Application des critères

Introduction

L'exploitation numérique dans un premier temps consiste à vérifier la pertinence de nos scripts en faisant des essais sur des images tirés des articles et en s'assurant de retrouver des résultats cohérents. Nous prendrons comme référence les résultats obtenues dans les articles.

Pour cela nous avons utilisés les six images ci-dessous tirées de l'article de Pozorski et al. [8] Ces images ont une bonne résolution et  présentent des particules de même taille et en quantité relativement proche rendant ainsi le traitement facile et la comparaison pertinente.

Images de spray tirées de l'article de Pozorski et al. [8]

 

Les nombres de Stokes basés sur l'échelle de Kolmogorov associés à ces images sont répertoriés dans le tableau ci-dessous:

Par ailleurs au terme de l'étude nous avons mesuré le temps de calcul pour ces six images avec les différents indicateurs et consigné les résultats dans le tableau ci-dessous. Le nombre de particule calculé est celui obtenu par l'application de Czainski en approche "recherche de cercles".

Il en ressort que l'approche pixel en plus d'être applicable à d'avantage d'images se présente comme la moins gourmande en temps CPU. On remarque également que l'image_a qui se présente comme largement plus homogène que les autres sollicite bien plus le CPU. Cela est du au fait que les particules sont plus dispersées et que les niveaux de gris pour toutes les repérer sont plus importants.

Exploitation du critère de Czainski

Czainski approche avec les cercles

Nous avons souligné précédemment l'importance de l'échelle à laquelle on souhaitait observer l'écoulement pour obtenir une interprétation physique cohérente de l'inhomogénéité. Dans le cas de l'indicateur de Czainski où l'on maille le domaine pour compter les cellules, cette échelle correspond à la taille de maille appropriée à l'écoulement. Il nous a donc paru essentiel d'étudier l'évolution du critère avec la finesse du maillage afin d'observer les limites d'applicabilité du critère.

En appliquant le critère de Czainski aux images mentionnées plus haut pour des maillages variants de 5x5 à 400x400 cellules avec une approche "recherche de cercles" on obtient les courbes suivantes montrant l'évolution de l'indicateur H avec la finesse du maillage.

On peut d'ors et déjà constater que les courbes se croisent ce qui physiquement semble peu acceptable puisqu'une image ne peut pas avoir une inhomogénéité variable relativement à une autre. D'autre part on observe une large variation avec le nombre de cellules pour chaque image d'où l'importance de se placer à un certain maillage pour obtenir les résultats les plus pertinents.

On constate par exemple qu'à maillage très grossier la figure b) apparaît comme plus homogène que la figure f) ce qui est aberrant. D'autre part on remarque que toutes les courbes tendent vers 0 quand nx tend vers l'infini ce qui est probablement due à la nature asymptotique de la formule de Czainski mais n'est néanmoins pas plus acceptable physiquement.

Ainsi nous en avons conclu que pour l'indicateur de Czainski si l'on souhaite des résultats numérique en accord avec la physique pour ce type d'approche de recherche d'objet il faut définir une longueur caractéristique qui donnera un ordre de grandeur de la taille de cellule à considérer. Dans une approche "recherche de cercles" cette longueur n'est autre que le diamètre moyen des particules (qui est le même que celui des cercles) soit dans le cas de ces images un maillage de l'ordre de 100x100.

Dans l'approche "recherche d'objet" la longueur caractéristique que nous avons définit dépend de l'écoulement et prend la valeur du diamètre moyen à faible inhomogénéité et la longueur des grosses structures à forte inhomogénéité. Cependant cette méthode étant nettement moins précise pour les images à forte inhomogénéité nous l'avons abandonné.

Nous avons par la suite opté pour l'approche "pixel" qui se présente comme la plus adaptée à un large choix d'image et permet de s'approcher d'avantage de la réalité puisqu'en fait les particules sont bel et bien plus petites que la taille du pixel.

 

Czainski approche pixel

On applique maintenant le critère de Czainski sur nos 6 images avec la méthode de recherche par pixel. L'intérêt de cette approche est le fait de pouvoir l'appliquer sur une image provenant des expériences en laboratoire. On va s'assurer que les résultats obtenus sont cohérent avec ceux de l'approche par les cercles, puis nous traiterons l'image du spray réel.

L'étude qu'on a mené nous impose de prendre en considération le paramètre de maillage et le paramètre du seuil de gris. Nous avons donc étudié l'évolution de H selon ces deux grandeurs.

 

Sur ce graphe, on visualise l'évolution de l'indice de Czainski en fonction des deux paramètres de maillage et de seuil de gris. Cette évolution a été obtenu pour l'image a, faible nombre de Stokes. On peut visualiser le même graphe avec une image contenant de l'inhomogénéité, comme ci-dessous :

Il est intéressant d'observer l'évolution du maximum de critère. La valeur obtenue peut etre utiliser pour la comparaison. C'est ce qu'on réalise sur la figure suivante. On constate une évolution uniforme du critère en fonction du seuil de gris utilisé. Plus le niveau de gris est élevé, plus on reserre la bande de gris qui est considéré comme des particules.

 

Ce graphique nous offre la possibilité de classer les images en fonction de leur inhomogénéité.

On peut aussi s'intéressé à l'évolution du maillage qui donne la valeur maximale du critère. On s'attend à ce que des dimensions caractéristiques ressortent de l'étude.

