Dimensionnement thermique d'un condenseur

Système d'échangeur retenu

Paramètres de l'échangeur

L'échangeur de chaleur acquis par l'entreprise est un échangeur multitubulaire (tubes et calandre) horizontal en acier avec tubes et calottes en inox. Deux tubulures latérales assurent l'entrée et la sortie du fluide côté calandre. L'orifice est circulaire.

Les paramètres globaux de l'échangeur sont les suivants :

Paramètres Valeur
Nombre de tubes ($N$) 180
Longueur ($L$) 1.830 m
Diamètre interne des tubes ($d_{tube}$) 0.017 m
Diamètre de la calandre ($D$) 0.330 m

On utilisera une épaisseur de tubes de l'ordre de 0.003 m (non précisé par le constructeur). Afin d'optimiser au mieux les performances thermiques, on adoptera naturellement un fonctionnement à contre-courant.

Les données concernant les fluides sont les suivantes :

 

Nature des fluides à traiter

[ Fluide chaud ]

       L'objectif de notre étude est de recondenser un mélange de polluants gazeux. Ce mélange est constitué d'hydrocarbures lourds, de solvants chlorés ou encore de pesticides dont les concentrations sont difficiles à prévoir et dépendent fortement de la nature du site à dépolluer. De plus, pour effectuer notre dimensionnemment thermique, il nous est nécessaire de connaître assez précisement les propriétés thermo-physiques, à différentes températures, des composés rentrant en jeu dans le mélange.

Afin de simplifier l'étude, il a été choisi de modéliser le mélange de polluants par un seul composé dont les propriétés sont connues. Idéalement un gaz lourd du type C20+ aurait été parfait pour représenter le mélange (composé majoritaire). L'alcane le plus lourd pour lequel on possède toutes les informations thermodynamiques nécessaires à l'étude est le dodécane (C12H24). Il sera utilisé comme composé de référence pour faire fonctionner l'algorithme mais on ne pourra pas réellement se servir des résultats obtenus avec ce composé.

Suite à un échange avec le partenaire industriel, il a été mis en évidence que les gaz pollués extraits du sols sont composés en grande majorité par des vapeurs d'eau. Il faut donc s'assurer dans un premier temps, que notre condenseur industriel est capable d'assurer le changement d'état gaz-liquide pour de l'eau.

En définitive, deux types de fluides chauds seront étudiés : le dodécane et l'eau.

[ Fluide de refroidissement ]

La première requête de l'entreprise était de tester l'air comme source de froid dans l'échangeur afin de le chauffer en récupérant la chaleur perdue lors de la condensation du fluide chaud.

Nous verrons dans la section Analyse des résultats que cette option n'est en réalité pas envisageable et nous préférerons utiliser l'eau comme fluide de refroidissement.

 

 

Hypothèses de fonctionnement

Hypothèses concernant les écoulements

Afin de simplifier les démarches de calculs, on adoptera différentes hypothèses de fonctionnement :

Régime de fonctionnement permanent (les débits des deux fluides sont constants et on considère les écoulements établis dans les deux circuits). De plus, les régimes des deux circuits sont turbulents.

Répartition équivalente des fluides dans tous les tubes et idem pour la répartition côté calandre.

Le fluide chaud, qui est en réalité un mélange d'hydrocarbures à l'état gazeux, est modélisé par une vapeur pure (un seul composé).

Pression peu variable le long des deux circuits.

Hypothèses sur l'échangeur

Les transferts thermiques s'effectuent uniquement par convection et conduction.

Pas de pertes thermiques : toute la chaleur cédée par le fluide chaud est absorbée par le fluide de refroidissement.

L'échangeur n'est pas encrassé : on néglige la résistance d'encrassement, celle-ci pouvant varier entre 1.10-4 et 70.10-4 m2.K/W. Les tubes sont lisses.

Tous les tubes se comportent de la même façon (on raisonne en regardant l'écoulement dans et autour d'un seul tube puis on étendra nos résultats à l'ensemble des N tubes).

