Méthodes de calcul numérique

Bilan global

Entrée-Sortie de l'échangeur

Dans un premier temps on effectue un bilan entrée/sortie sur l'ensemble de l'échangeur.

Lors du changement de phase du fluide chaud, il faut tenir compte des sous-refroidissements de la vapeur puis du liquide avant et après la phase de condensation. Le flux cédé par le fluide chaud au fluide froid (les pertes thermiques sont négligées) vaut :$$ q_{c}=\underbrace{\dot{m}_cc_{p,v}(T_{e,c}-T_{sat,c})}_{sous-refroidissement~de~la~vapeur}\underbrace{-\dot{m}_ch_{lv}}_{condensation}+\underbrace{\dot{m}_cc_{p,l}(T_{sat,c}-T_{s,c})}_{sous-refroidissement~du~liquide} $$ Note : Dans cette expression, les trois termes son négatifs puisqu'ils correspondent tous à une perte d'énergie.

Or, puisqu'on néglige les pertes thermiques, tout le flux de chaleur fourni par le fluide chaud est récupéré par le fluide froid :$$q_{c}+q_{f}=0$$Ainsi, on peut dans un premier temps, estimer la température de sortie du fluide froid :$$ T_{s,f}=\frac{-q_c}{\dot{m}_f c_{p,l}}+T_{e,f} $$

Note : Tous les paramètres des fluides sont estimés à leur température moyenne, on procède donc par itération puisqu'on ne connait pas la température de sortie du fluide froid.

Bilan thermique local

Ecoulement dans un tube (condensation externe)

Le fluide froid s'écoule en régime permanent dans un tube de diamètre intérieur $d_{tube}$. A l'abscisse $z$ (point i), il est à température $T_f(i)$, et la paroi interne à la température $T_{pi}(i)$.

Le fluide chaud, quant à lui, circule autour du tube, il est à la température $T_c(i)$ et la face externe de la paroi est à la température $T_{po}(i)$.

On effectue alors un bilan local en considérant le flux $dq$ échangé à travers l'aire latérale $dS$ comprise entre les abscisses $z$ et $z+dz$.

Convection entre le fluide chaud et la paroi externe du tube : $dq_{conv,o}=h_c(T_{c}(i)-T_{po}(i))\pi d_{ext}dz$
Conduction à travers la paroi solide (inox) : $dq_{cond}=\frac{k_{inox}}{ln(d_{ext}/d_{tube})}(T_{po}(i)-T_{pi}(i))2\pi dz$
Convection entre la paroi interne du tube et le fluide froid : $dq_{conv,i}=h_f(T_{p,i}(i)-T_{f}(i))\pi d_{tube}dz$

Note : dans notre étude, il est crucial de bien définir les flux thermiques en faisant apparaître les températures de paroi puisqu'elles nous serviront à calculer le coefficient d'échange côté fluide chaud, $h_c=f(T_{po}(i))$ (voir section Estimations des coefficients d'échange).

Ces trois flux étant égaux, le flux thermique $dq$ cédé au fluide froid par le fluide chaud est également donné par :$$dq=\frac{T_c(i)-T_f(i)}{\frac{1}{\pi d_{tube}h_f}+\frac{ln(d_{ext}/d_{tube})}{2\pi k_{inox}}+\frac{1}{\pi d_{ext}h_c}}dz$$

Lorsque l'écoulement devient diphasique, on doit calculer l'évolution du titre massique de vapeur en intégrant pas à pas: $$\dot{m}_c\frac{dx}{dz}=\frac{dq}{h_{lv}A}S_p$$où $S_p$ est le périmètre mouillé par le fluide chaud et $A$ la section de passage. On notera que la petite quantité de flux $dq$ est constante sur chaque tronçon.

Estimation des températures en aval (condensation externe)

[ Fluide chaud ]

Un bilan énergétique sur la section $dS$ assure que le flux thermique en $i+1$ est égal au flux en $i$ auquel on soustrait la chaleur $dq$ cédée au fluide froid :$$T_c(i+1)=T_c(i)-\frac{dq}{\dot{m}_cc_{p,c}}$$[ Fluide Froid ]

Le même raisonnement est établi avec cette fois un gain de chaleur :$$T_f(i)=T_f(i+1)+\frac{dq}{\dot{m}_cc_{p,f}}$$(le fluide froid s'écoule dans le sens des $z$ décroissants, par opposition avec le fluide chaud)

Note : On opère exactement de la même manière pour la condensation interne en prenant soin de modifier les surfaces d'échange.

 

Algorithme du calcul thermique

Principe de l'algorithme

On décompose l'échangeur en petits éléments de pas constant $dz$.

On effectue sur chaque élément de longueur $dz$, un bilan d'énergie, la température étant supposée constante sur chaque tronçons (voir section Bilan thermique local).

On itère pas par pas jusqu'à obtenir les températures sur toute la longueur de l'échangeur.

Le logiciel de programmation utilisé est Matlab.

Raisonnement

$x$ désigne ici le titre massique de vapeur. Toutes les températures mentionnées ci-dessus sont précisées dans les sections Bilan global et Bilan thermique local.