les points bleus sont les valeurs que nous avons obtenu numériquement pour le temps de vidange à 50% du volume du réservoir. La courbe verte, elle, représente une courbe de régression en puissance (de coefficient de corrélation $R^2 = 0,999979$). Nous observons bien que nos valeurs numériques suivent une loi en $Q_{m}^{-1}$, on retrouve donc comme on pouvait s'y attendre la conservation du débit.

De plus, le coefficient devant $Q_{m}^{-1}$, 6.26, est censé représenté $ V_{réservoir} . \rho_{air}$. Or ici, comme nous réalisons les calculs pour un temps de temps à 50%, ce coefficient représente ici en réalité $ \frac{V_{réservoir} . \rho_{air}}{2} = 6.24 \approx 6.26 $ . Nous retrouvons bien ce terme avec nos calculs, ceux-ci sont donc bien validés.


Cas à pression imposée :

 

Surpression

(Pa)

Temps de Vidange

Numérique (s)

Temps de Vidange Bernoulli

avec Perte de Charge (s)

Temps de Vidange Bernoulli

sans Perte de Charge (s)

20 000 8.22 (+32.6%)* (+61.2%)** 6.2 5.1
27 500 7.3 (+32.7%) (+62.2%) 5.5 4.5
35 000 6.59 (+31.8%) (+60.7%) 5 4.1
40 000 6.5 (+38.3%) (+66.7%) 4.7 3.9
50 000 6.12 (+42.3%) (+74.8%) 4.3 3.5
60 000 5.85 (+46.2%) (+77.3%) 4 3.3

* Comparaison avec le temps de vidange selon Bernoulli avec perte de charges ** Comparaison avec le temps de vidange selon Bernoulli sans perte de charges

Nous obtenons numériquement un temps de vidange supérieur aux temps de vidange que l'on peut calculer à l'aide de l'équation de Bernoulli, que l'on tienne compte ou non des pertes de charges. Ceci est logique, Bernoulli ne tient pas compte de la sortie d'air qui a lieu pendant la vidange. Si cette sortie d'air n'avait pas lieu, c'est-à-dire si l'eau sortait uniformément, on retrouverait une courbe bien plus proche du cas Bernoulli avec perte de charge. Au lieu de ça on se situe donc logiquement au dessus de cette dernière. On arrive néanmoins à retrouver une allure similaire entre la courbe numérique et les deux courbes théoriques.