Estimation des coefficients d'échange de chaleur

De nombreuses corrélations ont été utilisées pour évaluer au mieux les coefficients d'échange thermique du côté des deux fluides.

Le coefficient d'échange pour le fluide de refroidissement dépendra uniquement de la géométrie et des conditions d'écoulement (valeurs du nombre de Reynolds et de Prandtl).

Le plus délicat est de pouvoir estimer le coefficient d'échange de chaleur lors de la condensation du fluide chaud puisque sa valeur devient alors beaucoup plus importante ce qui a une influence directe sur la valeur du flux thermique calculé. En effet, la résistance thermique prépondérante correspond alors au film de liquide formé. Les différentes corrélations utilisées seront détaillées dans cette section.

Lors de la condensation à l'intérieur d'un tube horizontal, différents régimes d'écoulement peuvent apparaître : annulaire, stratifié, intermittent, ondulé... Notre débit de vapeur imposé par l'entrée du fluide chaud étant élevé, on considère le régime annulaire et dans cette configuration, le coefficient d'échange dépend fortement de la vitesse massique (à travers le titre massique $x$) et non de la différence entre la température de saturation et celle de la paroi : $T_{sat}-T_p$.

A l'inverse, lors du passage de l'état vapeur à l'état liquide d'un fluide circulant autour d'un tube, il faut tenir compte de cet écart de température et également de la vitesse de la vapeur (souvent négligée dans les corrélations, ce qui ne sera pas le cas ici).

 

En condensation interne (côté tubes)

Coefficient côté fluide chaud $h_c$

Le fluide chaud circule à l'intérieur des tubes.

  Tant que le température du fluide chaud est supérieure à sa température de saturation, on considère que l'écoulement est monophasique vapeur.

On déduira le coefficient d'échange de chaleur coté fluide chaud $h_c$ à l'aide du nombre de Nusselt: $Nu_D=\frac{h_cD}{k}$. On utilise alors l'équation de Dittus-Boelter : $$Nu_D=0.023{Re_D}^{4/5}Pr^n$$ où $n=0.3$ dans la mesure où le fluide chaud se refroidit. Cette équation est vérifiée pour :$$\begin{bmatrix} 0.6\leq Pr\leq 160 \\ Re_D \geq 10000 \\ \frac{L}{D} \geq 10 \end{bmatrix}$$  Lorsque le fluide chaud atteint la température de saturation et tant que le titre massique de vapeur est non nul, le changement de phase opère et l'écoulement est diphasique.

Shah (1979) propose une alternative à la corrélation de Dittus-Boelter, valable pour des débits massiques par unité de surface supérieurs à $200 kg/m^2s$, ce qui est notre cas.

$$h_c(x)=\frac{k_L}{d_{tube}} 0.023 {Re_L}^{0.8}{Pr_L}^{0.4} \begin{bmatrix} (1-x)^{0.8}+\frac{3.8x^{0.76}(1-x)^{0.04}}{{p_r}^{0.38}} \end{bmatrix} $$

où $x$ est le titre massique de la vapeur (rapport du débit masse de la vapeur sur le débit-masse total du mélange vapeur-condensat et $p_r$, la pression réduite ($p_r=\frac{p_{sat}}{p_{crit}}$).

  Pour $T_c \leq T_{sat}$ et $x=0$, l'écoulement est monophasique liquide, on réutilise le nombre de Nusselt et l'équation de Dittus Boelter pour trouver $h_c$ en utilisant cette fois, les propriétés du fluide à l'état liquide.

Coefficient côté fluide froid $h_f$

Le fluide froid s'écoule dans la calandre de section $A_{calandre}=\pi \frac{D^2-Nd_{tube}^2}{4}$.

Cette fois-ci, on s'intéresse aux corrélations pour un échange convectif avec un écoulement sur une surface externe. Dans le cas d'un tube, la corrélation empirique proposée par Hilpert nous donne le coefficient d'échange convectif sur une section, dans le cas d'un liquide :$$Nu_D=\frac{h_fD}{k}=1.11A{Re_{D_h}}^mPr^{0.31}$$ où $A=0.024$ et $m=0.805$ puisqu'on a ici $4.10^4 \leq Re_{D_h} \leq 4.10^5$.

On prendra soin d'estimer le nombre de Reynolds avec le diamètre hydraulique $D_h$, choisi pour l'écoulement externe, comme étant le pas entre les tubes de l'échangeur. $D$ représente en revanche le diamètre externe des tubes.

En condensation externe (côté calandre)

Coefficient côté fluide chaud $h_c$

Le fluide chaud circule à l'extérieur du tube.

Pour $T_c \geq T_{sat}$, on considère que l'écoulement est monophasique vapeur. La corrélation adéquate est donnée par Hilpert, mais cette fois, dans le cas d'un gaz, on utilisera : $Nu_D=\frac{h_cD}{k}=C{Re_{D}}^mPr^{1/3}$ où $C=0.193$ et $m=0.618$ puisqu'on a $4.10^3 \leq Re_{D} \leq 4.10^4$.

Pour $T_c = T_{sat}$ et $x \geq 0$, le fluide chaud se condense en film le long du tube. Fujii a établi une formule pour calculer le coefficient d'échange sur une section dans le cas où la vitesse de la vapeur n'est pas négligeable :$$\frac{h_c}{h_{c0}}=1.4\begin{bmatrix} \frac{{U_v}^2(T_{sat}-T_{p,o})k_L}{gd_{ext}h_{lv}\mu _{L}}   \end{bmatrix}^{0.05} $$

avec $U_v$ la vitesse de la vapeur et $h_{c0}$ le coefficient d'échange de chaleur lorsque la vitesse de la vapeur est négligée :$$h_{c0}=0.728\begin{bmatrix} \frac{{k_L}^3\rho _{L}(\rho _{L}-\rho _{v})gh_{lv}}{(T_{sat}-T_{p,o})d_{ext}\mu _{L}}  \end{bmatrix}^{1/4}  $$ Pour $T_c \leq T_{sat}$ et $x=0$, l'écoulement est monophasique liquide, on ré-utilise la corrélation de Hilpert, pour un liquide, $Nu_D=\frac{h_cD}{k}=1.11A{Re_{D}}^mPr^{0.31}$ où $A=0.024$ et $m=0.805$ puisqu'on a ici $4.10^4 \leq Re_{D} \leq 4.10^5$.

Coefficient côté fluide froid $h_f$

Le fluide froid s'écoule dans le tube.

Dans la configuration étudiée, on calcule notre coefficient pour un fluide qui s'échauffe en écoulement interne à l'aide de la relation de Dittus-Boelter : $$Nu_D=0.023{Re_D}^{4/5}Pr^n$$ où $n=0.4$, le fluide froid étant chauffé.