Exploitation du critère de Czainski

Czainski approche avec les cercles

Nous avons souligné précédemment l'importance de l'échelle à laquelle on souhaitait observer l'écoulement pour obtenir une interprétation physique cohérente de l'inhomogénéité. Dans le cas de l'indicateur de Czainski où l'on maille le domaine pour compter les cellules, cette échelle correspond à la taille de maille appropriée à l'écoulement. Il nous a donc paru essentiel d'étudier l'évolution du critère avec la finesse du maillage afin d'observer les limites d'applicabilité du critère.

En appliquant le critère de Czainski aux images mentionnées plus haut pour des maillages variants de 5x5 à 400x400 cellules avec une approche "recherche de cercles" on obtient les courbes suivantes montrant l'évolution de l'indicateur H avec la finesse du maillage.

On peut d'ors et déjà constater que les courbes se croisent ce qui physiquement semble peu acceptable puisqu'une image ne peut pas avoir une inhomogénéité variable relativement à une autre. D'autre part on observe une large variation avec le nombre de cellules pour chaque image d'où l'importance de se placer à un certain maillage pour obtenir les résultats les plus pertinents.

On constate par exemple qu'à maillage très grossier la figure b) apparaît comme plus homogène que la figure f) ce qui est aberrant. D'autre part on remarque que toutes les courbes tendent vers 0 quand nx tend vers l'infini ce qui est probablement due à la nature asymptotique de la formule de Czainski mais n'est néanmoins pas plus acceptable physiquement.

Ainsi nous en avons conclu que pour l'indicateur de Czainski si l'on souhaite des résultats numérique en accord avec la physique pour ce type d'approche de recherche d'objet il faut définir une longueur caractéristique qui donnera un ordre de grandeur de la taille de cellule à considérer. Dans une approche "recherche de cercles" cette longueur n'est autre que le diamètre moyen des particules (qui est le même que celui des cercles) soit dans le cas de ces images un maillage de l'ordre de 100x100.

Dans l'approche "recherche d'objet" la longueur caractéristique que nous avons définit dépend de l'écoulement et prend la valeur du diamètre moyen à faible inhomogénéité et la longueur des grosses structures à forte inhomogénéité. Cependant cette méthode étant nettement moins précise pour les images à forte inhomogénéité nous l'avons abandonné.

Nous avons par la suite opté pour l'approche "pixel" qui se présente comme la plus adaptée à un large choix d'image et permet de s'approcher d'avantage de la réalité puisqu'en fait les particules sont bel et bien plus petites que la taille du pixel.

 

Czainski approche pixel

On applique maintenant le critère de Czainski sur nos 6 images avec la méthode de recherche par pixel. L'intérêt de cette approche est le fait de pouvoir l'appliquer sur une image provenant des expériences en laboratoire. On va s'assurer que les résultats obtenus sont cohérent avec ceux de l'approche par les cercles, puis nous traiterons l'image du spray réel.

L'étude qu'on a mené nous impose de prendre en considération le paramètre de maillage et le paramètre du seuil de gris. Nous avons donc étudié l'évolution de H selon ces deux grandeurs.

 

Sur ce graphe, on visualise l'évolution de l'indice de Czainski en fonction des deux paramètres de maillage et de seuil de gris. Cette évolution a été obtenu pour l'image a, faible nombre de Stokes. On peut visualiser le même graphe avec une image contenant de l'inhomogénéité, comme ci-dessous :

Il est intéressant d'observer l'évolution du maximum de critère. La valeur obtenue peut etre utiliser pour la comparaison. C'est ce qu'on réalise sur la figure suivante. On constate une évolution uniforme du critère en fonction du seuil de gris utilisé. Plus le niveau de gris est élevé, plus on reserre la bande de gris qui est considéré comme des particules.

 

Ce graphique nous offre la possibilité de classer les images en fonction de leur inhomogénéité.

On peut aussi s'intéressé à l'évolution du maillage qui donne la valeur maximale du critère. On s'attend à ce que des dimensions caractéristiques ressortent de l'étude.

 

Une des premières choses que l'on constate c'est que, bien que les images à Stokes 0.01 et 4 aient un indice H qui les classent parmi les plus homogènes, leur maillage ne sont pas dans les mêmes échelles. La maille caractéristique pour le St = 0.01 est très petite par rapport à St = 4. Elle se rapproche de la dimension de la particule. Tant dis que pour St = 4, un maillage de 5x5 correspond à de plus grosses structures.

De plus, la tendance montre que lorsque le nombre de Stokes augmente il faut réduire le nombre de maille.