Modélisation du Combusteur

La modélisation de combusteur est divisé en deux parties, la partie basse et la partie haute. La partie basse (lit dense) est délimitée par le pied du réacteur et la haut de la canne d'injection tandis que la partie haute (lit transporté) delimité la sortie de canne injection jusque la tête du combusteur. Le réacteur est composé d'un système diphasique solide (char et media) et gaz (air et dioxyde  de carbone). Les modèles utilisés sont des modèles monodimmensionnel, en effet les équations couplées qui les composent ne dépendent que d'une seule  dans notre cas c'est la hauteur suivant le combusteur

 

 

 

 

Lit Fluidisé Dense

Pour modéliser la partie dense du combusteur , un modèle RAC réacteur agité continu a été utilisé, partant du fait que dans cette partie on peut considérer qu'on a un milieu parfaitement  mélangé.

\(\begin{equation} Entrée - Sortie \pm \underbrace {accumulation}_{=0}+ réaction = 0\end{equation}\)

Pour le réacteur agité continu (RAC), la concentration est considéré uniforme dans tout le réacteur et égale à la concentration de la sortie. Également les températures des phase sont uniformes et égales aux température à la sortie pour un temps de sejour (temps de remplissage du volume RAC) $\tau > 3 min$, la phase gazeuse du milieu est formée du dioxygène $O_2$ et du diazote $N_2$ qui sont les seules composants de l'air injecté, ainsi que le dioxyde du carbone $CO_2$ qui est le produit de la combustion. La phase solide est constitué du char est considéré comme du carbone pur et le média ici l'olivine est inerte. 

BIlan de matière

Les équations à résoudre dans cette partie sont les suivantes:

$F_{O_{2_S}} - F_{O_{2_E}} - r_C S_{pc} \alpha_c V_{rac} = 0 \tag{1.0}$

\(\begin{equation} F_{C_{2_S}} - F_{C_{2_E}} + r_C S_{pc} \alpha_c V_{rac} = 0 \tag{1.2}\end{equation}\)

\(\begin{equation} F_{CO_{2_S}} - F_{O_{2_E}} + F_{O_{2_S}} =0  \tag{1.1}\end{equation}\)

\(\begin{equation} F_{N_{2_S}} - F_{N_{2_E}} =0 \tag{1.3} \end{equation}\)

\(\begin{equation} F_{M_S} - F_{M_E} \tag{1.4} =0 \end{equation}\)

  • $F_i$ est le débit molaire du constituant i
  • $r_c$ exprime la vitesse de la réaction
  • $S_pc$ surface spécifique de la particule
  • $\alpha_i$ est le taux de présence du constituant i
  • La combustion est traduite par l'unique  réaction  $C_{(s)} + O_{2_{(g)}} \to CO_{2_{(g)}}$
  • Le média et Le diazote sont des constituants inertes dans cette réaction

Taux de présence :

le taux de présence es défini comme le ratio entre le volume occupé par le constituant et le volume du réacteur $\alpha_c = \frac{V_c}{V_RAC} = \frac{\sum_{i=1}^{Nc} N_{p{c_i}} \frac{\pi}{6} d_{p_{ci}}^3}{V_{RAC}}$ où $N_pci$ est le nombre de particules contenus dans la classe i , en faisant l'hypothèse que $N_pci = N_{pci0}$ on obtient que $N_{p_{ci}} = \frac{\alpha_{ci0} V_{RAC}}{\frac{\pi}{6}{d_{pci0}}^3}$ et $\alpha_{ci_0}$ est le taux de présence du char initial pour la classe i et alors si on prends $\beta _i$ la fraction massique da la classe i on a alors $\alpha_{ci_0} = \beta_i \alpha_{c0}$. $\alpha_{ci0}$ et $\alpha_{m0}$ sont connues sachant que le char représente 3% en masse de débit d'entrée du média. Il nous reste alors à donner une relation pour déterminer le diamètre.

Le diamètre des particules char

Afin de déterminer les diamètres pour chaque classe i, on part de la variation temporelle de la quantité de matière pour une seule particule possedant un diametre $d_{pci}$, ainsi on obtient : $\frac{dn_{pci}}{dt}=\frac{\pi}{6}\frac{\rho _c}{M_c}3{d_{pci}}^2\frac{dd_{pci}}{dt}$, en utilisant l'equation donnant la relation la variation de la quantité de matière et la vitesse de réaction on obtient $\frac{dd_{pci}}{dt}=-k_cC_{O_2}$, en intégrant cette équation on peut determiner le diamètre, il reste à déterminer alors la vitesse de réaction.

La loi cinétique

On s'interesse ici à exprimer le terme $r_c$ dont on a besoin pour poursuivre la résolution du problème, les hypotheses suivantes sont utilisées:

  • Le modèle de la sphère rétrécissante est utilisé pour décrire la combustion des particules de toutes les classes
  • La réaction de combustion est controllée par le transfert de $O_2$ dans la couche limite et la cinétique de réaction à la surface de la particule.

