Bilan de population

Le travail réalisé dans cette partie a été basé sur la thèse de Mr MARC Detournay

​Les travaux déjà réalisés montrent la grande influence de la taille des particules char  sur le dimmensionement du lit fluidisé circulant, ainsi une étroite relation existe  entre ce paramètre et le design optimal des unités impliquées dans le procéde de vapogazéification. En effet la taille du combustible joue un rôle important dans differentes phases du procédé :

 la taille des particules de biomasse, puis de la pyrolyse est donc déterminante pour le dimensionnement des unités. dans ce qui suit on présenteras un modèle pour le bilan de population pour simuler le comportement au cours du temps d'une distribution de particules dans le lit fluidisé siège de la vapogazéification.

 

 

Modèle utilisé

 

Le modèle utilisé dans notre cas est basé sur la discrétisation en Nc classes pour une distribution en tailles de particules char et sur son évolution temporelle dû à la gazéification dans le lit fluifdisé dans le gazéifieur. Ainsi on repere chaque classe de particule char par sa masse calculée à partir de la distribution initiale, en prenant en compte les phénomnes suivants :

  • Alimentation continue de la biomasse vers le gazéifieur
  • Soutirage continu vers le combusteur
  • Perte de la masse et réduction de la taille par vapogazéification
  • Perte de particules par phénomène d'elutriation

​​Le modèle

Les diamètres sont discrétisés en Nc classes espacées d'un pas de $\Delta d_c$ chacunes représentées par un diamètre : $\forall i \in {[1, N_c - 1]} \: d_{c_{i+1}} = d_{c_i}  +\Delta d_c$

​On prends un volume de contôle comportant toutes les classes, pour chaque classe 'i' la variation temporelle de la masse i est dûe au :

  • Alimentaion de la biomasse
  • Soutirage vers le combusteur
  • Réaction de gazéification
  • élutriation : les particules éjectés
  • fragmentaion / agrégation  

 variation de masse pour la classe i= Alimentaion  - Soutirage - conversion  - elutriation - Fragmentaion/Agrégation

La réaction de conversion en gaz se traduit par la réduction de taille des particules char ainsi la classe i+1 va perdre des particules dont les tailles ne feront plus partie de cette classe  elles vont partir vers la classe d'au dessous donc la classe i, et la même chose pour la classe i, et une partie va être converti en gaz donc le terme de réaction peut être divisé en :

Réaction = Particules passant de i+1=>i -- Particules passant de i=>i-1 -- particules convertis

Dans cette approche suivie le terme fragmentation/agrégation a été négligé.

ainsi l'équation à résoudre est la suivante :

\(\begin{equation}{\frac {dW_i}{dt}}|_{total} = {\frac {dW_i}{dt}}|_{alimentation} - {\frac {dW_i}{dt}}|_{soutiré} - {\frac {dW_i}{dt}}|_{réaction(i-1)} + {\frac {dW_i}{dt}}|_{réaction(i+1)} + {\frac {dW_i}{dt}}|_{élutriation}\end{equation}\)

  • L'alimentation :

${\frac {dW_i}{dt}}|_{alimentaion} = F^0 X_0^i$ où $F^0$est le débit d'alimentation et $X_0^i$ est la fraction massique pour la classe i

  • Le soutirage :

${\frac {dW_i}{dt}}|_{soutirée}=F^s X_0^i$ où $F^s$ est le débit du soutirage

  • Le terme de réaction :

 On montre que lors de la conversion du char la variation de taille des particules  reste constante  au cours du temps , or $d_c(t)-d_c(t+dt)=\frac{dd_c}{dt}\Delta t$ et en supposant que les particules qui vont quitter la classe i+1 vers la classe i sont compris entre $d_ci < d_{transfer}<d_ci+\frac{dd_c}{dt} \Delta t$, on peut écrire que la fraction massique transférée est $X_{transfer}=\frac{\frac{d_c}{dt}\Delta t}{d_ci}$

        

 

 

ce qui donne pour ${\frac{dW_i}{dt}}|_{i}=\frac{\frac{dd_c}{dt}}{\Delta d_c} W_{i+1}$ et de même pour ${\frac{dW_i}{dt}}|_{i-1}=\frac{\frac{dd_c}{dt}}{\Delta d_c} W_i$

  • Le terme de conversion en char :

En prenant $X_r$ comme le taux de réduction de la taille de la particule on a tout simplement $X_r=\frac{m_c(t)-m_c(t+dt)}{m_c(t)} = 1-[{\frac{\bar{d_ci}-\frac{dd_c}{dt} \Delta t}{d_ci}}]^3$ où $\bar{d_ci}$ est le diamètre de Sauter, et donc ${\frac{dW_i}{dt}}|_{conv}=X_r \frac{W_i}{\Delta t}$

  • Le terme d'élutriation :

Ce terme est basé sur une corrélation empirique on le définit comme ${\frac{dW_i}{dt}}|_{elut}=k^*_i S_G X^0_i$ où les parcmètres $k^*_i$ et $S_G$ sont données par des corrélations empiriques.

 

  • Le bilan global

En regroupant tous les termes on obtient Une équation bilan à résoudre de :

\begin{equation} {\frac {dW_i}{dt}}|_{total} = F^0 X_0^i - F^s X_0^i + \frac{\frac{dd_c}{dt}}{\Delta d_c} W_{i+1} - \frac{\frac{dd_c}{dt}}{\Delta d_c} W_i - X_r \frac{W_i}{\Delta t} - k^*_i S_G X^0_i \end{equation}

Résolution

Le schéma numérique de résolution utilisée pour l'équation bilan est un schéma de cranck Nicolson, ce schéma est inconditionnellement stable, mais nécessite certaines conditions de régularité sur les équations à résoudre pour que notre résultat ait une précision satisfaisante.

 

Paramètres d'Initialisation
nombre de classe, Nc 20
pas de discrétization de la distribution, dp 30e-6 m
masse initiale de lit 10 kg
taux de réaction, $\frac{ddc}{dt}$ 4.07e-7 m/s
débit d'alimentation 0.047 kg/s
débit de soutirage 0.01 kg/s
vitesse de fluidisation 0.2 m/s

 

La courbe suivante montre l'evolution temporelle de la distribution de taille pour le char existant toute l'installation, dans cette simulation , une distribution dite de Rosin Rummler est utilisée por l'alimentation du lit fluidisé $1-exp(\frac{d_{pci}}{d_63}})^3$ où $d_{63}$ est le diaùmetre correspondant à 63% de la population, on constate la diminution de masse du char par classe jusqu'a s'établir  à une distribution où le lit n'évolue plus.

 

 

Couplage avec l'étude

Le but de l'introduction du bilan de population dans notre étude est de modéliser une entrée en taille pour le combusteur qui prends en compte une distribution de diamètres ceci pour améliorer la modélisation suivie dans notre étude, dans le but de simuler le comportement de tailles différentes, avoir une distribution de tailles va avoir un effets sur les équations bilans (de matières) vu qu'une réaction de combustion dépend fortement de la taille du combustible, c'est va qu'on va élucider par la suite.

En terme d'outil numérique, on suivra le schéma suivant pour la liaison des codes.