 

Une des premières choses que l'on constate c'est que, bien que les images à Stokes 0.01 et 4 aient un indice H qui les classent parmi les plus homogènes, leur maillage ne sont pas dans les mêmes échelles. La maille caractéristique pour le St = 0.01 est très petite par rapport à St = 4. Elle se rapproche de la dimension de la particule. Tant dis que pour St = 4, un maillage de 5x5 correspond à de plus grosses structures.

De plus, la tendance montre que lorsque le nombre de Stokes augmente il faut réduire le nombre de maille.

 

Exploitation du Box Index

Box Index

Cette indicateur a été utilisé de nombreuses fois dans la littérature. C'est un méthode simple à mettre en place. En revanche lors de son utilisation et de son interprétation il faudra rester vigilant, nous allons voir pourquoi.

Pour vérifier le bon fonctionnement de nos scripts, nous avons recherché des résultats similaires à l'article de Pozorski et al [8]. Ce critère a une forte dépendance au maillage que l'on utilise. C'est ce que l'on peut constater sur le graphe suivant, sur lequel est tracé la PDF (Probability Density Fonction) du nombre de particules par maille pour différents maillages.

 

On constate sur cet ensemble de graphes que certains maillages ne permettent pas de conclure sur l'inhomogénéité. C'est le cas lorsque nx vaut 80 (graphe en haut à gauche) ainsi que pour nx égale à 5 (graphe en bas à droite). En revanche, pour les deux autres graphes on voit bien que certaines courbes, notamment celles correspondant aux nombres de Stokes 0.01 et 4, se rapprochent des points théoriques d'une distribution de Poisson.

Il faut maintenant appliquer le critère qui permet de comparer quantitativement l'inhomogénéité. Le résultat est donné dans le graphe ci-dessous.

Ce graphe confirme le fait que selon le maillage qu'on utilise les résultats changent de sens. On retrouve pour le maillage par 80 et par 5 que les valeurs de la norme entre Poisson et notre distribution ne sont pas convaincante. Pour le maillage en 23 et 40, le profil obtenu est tout à fait cohérent avec ce qu'on attendait. On constate que lors de Stokes faible la déviation est la plus faible. En se rapprochant de Stokes 1 on voit un pic puis lorsque le Stokes augmente la déviation diminue.

De ce graphe nous pouvons obtenir un classement par ordre d'inhomogénéité des 6 images.

Exploitation du critère de Voronoi

Voronoi

Pour cette partie, nous allons faire appel à un algorithme déjà connu sous Matlab par la fonction Voronoi . Cette fonction permet directement par l'entrée du centre de gravité des objets de créer un maillage. On obtient par la suite l'aire de chaque cellules. Cette aire, comme il a été dit précédemment, est inversement proportionnelle à la concentration en particule.

Pour comparer nos résultats à ceux de l'article de Pozorski et al. [8], nous avons tracé la PDF de l'aire de Voronoi normalisé. Celle ci est supposé avoir une forme de loi de gamma.

 

L'utilisation de la décomposition de Voronoi n'est pas la finalité. Pour définir un critère de l'inhomogénéité, on utilise l'écart type de la distribution. L'expression de l'écart type est :

\begin{equation} \sigma = \sqrt{<\nu^2> -1}  \end{equation}

 

On trace donc l'écart type de la fonction en fonction du nombre de Stokes de nos 6 images.

Le graphe ci-dessus est très clair. On peut avoir un résultat pour le classement de nos images selon leur inhomogénéité. Dans les études précédentes, particulièrement celles de Monchaux, il est dit que l'écart type doit tendre vers 0.53 pour un spray homogène. On constate sur notre figure que l'image à faible Stokes a bien cette valeur de 0.53, ce qui nous conforte sur la fiabilité de nos résultats. Il etait aussi attendu l'existence d'un pic d'inhomogénéité pour des valeurs de Stokes autour de 1.

Application aux sprays réels

Dans cette partie, nous allons appliquer le critère de Czainski aux images de sprays réels. L'image cible reste la même ainsi qu'une autre image transmise par M. Hélie.

Images de spray réel fournie par J. Hélie, Continental

Pour le traitement, nous ne pouvons pas considérer l'image dans son ensemble. En effet, les images sont constituées de zones trop différentes pour que l'application du critère soit consistante. Pour la première image, on va donc isoler le quart en bas à gauche de l'image, qui correspond à la zone la plus éloignée de l'injecteur. Pour la seconde image, on utilisera 4 zones différentes du spray. Ces zones correspondent dans l'ordre à une zone proche, une zone proche décalée de l'axe, une zone éloignée et une zone éloignée et décalée du centre.

Première image

On applique en suite le critère de Czainski uniquement. On renouvelle l'étude sur l'indice en fonction du maillage et du niveau de gris. On obtient les graphes ci-dessous :

 

 

Seconde image

De la second image, on isole les 4 zones suivantes. Nous allons tenter de comparer leur taux d'inhomogénéité.

 

Image 1 Image 2 Image 3 Image 4

les images correspondent à :

  • image 1 est une zone loin de l'injecteur
  • image 2 est une zone loin de l'injecteur et décalé de l'axe
  • image 3 est une zone proche de l'injecteur
  • image 4 est une zone proche de l'injecteur et décalé de l'axe

 

 

On obtient une hiérarchie :