On obtient $r_c=-\frac{C_{O_2}}{\frac{1}{k_t}+\frac{1}{k_r}}$ où $k_r$ est la vitesse de réaction qu'on exprime par une loi de type Arrhenius telle que $k_r=k_{r0}Texp(\frac{E_a}{RT})$ et $k_t$ est la vitesse de transfert qu'on exprime comme $k_t=\frac{Sh D_{O_2}}{d_{pc}}$ et $Sh$ est le nombre qui compare les transferts total du milieu aux transferts par diffusion et $D_{O_2}$ est le coefficient de diffusion du $O_2$dans le mélange gazeux.

La Surface spécifique

La surface spécifique d'une particules char est définie comme $S_{pc}=\frac{6}{d_{pc}}$ dans notre cas , pour prendre en compte toutes les taille du char existants dans le combusteur on prendra la moyenne des surfaces spécifiques de toutes les particules donc $S_{pc} = \frac {1}{N_c} \sum_{i=1}^{N_c} \frac {6}{d_{p_i}}$

 

Partie transporté

Dans cette partie, il s'agit de modéliser la partie située entre le haut de la canne d'injection d'air secondaire et la tête du du réacteur, ici la vitesse de l'air est importante  pour transporter les particules, la vitesse $U_g$ du gaz est supérieure à la vitesse terminale de chute des particules de média, c'est pour cette raison il est dit lit transporté, le char continue de brûler lors de son ascension dans le lit jusqu'a  sa totale disparition, le média quant à lui continue de se réchauffer pour jouer le rôle de caloporteur. le modèle retenu dans cette partie est le modèle de réacteur à piston.

Le modèle RP

Les hypothéses utilisé pour ce modèle sont :

  • Les concentration sont uniformes sur une tranche de faible épaisseur du réacteur 
  • les concentrations sont prise égales aux valeurs en entrée de chaque tranche et correspondent aux valeurs de sortie pour la tranche precedente.
  • Les paramètres varient axialement suivant la hauteur du réacteur

Cette fois ci la diffusion du dioxygène est prise en compte en considérant sa diffusion dans lui même, dans cette partie le mélange gazeux, contrairement à celui dans le RAC  se compose en plus du $O_2$ du $N_2$ du $CH_4$ du $CO$ et du $H_2O$, une seconde réaction de combustion est prise en compte, en effet une partie du méthane produit peur être injécté dans le combusteur à des hauteurs différentes pour augmenter la température dans ce dernier

Dans cette partie, il s'agit de modéliser la partie située entre le haut de la canne d'injection d'air secondaire et la tête du du réacteur, ici la vitesse de l'air est importante  pour transporter les particules, la vitesse $U_g$ du gaz est supérieure à la vitesse terminale de chute des particules de média, c'est pour cette raison il est dit lit transporté, le char continue de brûler lors de son ascension dans le lit jusqu'a  sa totale disparition, le média quant à lui continue de se réchauffer pour jouer le rôle de caloporteur. le modèle retenu dans cette partie est le modèle de réacteur à piston.

Les hypothéses utilisé pour ce modèle sont :

  • Les concentration sont uniformes sur une tranche de faible épaisseur du réacteur 
  • les concentrations sont prise égales aux valeurs en entrée de chaque tranche et correspondent aux valeurs de sortie pour la tranche precedente.
  • Les paramètres varient axialement suivant la hauteur du réacteur

Cette fois ci la diffusion du dioxygène est prise en compte en considérant sa diffusion dans lui même, dans cette partie le mélange gazeux, contrairement à celui dans le RAC  se compose en plus du $O_2$ du $N_2$ du $CH_4$ du $CO$ et du $H_2O$, une seconde réaction de combustion est prise en compte, en effet une partie du méthane produit peur être injécté dans le combusteur à des hauteurs différentes pour augmenter la température dans ce dernier

${CH_{4}}_{(s)} +\frac{3}{2} O_{2_{(g)}} \to CO_{{(g)}}+2H_2O_{(g)}$

$C_{(s)} + O_{2_{(g)}} \to CO_{2_{(g)}}$

Les lois cinétiques retenues dans cette partie sont des lois de type Arrhenius en $exp(\frac{1}{T_g})$ où T_g est la température de la phase gazeuse, contrairement au RAC il y a une forte influence sur de la temperature sur la vitesse de réaction de combustion du méthane, ainsi on pose:

$r_{CH_4}=-1.10^{10}{C_{CH_4}}^{0.7}{C_{O_2}}^{0.8}exp(-47.2\frac{4180}{8.314T_g})$

$r_{CO}=-10^{14.35}C_{CO}{C_{O_2}}^{0.25}{C_{H_2O}}^{0.5}exp(-40.8\frac{4180}{8.314T_g})3.16.10^{-5}$

Bilan de matière

On effectue un bilan de matière pour chaque constituant dans un volume de contrôle $dV=A_cdz$ où $A_c$ est la base du combusteur, les équations à résoudre sont :

