Validation des outils utilisés

Validation avec le cas du déplacement d'une sphère dans une conduite


Afin de valider les outils utilisés, que sont le solveur pimpleDyMFoam ainsi que le mailleur snappyHexMesh, nous allons comparer les résultats obtenus avec notre méthode par rapport à un écoulement type dont les résultats sont connus.

Pour cela, nous avons recherché dans la littérature des expériences, numériques ou non, qui proposaient des résultats et où l'utilisation d'un maillage mobile dans le cas d'écoulements confinés était appropriée. C'est dans ce cadre là que nous avons trouvé un document fort intéressant traitant du mouvement d'une sphère dans une conduite cylindrique.

Ce document, intitulé "Couplage fluide-solide appliqué à l'étude de mouvement d'une sphère libre dans un tube vertical", est le rapport de thèse effectuée par Mr Thibaut Deloze à l'Université de Strasbourg. Nous nous sommes notamment référés au chapitre 7 : Etude d'un écoulement autour d'une sphère en translation uniforme le long d'un tube. Il est disponible en téléchargement libre sur le lien suivant : scd-theses.u-strasbg.fr/2203/

L'aspect intéressant de cette étude est que la vitesse de la sphère est fixée par l'utilisateur, ce qui est proche de notre étude finale qui est l'étude du déplacement du train à une vitesse imposée.

Nous allons ici comparer les résultats obtenus avec notre code par rapport à ceux de cette thèse dans le cadre de l'influence de la distance de la sphère par rapport à la paroi ; en effet, la sphère n'est forcément au centre de la conduite. Remarquons également que le maillage utilisé dans cette thèse contient 2.6 millions de mailles pour une étude en 3 dimensions.

Source : scd-theses.u-strasbg.fr/2203/

Les résultats de cette thèse donnent la valeur des coefficients de traînée et de portance en fonction de la position de la sphère dans la conduite, et ce pour 3 nombre de Reynolds différents : 50, 200 et 250. Le paramètre adimensionnel permettant de rendre compte de cette distance à la paroi est le paramètre L/d sachant que D/d est fixé à 3.3. Ce paramètre varie de 1 à 1.6.

 

 

Implémentation du problème physique au sein du code

Pour lancer ces simulations, nous allons ainsi utiliser le maillage mobile avec le solveur pimpleDyMFoam. Afin de prendre compte de la sphère solide qui se déplace, nous avons utilisé le mailleur automatique snappyHexMesh en ayant préalablement défini la conduite circulaire.

En revanche, pour des raisons de ressources de calculs, nous devrons nous restreindre à un cas bidimensionnel. En effet, réaliser une étude paramétrique avec un maillage mobile de 2.6 millions de mailles nous paraît irréalisable dans le temps imparti pour ce BEI. Nous devons donc bien nous rendre compte que le cas étudié n'est pas vraiment le même et ceci peut être source de non concordance entre nos résultats et ceux de la thèse.


Définition de la sphère ...

Pour prendre en compte la sphère, nous allons utiliser le mailleur snappyHexMesh. Ainsi, il nous faut un fichier .obj. Ceci peut être obtenu, en 3 dimensions, avec le logiciel Paraview. Il faut en effet, après avoir lancé le logiciel, cliquer sur "Source" puis "Sphere". Une sphère s'affiche alors à l'écran. On exporte ensuite cette sphere au format x3d qui peut être finalement converti en .obj.

Cette sphère fait donc, comme dans la thèse, 1 mètre de diamètre et aura une vitesse imposée de 1m/s, et est placé selon les cas plus ou moins proche de la paroi du domaine.

Voici finalement le maillage, autour de la sphère, que l'on obtient :


Définition du domaine ...

La stratégie employée est toujours celle décrite précédemment avec une séparation du domaine en 3 blocs. Le bloc central, en translation, contient la sphère et et les deux autres se contractent ou s'étirent.

Voici donc schématiquement comment ce domaine peut être représenté :

Au final, le maillage complet comporte 28 000 cellules. Nous aurons donc une longueur caractéristique de maille du même ordre de grandeur que le maillage utilisé pour la thèse sachant que ce dernier contient 2.6 millions de mailles mais réalise un calcul en trois dimensions.

Pour ce cas de la sphère, nous avons choisi de diviser la simulation en 10 sous-simulations afin de conserver un maillage de qualité correcte. Par conséquent, voici le type de simulation que l'on peut obtenir :


Obtenir le coefficient de traînée avec OpenFOAM ...

