Etude théorique préliminaire

Phénomènes à l'origine de la rupture

Les différents phénomènes intervenant dans la rupture

De manière générale, on peut distinguer plusieurs phénomènes intervenant dans la rupture de gouttes au sein d'un écoulement. La turbulence, ainsi que des effets visqueux et inertiels peuvent intervenir avec une plus ou moins grande importance selon la nature de l'écoulement. Les forces alors engendrées sont a comparer avec la tension de surface à l'interface entre la goutte et la phase porteuse qui tend à rétablir et conserver la goutte dans une forme sphérique et qui s'oppose ainsi à la déformation et à la rupture. Une telle comparaison permet de déterminer une taille de goutte critique.

 

Influence de la turbulence

Une approche basée exclusivement sur l'intensité de la turbulence peut donner de très bon résultats dans la prédiction des phénomènes de rupture dans la cas où celle-ci est suffisamment importante pour causer un large taux de rupture.

La grandeur permettant de quantifier l'efficacité de la turbulence dans le mécanisme de rupture de gouttes est le nombre de Weber, comparant les forces de pression statistiquement moyennées à l'échelle de la goutte et les forces de tension de surface. On peut exprimer le Weber turbulent de la manière suivante :

\begin{equation} We=\frac{\rho_{c} \overline{\delta u^{2} (x,d) }d}{\sigma} \end{equation}

où $\overline{\delta u^{2} (x,d)}$ est la moyenne du carré de la différence des fluctuations de vitesse sur l'échelle d'une goutte. On le calcul de la manière suivante :

\begin{equation} \overline{\delta u^{2} (x,d_{\alpha})}=\overline{max_\alpha [u_{x}(\textbf{x}+\textbf{d}_{\alpha}/2)-u_{x}(\textbf{x}-\textbf{d}_{\alpha}/2)]^{2} +[u_{y}(\textbf{x}+\textbf{d}_{\alpha}/2)-u_{y}(\textbf{x}-\textbf{d}_{\alpha}/2)]^{2}}\end{equation}

Avec $\textbf{d}_{\alpha}$ de norme d, orienté selon x ou y.

 

Autres mécanismes physiques intervenant dans la rupture

Une autre contribution au phénomène de rupture vient de la décélération du fluide dans la direction de l'écoulement. Le Weber associé à cette contrainte inertielle peut s'écrire :

\begin{equation} We_{I}=\rho (\frac{\partial U_{y}}{\partial y})^{2} \frac{d^{3}}{4 \sigma} \end{equation}

Le jet entraîne de forts gradients de vitesse moyenne qui peuvent participer à la rupture des gouttes. Cette contribution des effets visqueux s'exprime à l'aide du nombre capillaire :

\begin{equation} Ca=\mu_{c} \frac{\partial U_{y}}{\partial x}\frac{d}{2 \sigma} \end{equation}

avec $\mu_{c}$ viscosité de la phase porteuse.

Dans le cadre de notre étude, nous nous intéresserons particulièrement à l'influence de la turbulence et de la viscosité.

 

Étude dynamique de la goutte.

Le modèle d'étude des phénomènes de rupture de gouttes présenté précédemment ne tient pas  compte de la dynamique de la goutte. En effet, lorsque celle-ci est soumise à une perturbation extérieure, elle peut entrer en résonance et se déformer jusqu'à une amplitude qui l'entraîne à se rompre. Il s'agit donc pour mener une étude dynamique d'étudier les temps caractéristiques de la goutte (fréquence propre d'oscillation et taux de d'amortissement) ainsi que les champs de contraintes instantanés de l'écoulement.

Cette étude ne sera pas menée dans le cadre de notre travail.

Etude de la turbulence

La turbulence est un phénomène fondamentale au sein d'un processus d'émulsification. La connaissance des échelles de la turbulence renseigne sur l'efficacité de cette dernière à venir briser les gouttes présentes dans la phase dispersée. Il s'agit donc ici de proposer une étude de la turbulence engendrée par le jet en sortie de restriction dans l'optique d'en comparer les échelles caractéristiques avec les dimensions des gouttes.

 

Estimation des échelles spatiales

L'estimation des échelles caractéristiques de la turbulence se fait de proche en proche à partir de grandeurs liées à l'énergie plus facilement approchables. Ainsi, le flux d'énergie nous est donné par la relation :

\begin{equation} E=\frac{\rho U_{0}^{2}}{2}.Q=\frac{\rho U_{0}^{2}}{2}.U_{0}.h.B \end{equation}

avec :

  • U0 : vitesse moyenne d'entrée
  • Q : débit d'entrée
  • h : hauteur de la cavité d'entrée
  • B : largeur de la cavité d'entrée (ici arbitraire)

On a de plus pour le taux de dissipation par unité de masse la relation suivante :

\begin{equation} \epsilon=\frac{E}{V_{diss}.\rho}=\frac{U_{0}^{2}.h.B}{2.A_{diss}.B} \end{equation}

avec :

  • Vdiss : volume de dissipation d'énergie
  • Adiss : aire de dissipation d'énergie

Par ailleurs, on peut estimer la grandeur Adiss en estimant les longueurs selon x et y sur lesquelles le fluide perd la majeur partie de sa vitesse, et donc de son énergie cinétique.

On peut alors estimer l'échelle de Kolmogorov à l'aide de l'expression :

\begin{equation}\eta=(\frac{\nu^{3}}{\epsilon})^{\frac{1}{4}}\end{equation}

et les grandes échelles de la turbulence à l'aide de l'équation :

\begin{equation}l_{0}=\eta.Re^{\frac{3}{4}}\end{equation}

avec $Re=\frac{\rho.h.U_{0}}{\mu}$