$\frac{dF_{CH_4}}{dz}-r_{CH_4}A_c\alpha_g=0$
$\frac{dF_{CO}}{dz}-(r_{CO}-r_{CH_4})A_c\alpha_g=0$
$\frac{dF_{O_2}}{dz}-(\frac{1}{2}r_{CO}+\frac{3}{2}r_{CH_4})A_c\alpha_g-r_cS_{pc}A_c\alpha_c=0$
$\frac{dF_{CO_2}}{dz}+r_{CO}A_c\alpha_g+r_cS_{pc}A_c\alpha_c=0$
$\frac{dF_{H_2O}}{dz}+2r_{CH_4}A_c\alpha_g=0$
$\frac{dF_{C}}{dz}-r_cS_{pc}A_c\alpha_c=0$

La forme conservative de l'équation de conservation de la masse pour la phase k s'écrit, en considérant le régime établi : $\frac{\partial{\alpha_k\rho_kU_k}}{\partial z}=\Gamma_k$  où $\Gamma_k$ est le taux de dissparition pour le char et de production pour le gaz.

Si on prend un volume de contrôle contenant une population de char contenant une distribution de taille, le taux de dissparition du char dans ce volume sera la somme des taux de dissparition de chaque classe i ainsi $\Gamma_c = \sum_{1}^{Nc} \Gamma_{ci} $, où $\Gamma_ci$ est le taux de dissparition du char de la classe i, on le définit comme

$\Gamma_{ci} = -\beta_c \frac{-6 \alpha_c k_c M_c CO_2}{d_{pci}}$ sachant que le taux de production du gaz est égal à $\Gamma_c$ en valeur absolue. En developpant ces équations on obtient à la fin :

$\alpha_c \frac {dU_c}{dz} + U_c \frac {d\alpha_c}{dz} = \frac{\Gamma_c}{\rho_c}$        $\alpha_g \frac {dU_g}{dz} + U_g \frac {d\alpha_g}{dz} = \frac{\Gamma_g}{\rho_g}$        $\alpha_c \frac {dU_c}{dz} + U_c \frac {d\alpha_c}{dz} = 0$

Comme dans la partie dense les diamètres vont être calculés de la même façon, cependant ces équations font apparaître les vitesses des phases , il faut coupler les équations de bilans de masse de quantité de mouvement et d'enthalpie pour obtenir les résultats.

Bilan de quantiteé de mouvement

Le bilans de quantité de mouvement sont écrites en régime permanents, ils font apparaitre les forces volumiques (le poids), les forces surfaciques (le terme faisant intervenir la pression et les frottements aux parois) ainsi que les forces d'intéractions char/gaz et média/gaz, dans un cas laminaire. Pour la phase gazeuse, on a:

$\underbrace {\frac{\partial}{\partial z} (\alpha_g \rho_g U_g^2)}_{\text {terme d'advection}} = - \underbrace{\alpha_g \rho_g g}_{\text{force volumique}} - \underbrace{\alpha_g \frac{\partial P}{\partial z} + F_f}_{\text{force_surfacique}} + \underbrace{I_{c \to g}}_{\text{force d'interaction char/gaz}} + \underbrace{I_{m \to g}}_{\text{force d'interaction media/gaz}}$

Le terme d'interaction gaz/char s'écrit tel que : $I_{c \to g} = \alpha_c \rho_c \frac{V_{slip}}{\tau_{gc}^F} + U_c \Gamma_g$ où $V_{slip}$ est la vitesse de glissement $V_{slip}=U_g-U_c$ et $\tau_{gc}^F$ est le temps d'entrainement caractéristique, ce dernier compare la vitesse terminale de chute des particules (ici le char) à la vitesse de glissement.

On passe maintenant aux phases solides et de la même façon on retrouve les équations suivantes :

$\rho_c \alpha_c U_c \frac{dU_c}{dz} = \alpha_c rho_c g - \alpha_c \frac{dP}{dz} + \alpha_c \rho_c \frac{V_{slip_c}}{\tau_{gc}^F}$

$\rho_m \alpha_m U_m \frac{dU_m}{dz} = \alpha_m rho_m g - \alpha_m \frac{dP}{dz} + \alpha_m \rho_m \frac{V_{slip_m}}{\tau_{gm}^F}$

Ainsi à l'issu de cette étape les termes de réaction des bilans de matières sont alors utilisables dans le code, la zone dilluée n'est pas isotherme contrairement au RAC , il faut alors faire un bilan d'enthalpie pour determiner la temperature des phases le long du combusteur.

Bilan d'enthalpie

Afin d'obtenir la température des phases on effectue un bilan d'enthalpie sur chaque phase, en faisant les hypothèse suivantes :

  • Les pertes thermiques au paroi ne sont pas prises en compte
  • pas d'échanges thermiques entre deux tranches consécutives du RP
  • L'enthalpie pour un constituant i est définie comme la somme de son enthalpie standart de formation auquel s'ajoute un terme d'échauffement
  • Les gaz sont supposés parfaits

Dans toute cette partie les équations bilan vont êtres réalisées sur une population dont les tailles sont supposés uniformes ce qui fait qu'on a choisit de travailler avec un diamètre moyen, et donc les équations bilans d'enthalpie vont rester les mêmes il n'y aura pas de changements sauf l'utilisation d'un diametre moyen, et donc on garde la même modèlisation effectuée lors des travaux précédents.