Prévision du temps final

Pour connaître le temps final de remplissage nous avons écrit un script Matlab qui calcule le temps final en fonction des paramètres de l'écoulement. L'idée principale est de remplir petit à petit le volume que doit occuper la colle et l'on regarde à quel temps ce volume est plein.  Les étapes du code sont décrites ci -dessous.

On considère le domaine rectangulaire suivant qui est rempli initialement d'un petit volume de colle, l'air est en bleu et la colle en rouge. De plus, on admet qu'il n'y a pas de variation selon l'axe z, c'est à dire la répartition air/colle est la même sur toute l'épaisseur.

On suppose qu'il n'y a aucune perte de charge dans la phase gazeuse (air). Cela permet donc d'estimer le gradient de pression associé à ce petit volume: $\nabla P_0=\frac{P_s-P_e}{L_0}$

Grâce à une formule de type loi de Poiseuille, on calcule le débit induit par ce gradient de pression: $Q_0 = - K*\nabla P_0$

On suppose que ce débit va rester constant pendant un temps $dt$ très petit devant le temps final. On peut donc calculer le nouveau volume de colle dans le domaine: $V_1=V_0 + Q_0*dt$

On obtient ainsi ue nouvelle estimation du gradient de pression qui donne un nouveau débit $Q_1 = - K*\nabla P_1$ qui permet de trouver le volume suivant $V_2=V_1 + Q_1*dt$ et ainsi de suite ...

De manière générale on applique donc l'algorithme suivant à l'instant n:

--> $t^n = t^{n-1} + dt$

--> Estimation de $\nabla P_n$

--> $Q_n = - K*\nabla P_n$

--> $V_{n+1}=V_n + Q_n*dt$

Lorsque $V_n=V_{max}$, on arrête le calcul et on regarde le temps obtenu.

 

Dans cette méthode, il y a deux difficultés à surmonter pour bien estimer le temps final:

- la détermination du coefficient K

- l'estimation de $\nabla P_n$

Les parties suivantes se penchent sur la résolution de ces problèmes.

Détermination du coefficient K

Pour déterminer le coefficient K, nous avons comparé un écoulement plan diphasique dans un à un écoulement monophasique dans le même plan.

En effet, la relation entre le débit et le gradient de pression pour un écoulement monophasique dans un plan est connue théoriquement, c'est un écoulement de Poiseuille. Donc pour calculer de manière théorique le $K_{diphasique}$, il faudrait trouver une relation entre le coefficient diphasique et le coefficient monophasique de la forme: $K_{diphasique} = f( K_{monophasique})$

Quatre paramètres critiques ont été retenus pour l'étude:

- l'angle de contact $\theta$ (en radians ou degrés)

- la tension de surface $\sigma$ (en $N.m^{-1}$)

- la viscosité dynamique $\mu$ (en Pa.s)

- l'épaisseur de la conduite $e$ (en m)

La relation entre les coefficients est donc choisie de manière à avoir la forme suivante :$\frac{K_{diphasique}}{K_{monophasique}} = f(\theta ,\mu ,e ,\sigma)$

Pour identifier la fonction f, on fait varier ces différents paramètres autour d'un cas de référence dont les propriétés sont les suivantes:

- l'angle de contact $\theta_{ref}=30°$

- la tension de surface $\sigma_{ref}=0.072 N.m^{-1}$

- la viscosité $\mu_{ref}=10^{-3}  Pa.s$

- l'épaisseur du plan $e_{ref}=1mm$

 

Détermination du rapport des coefficients:

On lance sous Fluent une simulation d'un écoulement plan (les paramètres sont décrits dans les parties suivantes). Ensuite, on relève au cours de la simulation:

- la pression le long de l'axe central

- le débit massique à l'entrée

- la position de l'isosurface pour laquelle la fraction volumique vaut 0,5 (elle est représentative de l'interface entre le liquide et l'air).
 

 

Lorsque la simulation est terminée, on calcule le gradient de pression dans la phase liquide à l'aide des données de pression. Enfin, on trace le débit en fonction du gradient de pression et on relève le coefficient directeur de la droite obtenue.

 

Il faut toutefois faire attention aux points que l'on utilise pour trouver le coefficient directeur. En effet, il faut exclure les points qui correspondent à l'établissement d'un régime permanent car la relation linéaire est valable seulement quand l'écoulement est établi. En principe, ce sont les points correspondant aux forts gradients de pression car c'est pendant l'établissement que les gradients sont les plus forts.

On calcule théoriquement le coefficient de Poiseuille: $K_{monophasique} = K_{Poiseuille} = \frac{e^3}{12 \nu}$

Enfin, on fait le rapport  de ces coefficients $r = \frac{K_{diphasique}}{K_{monophasique}} $

On répète l'opération en faisant varier un paramètre $p$ puis on trace $r$ en fonction du paramètre que l'on a fait changer. On obtient ainsi une fonction qui nous permet de prédire le rapport des coefficient en fonction de la valeur du paramètre:

$r = f_p (p)$

 

Simulation plan

Pour faire le moins de calculs possible et donc gagner du temps, les simulations sont réalisées avec l'hypothèse de symétrique au niveau de l'axe. C'est-à-dire que nous allons simuler l'écoulement seulement une moitié du plan. Ensuite par symétrie, le plan est reconstitué.

Hypothèse des simulations:

Le $\Delta P$ entre l'entrée et la sortie de la conduite est de 373 Pa. Il a été choisi de manière à avoir des gradients de pression similaires à ceux obtenus avec la colle.