 

 

Estimation des coefficients d'échange de chaleur

De nombreuses corrélations ont été utilisées pour évaluer au mieux les coefficients d'échange thermique du côté des deux fluides.

Le coefficient d'échange pour le fluide de refroidissement dépendra uniquement de la géométrie et des conditions d'écoulement (valeurs du nombre de Reynolds et de Prandtl).

Le plus délicat est de pouvoir estimer le coefficient d'échange de chaleur lors de la condensation du fluide chaud puisque sa valeur devient alors beaucoup plus importante ce qui a une influence directe sur la valeur du flux thermique calculé. En effet, la résistance thermique prépondérante correspond alors au film de liquide formé. Les différentes corrélations utilisées seront détaillées dans cette section.

Lors de la condensation à l'intérieur d'un tube horizontal, différents régimes d'écoulement peuvent apparaître : annulaire, stratifié, intermittent, ondulé... Notre débit de vapeur imposé par l'entrée du fluide chaud étant élevé, on considère le régime annulaire et dans cette configuration, le coefficient d'échange dépend fortement de la vitesse massique (à travers le titre massique $x$) et non de la différence entre la température de saturation et celle de la paroi : $T_{sat}-T_p$.

A l'inverse, lors du passage de l'état vapeur à l'état liquide d'un fluide circulant autour d'un tube, il faut tenir compte de cet écart de température et également de la vitesse de la vapeur (souvent négligée dans les corrélations, ce qui ne sera pas le cas ici).

 

En condensation interne (côté tubes)

Coefficient côté fluide chaud $h_c$

Le fluide chaud circule à l'intérieur des tubes.

  Tant que le température du fluide chaud est supérieure à sa température de saturation, on considère que l'écoulement est monophasique vapeur.

On déduira le coefficient d'échange de chaleur coté fluide chaud $h_c$ à l'aide du nombre de Nusselt: $Nu_D=\frac{h_cD}{k}$. On utilise alors l'équation de Dittus-Boelter : $$Nu_D=0.023{Re_D}^{4/5}Pr^n$$ où $n=0.3$ dans la mesure où le fluide chaud se refroidit. Cette équation est vérifiée pour :$$\begin{bmatrix} 0.6\leq Pr\leq 160 \\ Re_D \geq 10000 \\ \frac{L}{D} \geq 10 \end{bmatrix}$$  Lorsque le fluide chaud atteint la température de saturation et tant que le titre massique de vapeur est non nul, le changement de phase opère et l'écoulement est diphasique.

Shah (1979) propose une alternative à la corrélation de Dittus-Boelter, valable pour des débits massiques par unité de surface supérieurs à $200 kg/m^2s$, ce qui est notre cas.

$$h_c(x)=\frac{k_L}{d_{tube}} 0.023 {Re_L}^{0.8}{Pr_L}^{0.4} \begin{bmatrix} (1-x)^{0.8}+\frac{3.8x^{0.76}(1-x)^{0.04}}{{p_r}^{0.38}} \end{bmatrix} $$

où $x$ est le titre massique de la vapeur (rapport du débit masse de la vapeur sur le débit-masse total du mélange vapeur-condensat et $p_r$, la pression réduite ($p_r=\frac{p_{sat}}{p_{crit}}$).

  Pour $T_c \leq T_{sat}$ et $x=0$, l'écoulement est monophasique liquide, on réutilise le nombre de Nusselt et l'équation de Dittus Boelter pour trouver $h_c$ en utilisant cette fois, les propriétés du fluide à l'état liquide.

Coefficient côté fluide froid $h_f$

Le fluide froid s'écoule dans la calandre de section $A_{calandre}=\pi \frac{D^2-Nd_{tube}^2}{4}$.

Cette fois-ci, on s'intéresse aux corrélations pour un échange convectif avec un écoulement sur une surface externe. Dans le cas d'un tube, la corrélation empirique proposée par Hilpert nous donne le coefficient d'échange convectif sur une section, dans le cas d'un liquide :$$Nu_D=\frac{h_fD}{k}=1.11A{Re_{D_h}}^mPr^{0.31}$$ où $A=0.024$ et $m=0.805$ puisqu'on a ici $4.10^4 \leq Re_{D_h} \leq 4.10^5$.