Ce paragraphe traite de l'évolution du coefficient de traînée Cx de la sphère dans l'écoulement. Il faut ainsi expliquer comment nous avons pu avoir accès à ce coefficient. Ce dernier est issu de la force de traînée qui est présente suite aux effets visqueux de l'écoulement ainsi que les efforts de pression de l'écoulement sur la surface de la sphère. On peut relier Cx à cette force par la relation suivante :

$ F_x=\frac {1} {2} \cdot \rho \cdot S \cdot C_x \cdot V² $

Grâce aux données de la vitesse et de pression autour de la sphère, il aurait été tout à fait possible de remonter à la force de traînée en réalisant une intégrale sur la surface de cette sphère.

Cependant, directement dans le fichier controlDict et par OpenFOAM, il est possible d'importer la librairie libforces.so qui permet ensuite d'obtenir comme résultat un coefficient de traînée. L'utilisateur doit indiquer une vitesse de référence (la vitesse de la sphère dans notre cas), une longueur de référence (le diamètre), une densité de référence ainsi qu'une surface de référence. Cette surface de référence, dans notre cas 2D, est calculée à partir du diamètre que l'on multiplie par l'épaisseur de la maille dans la troisième direction. Cette surface correspond en effet à la surface apparente de la sphère, vu par l'écoulement.

Voici par conséquent ce qu'il a fallu ajouter à la fin du fichier controlDict :

 

En ayant inséré ce paragraphe dans le fichier controlDict avant de lancer les calculs, OpenFOAM créera alors un dossier intitulé forceCoeffs où sera présent un fichier comportant le coefficient de traînée.

 


Les paramètres numériques ...

 

Enfin, nous avons utilisés les paramètres numériques suivants pour la résolution du problème sous OpenFOAM :

Solveur Discrétisation temporelle Discrétisation spatiale Pas de temps (s) Temps Final (s)
PimpleDyMFoam

Euler implicite,
Ordre 2

Gauss, Ordre 2 10-3 10

 

Comparaison des Résultats : influence de la distance à la paroi pour différents Reynolds

Etude de Convergence en maillage ...

Nous avons précédemment fait remarquer que le maillage obtenu était constitué de 28 000 cellules pour un calcul 2D. Il faut quand même pouvoir justifier un tel maillage pour le domaine décrit lors de la section précédente.

Pour cela, nous nous fixons à un nombre de Reynolds donné, égal à 200, et pour une distance à la paroi de manière à avoir un rapport $ \frac {L}{d}$ égal à 1. Pour différents maillages, chacun associé à un nombre de maille, nous avons utilisé OpenFOAM pour calculer le coefficient de traînée.

Ainsi, on peut tirer la valeur de Cx pour les 5 maillages testés, sachant que le résultat de la thèse, pour cette configuration, est $C_x = 1.01$

 

Nombre de mailles 3200 7200 12800 28000 64000
Cx 2.0678 2.0674 2.0598 2.055 2.0521

 

Ce tableau, sous forme de courbe, est représenté ci-dessous :

On peut alors remarquer que, quelque soit le maillage utilisé, la valeur du coefficient de traînée est constante et ainsi l'écart par rapport au résultat de la thèse reste identique peu importe la précision du maillage.

Nous avons ainsi choisi de conserver le maillage avec 28000 volumes de contrôles puisque ce dernier, avec le pas de temps choisi de 10-3 s, nécessite environ 1H de calcul. Un tel temps de calcul est convenable pour plusieurs raisons. Il assure un minimum de précision dans les résultats, avec un précision équivalente à celle de la thèse et permet également d'enchaîner les simulations de l'étude paramétrique dans de bonnes conditions.


Comparaison des résultats avec la thèse ...

Après avoir justifié ce choix de maillage, nous pouvons maintenant réaliser l'étude de l'influence du nombre de Reynolds et de la distance paroi-sphère. Notons simplement que nous faisons varier le Reynolds par l'intermédiaire de la viscosité du fluide, la vitesse de déplacement du solide étant toujours fixée à 1 m/s.

Ainsi, avec un post-traitement via Matlab, voilà la courbe que nous obtenons :

Ces courbes mettent en valeur un décalage certain entre les deux sources de résultats. Effectivement, les calculs 2D sous OpenFOAM ont tendance à surestimer ce coefficient de traînée par rapport aux résultats 3D de la thèse. Peu importe le Reynolds et la distance à la paroi, il faudrait retirer 1 à nos résultats pour retrouver environ ceux de la thèse.

La différence entre 2D et 3D peut sans doute être source de ce décalage. En effet, le problème 2D n'est pas parfaitement équivalent au cas 3D. Des phénomènes fluides ayant lieu lorsqu'on considère la 3ème direction ne peuvent être retranscrit en 2D et peuvent être à l'origine d'une augmentation de la traînée dans un cas bidimensionnel.

Malgré tout, les résultats semblent tout à fait corrects dans la mesure où les tendances sont respectées et les ordres de grandeur équivalents. Plus le nombre de Reynolds augmente, plus le coefficient de traînée diminue et l'éloignement de la sphère a une légère tendance à faire diminuer ce coefficient.