De manière à ce que l'écoulement s'établisse correctement, un rapport de 100 est toujours conservé entre la longueur et l'épaisseur: $\frac{L}{e} = 100$

Les simulations ont été réalisées sous Fluent avec les paramètres suivants:

- Écoulement 2D transitoire

- Écoulement laminaire

- Formulation VOF implicite pour les phases: un liquide et un gaz

- Option "Wall adhésion" activée pour pouvoir modifier l'angle de contact

- Entrée = "Pressure Inlet"

- Sortie =  "Pressure Outlet"

- Mur = "Wall"

- Axe = "Symetry"

 

Dans les parties suivantes se trouvent les résultats des simulations organisés de la manières suivante:

- Le paramètre qui a changé et ses différentes valeurs.

- Le déplacement de l'interface dans le plan en fonction du temps pour les différentes valeurs. Cela permet de se faire une idée tangible de l'influence du paramètre. La position de l'interface est adimensionnalisée par l'épaisseur et le temps par $t_c = \frac{e \mu}{\sigma}$ (analyse dimensionnelle).

- La fonction $r=f(p)$ qui ressort des simulations.

 

Attention: lorsqu'un paramètre varie, les autres prennent les valeurs de référence notées dans la partie Détermination du coefficient K.

Influence de l'angle de contact

Les simulations ont été réalisées avec les angles de contact suivants:

  • 150° (cas de référence)
  • 120 °
  • 90°
  • 60°
  • 30°

 

 

 On remarque que l'écoulement est plus rapide pour des angles de contact élevées. Cela est très utile car un fluide mouillant (c'est-à-dire avec un fort angle de contact) aura un double avantage: il évite de piéger des bulles et il est celui qui avance le plus rapidement.

Détermination de la relation de prédiction de comportement de fluide simulé:

 

D'après la disposition des points une régression quadratique semble appropriée. Voici la fonction que l'on obtient:

$f_\theta (\theta) = 0,015964 * \theta ^2 - 0,49758* \theta + 1,4421$

L'angle $\theta$ est exprimé en radians.

 

 

Influence de l'épaisseur d'âme

Les simulations ont été réalisées avec les épaisseurs suivantes:

  • 0.1 mm
  • 0.5 mm
  • 1 mm (cas de référence)
  • 5 mm
  • 10 mm

On peut voir que plus l'espace entre les plaques est petit, plus le liquide avance lentement. Un faible écartement entre les plaques implique donc des temps de remplissage longs. Toutefois, en augmentant le gradient de pression on peut réduire ces temps. A ce moment là, il faut faire attention à l'effet du gradient sur la planéité des plaques, chose qui n'a pas été étudié ici.

Détermination de la relation de prédiction de comportement de fluide simulé:

D'après la disposition des points une régression linéaire semble appropriée. Voici la fonction que l'on obtient:

$f_e (e) = 356,68* e + 1,0074 $

Influence de la tension de surface

Les simulations ont été réalisées avec les tensions de surfaces suivantes:

  • 20 mN/m
  • 44 mN/m
  • 72 mN/m (cas de référence)
  • 100 mN/m
  • 400 mN/m

A partir de ces résultats, on remarque que l'interface liquide/air avance très rapidement lorsque la tension interfaciale est faible. Cela peut se comprendre car plus la tension de surface est forte, plus l'interface aura tendance à "résister" face à l'avancement du liquide Cela peut éventuellement entraîner des déformations des plaques mais seulement si celles-ci sont très fragiles.

Détermination de la relation de prédiction de comportement de fluide simulé:

D'après la disposition des points une régression linéaire semble appropriée. Voici la fonction que l'on obtient:

$f_{\sigma} (\sigma) = 1,689 * \sigma + 1,4771 $

 

Influence de la viscosité

Ce paramètre n'a pas été étudié par manque de temps. Les autres paramètres étaient prioritaires car nous n'avons qu'un seul résultat expérimental avec une viscosité différente. De plus, ayant très peu d'informations sur l'effet de la tension de surface et l'angle de contact, nous avons préféré étudier ces deux derniers paramètres.

Estimation du gradient de pression

Pour trouver le gradient de pression, il est nécessaire de connaître la distance $L_n$ entre l'interface et la buse d'entrée. Cette distance est toujours prise le long de la diagonale qui relie l'entrée et la sortie.

Pour la calculer, on suppose d'abord que la répartition de la colle se fait en trois étapes. Ensuite, on se place dans le repère orthonormé dont l'origine est la buse d'entrée (coin inférieur gauche). Puis on cherche le point d'intersection entre la diagonale entrée-sortie et la diagonale qui forme l'interface en utilisant les équations de ces diagonales. La longueur $L_n$ est donnée par la distance entre le point d'intersection et l'origine.

Première étape: le volume de colle forme un triangle qui avance. Elle est valable jusqu'à ce que le triangle touche le coin supérieur gauche de la configuration.

Deuxième étape: le volume de colle est un trapèze qui avance. Elle est valable jusqu'à ce que la diagonale touche le coin inférieur droit de la configuration.

Troisième étape: le volume d'air est un triangle qui recule. Elle est valable jusqu'à la fin.

 

Le $\Delta P$ utilisé pour définir le gradient a d'abord été défini comme $\Delta P = P_s - P_e$. Toutefois, son calcul a été amélioré en prenant en compte le saut de pression du à l'interface:

$\Delta P = P_i - P_e$ avec $ P_i = \frac{2\sigma cos \theta}{e} + P_s$

Le gradient de pression est donc estimé à l'instant n par:

$\nabla P_n = \frac{P_i - P_e}{L_n}$