Ecoulement

Dans cette partie, on va définir les principales grandeurs caractéristiques des écoulements pour compléter l'analyse énergétique du système. On va introduire deux nombres adimensionnels : le nombre de circulation et le nombre de pompage.

 

 

Pompage

Le débit de pompage $ Q_p $ est défini comme le débit de fluide qui traverse le volume balayé par l'agitateur en rotation. Selon le type de pompage, le débit de pompage diffère.

Hélices Turbines Ancres
$ Q_p = 2 \pi \int_{r_s}^{R}  W(r) r  dr $ $ Q_p = \pi d \int_{- \frac {h}{2}}^{ \frac {h} {2}} U(z) dz $ $ Q_p = h \int_{{R} -a}^{R} V(r) dr $

Avec :

$ r_s $ est le rayon d'arbre de rotation
$ R $ est le rayon de l'agitateur
$ h $ est le hauteur de vitesse de la pâle d'agitation
$ T $ est le diamètre intérieur de la cuve
$ a $ est la largeur de pâle d'ancre
 

 

Le nombre de pompage $ N_{Q_P}$ est l'expression adimensionnelle du débit de pompage :

\begin{equation}
N_{Q_P} = \frac {Q_P} {N D^3}
\end{equation}

 

Ce nombre est constant en régime turbulent.

 

 

Le débit de pompage et le débit de circulation pour une hélice. (Source : Cours de Cathérine XUEREB - INP-ENSEEIHT)

Le débit de pompage et le débit de circulation pour une turbine. (Source : Cours de Cathérine XUEREB - INP-ENSEEIHT)

 

 

Circulation

Le débit de pompage est défini comme le débit qui traverse strictement le volume balayé par l'agitateur en rotation. Or, le débit total de fluide mis en mouvement est supérieur à ce débit de pompage. Ce débit est appelé le débit de circulation.

Pour tenir compte de la totalité du débit de fluide induit par l'agitation, il faut d'abord récupérer le ou les nœuds de circulation. Ce sont les points dans la cuve où les composantes axiale et radiale de la vitesse sont nulles.

Selon le type de pompage, l'expression pour calculer le débit de circulation diffère, voici les expressions dans le tableau suivant :

Hélices Turbines Ancres
$ Q_c = 2 \pi \int_{r_s}^{r_c} W(r) r  dr $ $ Q_c = \pi d \int_{- \frac {h}{2}-e }^{ \frac {h} {2}+ e} U(z) dz $ $ Q_c = 2 \pi \int_{r_s}^{r_c} W(r) r dr $

Avec :

$ D $ est le diamètre intérieur de la cuve
$ h $ est le hauteur de vitesse de la pâle d'agitation
$ r_s $ est le rayon de l'arbre de rotation
$ r_c $ est le rayon critique où la vitesse axiale (tangentielle pour le cas d'un ancre) est nulle.
$ e $ est la distance de l'extrémité de la pâle à la hauteur à laquelle le noeuds de circulation se trouve

 

Le nombre de circulation $ N_{Q_c}$ est l'expression adimensionnelle du débit de circulation :

\begin{equation}
N_{Q_c} = \frac {Q_c} {N D^3}
\end{equation}

 

Les débits sont liés l'un à l'autre. Le tableau suivant donne une idée des différences entre nombre de pompage et nombre de circulation pour des différents types de mobiles.

Mobiles  $ N_{Q_p} $  $ N_{Q_c} $
Hélice 0,3 à 1  1,2 à 1,5 $ N_{Q_p} $
Turbine 0,5 à 1,2 (turbine à pales inclinées)
0,45 à 0,9 (turbines à pales concaves)
 1,5 à 2,0 $ N_{Q_p} $