On prendra soin d'estimer le nombre de Reynolds avec le diamètre hydraulique $D_h$, choisi pour l'écoulement externe, comme étant le pas entre les tubes de l'échangeur. $D$ représente en revanche le diamètre externe des tubes.

En condensation externe (côté calandre)

Coefficient côté fluide chaud $h_c$

Le fluide chaud circule à l'extérieur du tube.

Pour $T_c \geq T_{sat}$, on considère que l'écoulement est monophasique vapeur. La corrélation adéquate est donnée par Hilpert, mais cette fois, dans le cas d'un gaz, on utilisera : $Nu_D=\frac{h_cD}{k}=C{Re_{D}}^mPr^{1/3}$ où $C=0.193$ et $m=0.618$ puisqu'on a $4.10^3 \leq Re_{D} \leq 4.10^4$.

Pour $T_c = T_{sat}$ et $x \geq 0$, le fluide chaud se condense en film le long du tube. Fujii a établi une formule pour calculer le coefficient d'échange sur une section dans le cas où la vitesse de la vapeur n'est pas négligeable :$$\frac{h_c}{h_{c0}}=1.4\begin{bmatrix} \frac{{U_v}^2(T_{sat}-T_{p,o})k_L}{gd_{ext}h_{lv}\mu _{L}}   \end{bmatrix}^{0.05} $$

avec $U_v$ la vitesse de la vapeur et $h_{c0}$ le coefficient d'échange de chaleur lorsque la vitesse de la vapeur est négligée :$$h_{c0}=0.728\begin{bmatrix} \frac{{k_L}^3\rho _{L}(\rho _{L}-\rho _{v})gh_{lv}}{(T_{sat}-T_{p,o})d_{ext}\mu _{L}}  \end{bmatrix}^{1/4}  $$ Pour $T_c \leq T_{sat}$ et $x=0$, l'écoulement est monophasique liquide, on ré-utilise la corrélation de Hilpert, pour un liquide, $Nu_D=\frac{h_cD}{k}=1.11A{Re_{D}}^mPr^{0.31}$ où $A=0.024$ et $m=0.805$ puisqu'on a ici $4.10^4 \leq Re_{D} \leq 4.10^5$.

Coefficient côté fluide froid $h_f$

Le fluide froid s'écoule dans le tube.

Dans la configuration étudiée, on calcule notre coefficient pour un fluide qui s'échauffe en écoulement interne à l'aide de la relation de Dittus-Boelter : $$Nu_D=0.023{Re_D}^{4/5}Pr^n$$ où $n=0.4$, le fluide froid étant chauffé.

Méthodes de calcul numérique

Bilan global

Entrée-Sortie de l'échangeur

Dans un premier temps on effectue un bilan entrée/sortie sur l'ensemble de l'échangeur.

Lors du changement de phase du fluide chaud, il faut tenir compte des sous-refroidissements de la vapeur puis du liquide avant et après la phase de condensation. Le flux cédé par le fluide chaud au fluide froid (les pertes thermiques sont négligées) vaut :$$ q_{c}=\underbrace{\dot{m}_cc_{p,v}(T_{e,c}-T_{sat,c})}_{sous-refroidissement~de~la~vapeur}\underbrace{-\dot{m}_ch_{lv}}_{condensation}+\underbrace{\dot{m}_cc_{p,l}(T_{sat,c}-T_{s,c})}_{sous-refroidissement~du~liquide} $$ Note : Dans cette expression, les trois termes son négatifs puisqu'ils correspondent tous à une perte d'énergie.

