Les indicateurs d'inhomogénéité dans la litterature

Introduction sur la notion d'inhomogénéité

On souhaite pouvoir classer des images de sprays en terme d'inhomogénéité ce qui implique que l'on puisse définir l'inhomogénéité comme une notion quantitative. En effet cette notion est à l'origine purement visuelle et binaire : on regarde l'image et si l'on observe un peu plus de particules en un endroit on décrète qu'elle est inhomogène. Cependant on voit bien que cette notion perd du sens lorsqu'on cherche à comparer deux images inhomogènes car une notion binaire ne se prête pas à une comparaison précise.

A travers plusieurs études les chercheurs ont donc essayé de caractériser l'inhomogénéité à l'aide d'outils mathématiques afin d'en faire une notion quantitative. Ils ont alors définit des "indicateurs" (ou critères) d'inhomogénéité qui dépendent de plusieurs paramètres et se présentent sous la forme de valeurs numériques permettant ainsi un classement des images par ordre croissant ou décroissant.

Le tableau ci-dessous répertorie les indicateurs les plus courants ainsi que leur caractéristiques principales. Il consitute une synthèse de notre travail bibliographique sur le sujet. Dans le cadre de notre BEI nous ne nous intéresserons cependant qu'aux trois premiers, nous développerons à leur sujet dans le pages suivantes.

 

 

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Czainski

L'indicateur de Czainski a été mis au point en 1993 par l'équipe de Czainski et al [2] afin de caractériser l'inhomogénéité d'une image en se basant sur un décompte des particules. Plus précisément on divise l'espace en mailles et on compte le nombre de particules par mailles. On peut ensuite comparer ce nombre à des valeurs de références et en déduire un "écart à l'homogénéité".

La méthode de Czainski consiste a mailler le domaine très finement (taille de cellule proche de celle d'une particule) puis à le binariser en indiquant dans chaque cellule un 1 s'il y a une particule et un 0 s'il n'y en a pas. On peut alors visualiser le domaine sous la forme d'un quadrillage dans lequel les cellules sont pondérées.

Czainski rappelle que dans cette approche un point essentiel est l'échelle à laquelle on souhaite caractériser l'inhomogénéité. En effet une fois le domaine maillé et pondéré par des 1 et des 0 on peut considérer une échelle plus grossière en regroupant des cellules par paquets et en additionnant les pondérations. On peut alors visualiser un domaine sous un certain maillage et observer quelque chose d'homogène (fig2.(e)) et observer cette image à une échelle inférieur et avoir plusieurs configuration possibles dont certaines inhomogènes (fig3.).

 

On voit alors que le choix du maillage va influencer les résultats et qu'il convient de choisir une échelle adaptée pour garder des résultats physiquement acceptables. Nous étudierons cette influence du maillage un peu plus loin.

En supposant que l'on ai trouvé un maillage adapté on peut alors calculer le degré d'inhomogénéité de Czainski µ selon la formule ci-dessous qui fait intervenir le nombre de cellules les plus petites n, le nombre de cellules à l'échelle choisie k et le nombre ni de particules par cellules à l'échelle k :

                                            

A partir du degré d'inhomogénéité on peut définir l'indicateur de Czainski h en divisant µ par son espérance :

                                                                   

Enfin pour évaluer l'écart-type à l'homogénéité parfaite et à une loi de Poisson le critère a été amélioré à l'aide du "sigma test" qui fait intervenir sigma :

                                                                

On obtient au final l'indicateur amélioré de Czainski H qui est celui qui sera utilisé par la suite :

                                                           

L'indicateur H a été construit de sorte à valoir 0 lorsque la distribution des gouttes dans les cellules suit une loi de probabilité de Poisson, est négatif à mesure que l'on tend vers l'homogénéité parfaite (ni est le même dans chaque cellule et vaut ni=n/k) et tend vers l'infiniment positif lorsque l'inhomogénéité s'intensifie. Czainski considère en effet l'eventualité d'une configuration "plus homogène" que la loi de Poisson.

Box Index

Une autre méthode pour quantifier l'inhomogéniété d'un spray est de regarder la PDF du nombre de particules et de comparer celle-ci à la PDF d'une distribution de Poisson . C'est un moyen simple à mettre en place basé sur du comptage de particules par cellule. La distribution de Poisson représente une distribution homogène de particules d'après la littérature. Cette distribution de Poisson, fP dépend d'un paramètre lamba qui est la moyenne du nombre de particules par cellule. La fonction s'écrit :

Connaissant le nombre de particules moyen par cellule, on remonte facilement à la distribution de Poisson. Un exemple de courbe est donné ci-dessous :

Une fois la distribution de Poisson déterminée, il faut créer la distribution de particules propre à l'image (Figure ci-dessous).

L'indicateur de l'inhomogénéité est en fait, une norme bien choisi de la distance entre la courbe de Poisson et le tracé provenant de l'image. On peut utiliser par exemple la norme :

La valeur de ce critère nous renseigne sur le degré d'inhomogénéité.

Décomposition de Voronoi

Une autre méthode permettant de caractériser l'inhomogénéité du spray est d'avoir recours à une décomposition de Voronoi du domaine. Cette méthode a été beaucoup utilisé par Monchaux et al. [9], [10] et [11] qui la trouvent particulièrement efficace.

La décomposition de Voronoi est une technique de maillage du domaine qui consiste à créer une maille autour de chaque particule de sorte que les frontières de la cellule soient l'ensemble des points équidistants de la particule centrale et de ses voisines. La cellule se présente donc comme un assemblage de médiatrices formant ainsi un polygone non régulier.

Application de Voronoï à l'image (b) [8] sur Matlab

 

L'intérêt de cette méthode est d'obtenir un maillage du domaine dont chaque cellule ne comporte qu'une seule particule et dont l'aire est d'autant plus importante que la particule est isolée. On peut alors calculer l'aire de chaque cellule et de par sa définition en déduire la concentration préférentielle qui lui est inversement proportionnelle. Elle est également plus efficace pour présenter des résultats car elle permet de visualiser directement la topologie de l'écoulement au lieu de simplement renvoyer un nombre.

Cette méthode est très puissante puisqu'elle permet d'obtenir directement la concentration préférentielle cependant elle est très limitée par la qualité et le type d'image à étudier. En effet cette méthode sous-entend que l'on étudie des écoulements dispersés où les particules ne se chevauchent pas (on aurait alors une maille pour deux particules) et des images avec une résolution suffisante pour permettre la création de cellules et le calcul des aires associées pour des particules très proches.

Dans notre cas il existe sur MATLAB une fonction permettant d'appliquer une décomposition de Voronoi à une image ce qui facilite le traitement d'image où les particules sont très dispersées. MATLAB rencontre naturellement des soucis avec les images présentant des clusters.