Or, puisqu'on néglige les pertes thermiques, tout le flux de chaleur fourni par le fluide chaud est récupéré par le fluide froid :$$q_{c}+q_{f}=0$$Ainsi, on peut dans un premier temps, estimer la température de sortie du fluide froid :$$ T_{s,f}=\frac{-q_c}{\dot{m}_f c_{p,l}}+T_{e,f} $$

Note : Tous les paramètres des fluides sont estimés à leur température moyenne, on procède donc par itération puisqu'on ne connait pas la température de sortie du fluide froid.

Bilan thermique local

Ecoulement dans un tube (condensation externe)

Le fluide froid s'écoule en régime permanent dans un tube de diamètre intérieur $d_{tube}$. A l'abscisse $z$ (point i), il est à température $T_f(i)$, et la paroi interne à la température $T_{pi}(i)$.

Le fluide chaud, quant à lui, circule autour du tube, il est à la température $T_c(i)$ et la face externe de la paroi est à la température $T_{po}(i)$.

On effectue alors un bilan local en considérant le flux $dq$ échangé à travers l'aire latérale $dS$ comprise entre les abscisses $z$ et $z+dz$.

Convection entre le fluide chaud et la paroi externe du tube : $dq_{conv,o}=h_c(T_{c}(i)-T_{po}(i))\pi d_{ext}dz$
Conduction à travers la paroi solide (inox) : $dq_{cond}=\frac{k_{inox}}{ln(d_{ext}/d_{tube})}(T_{po}(i)-T_{pi}(i))2\pi dz$
Convection entre la paroi interne du tube et le fluide froid : $dq_{conv,i}=h_f(T_{p,i}(i)-T_{f}(i))\pi d_{tube}dz$

Note : dans notre étude, il est crucial de bien définir les flux thermiques en faisant apparaître les températures de paroi puisqu'elles nous serviront à calculer le coefficient d'échange côté fluide chaud, $h_c=f(T_{po}(i))$ (voir section Estimations des coefficients d'échange).

Ces trois flux étant égaux, le flux thermique $dq$ cédé au fluide froid par le fluide chaud est également donné par :$$dq=\frac{T_c(i)-T_f(i)}{\frac{1}{\pi d_{tube}h_f}+\frac{ln(d_{ext}/d_{tube})}{2\pi k_{inox}}+\frac{1}{\pi d_{ext}h_c}}dz$$

Lorsque l'écoulement devient diphasique, on doit calculer l'évolution du titre massique de vapeur en intégrant pas à pas: $$\dot{m}_c\frac{dx}{dz}=\frac{dq}{h_{lv}A}S_p$$où $S_p$ est le périmètre mouillé par le fluide chaud et $A$ la section de passage. On notera que la petite quantité de flux $dq$ est constante sur chaque tronçon.

Estimation des températures en aval (condensation externe)

[ Fluide chaud ]

Un bilan énergétique sur la section $dS$ assure que le flux thermique en $i+1$ est égal au flux en $i$ auquel on soustrait la chaleur $dq$ cédée au fluide froid :$$T_c(i+1)=T_c(i)-\frac{dq}{\dot{m}_cc_{p,c}}$$[ Fluide Froid ]

Le même raisonnement est établi avec cette fois un gain de chaleur :$$T_f(i)=T_f(i+1)+\frac{dq}{\dot{m}_cc_{p,f}}$$(le fluide froid s'écoule dans le sens des $z$ décroissants, par opposition avec le fluide chaud)

Note : On opère exactement de la même manière pour la condensation interne en prenant soin de modifier les surfaces d'échange.

 

Algorithme du calcul thermique

Principe de l'algorithme

On décompose l'échangeur en petits éléments de pas constant $dz$.

On effectue sur chaque élément de longueur $dz$, un bilan d'énergie, la température étant supposée constante sur chaque tronçons (voir section Bilan thermique local).

On itère pas par pas jusqu'à obtenir les températures sur toute la longueur de l'échangeur.

Le logiciel de programmation utilisé est Matlab.

Raisonnement

$x$ désigne ici le titre massique de vapeur. Toutes les températures mentionnées ci-dessus sont précisées dans les sections Bilan global et Bilan thermique local.