Partie transporté

Dans cette partie, il s'agit de modéliser la partie située entre le haut de la canne d'injection d'air secondaire et la tête du du réacteur, ici la vitesse de l'air est importante  pour transporter les particules, la vitesse $U_g$ du gaz est supérieure à la vitesse terminale de chute des particules de média, c'est pour cette raison il est dit lit transporté, le char continue de brûler lors de son ascension dans le lit jusqu'a  sa totale disparition, le média quant à lui continue de se réchauffer pour jouer le rôle de caloporteur. le modèle retenu dans cette partie est le modèle de réacteur à piston.

Le modèle RP

Les hypothéses utilisé pour ce modèle sont :

  • Les concentration sont uniformes sur une tranche de faible épaisseur du réacteur 
  • les concentrations sont prise égales aux valeurs en entrée de chaque tranche et correspondent aux valeurs de sortie pour la tranche precedente.
  • Les paramètres varient axialement suivant la hauteur du réacteur

Cette fois ci la diffusion du dioxygène est prise en compte en considérant sa diffusion dans lui même, dans cette partie le mélange gazeux, contrairement à celui dans le RAC  se compose en plus du $O_2$ du $N_2$ du $CH_4$ du $CO$ et du $H_2O$, une seconde réaction de combustion est prise en compte, en effet une partie du méthane produit peur être injécté dans le combusteur à des hauteurs différentes pour augmenter la température dans ce dernier

Dans cette partie, il s'agit de modéliser la partie située entre le haut de la canne d'injection d'air secondaire et la tête du du réacteur, ici la vitesse de l'air est importante  pour transporter les particules, la vitesse $U_g$ du gaz est supérieure à la vitesse terminale de chute des particules de média, c'est pour cette raison il est dit lit transporté, le char continue de brûler lors de son ascension dans le lit jusqu'a  sa totale disparition, le média quant à lui continue de se réchauffer pour jouer le rôle de caloporteur. le modèle retenu dans cette partie est le modèle de réacteur à piston.

Les hypothéses utilisé pour ce modèle sont :

  • Les concentration sont uniformes sur une tranche de faible épaisseur du réacteur 
  • les concentrations sont prise égales aux valeurs en entrée de chaque tranche et correspondent aux valeurs de sortie pour la tranche precedente.
  • Les paramètres varient axialement suivant la hauteur du réacteur

Cette fois ci la diffusion du dioxygène est prise en compte en considérant sa diffusion dans lui même, dans cette partie le mélange gazeux, contrairement à celui dans le RAC  se compose en plus du $O_2$ du $N_2$ du $CH_4$ du $CO$ et du $H_2O$, une seconde réaction de combustion est prise en compte, en effet une partie du méthane produit peur être injécté dans le combusteur à des hauteurs différentes pour augmenter la température dans ce dernier

${CH_{4}}_{(s)} +\frac{3}{2} O_{2_{(g)}} \to CO_{{(g)}}+2H_2O_{(g)}$

$C_{(s)} + O_{2_{(g)}} \to CO_{2_{(g)}}$

Les lois cinétiques retenues dans cette partie sont des lois de type Arrhenius en $exp(\frac{1}{T_g})$ où T_g est la température de la phase gazeuse, contrairement au RAC il y a une forte influence sur de la temperature sur la vitesse de réaction de combustion du méthane, ainsi on pose:

$r_{CH_4}=-1.10^{10}{C_{CH_4}}^{0.7}{C_{O_2}}^{0.8}exp(-47.2\frac{4180}{8.314T_g})$

$r_{CO}=-10^{14.35}C_{CO}{C_{O_2}}^{0.25}{C_{H_2O}}^{0.5}exp(-40.8\frac{4180}{8.314T_g})3.16.10^{-5}$

Bilan de matière

On effectue un bilan de matière pour chaque constituant dans un volume de contrôle $dV=A_cdz$ où $A_c$ est la base du combusteur, les équations à résoudre sont :

$\frac{dF_{CH_4}}{dz}-r_{CH_4}A_c\alpha_g=0$
$\frac{dF_{CO}}{dz}-(r_{CO}-r_{CH_4})A_c\alpha_g=0$
$\frac{dF_{O_2}}{dz}-(\frac{1}{2}r_{CO}+\frac{3}{2}r_{CH_4})A_c\alpha_g-r_cS_{pc}A_c\alpha_c=0$
$\frac{dF_{CO_2}}{dz}+r_{CO}A_c\alpha_g+r_cS_{pc}A_c\alpha_c=0$
$\frac{dF_{H_2O}}{dz}+2r_{CH_4}A_c\alpha_g=0$
$\frac{dF_{C}}{dz}-r_cS_{pc}A_c\alpha_c=0$

La forme conservative de l'équation de conservation de la masse pour la phase k s'écrit, en considérant le régime établi : $\frac{\partial{\alpha_k\rho_kU_k}}{\partial z}=\Gamma_k$  où $\Gamma_k$ est le taux de dissparition pour le char et de production pour le gaz.

Si on prend un volume de contrôle contenant une population de char contenant une distribution de taille, le taux de dissparition du char dans ce volume sera la somme des taux de dissparition de chaque classe i ainsi $\Gamma_c = \sum_{1}^{Nc} \Gamma_{ci} $, où $\Gamma_ci$ est le taux de dissparition du char de la classe i, on le définit comme

$\Gamma_{ci} = -\beta_c \frac{-6 \alpha_c k_c M_c CO_2}{d_{pci}}$ sachant que le taux de production du gaz est égal à $\Gamma_c$ en valeur absolue. En developpant ces équations on obtient à la fin :

$\alpha_c \frac {dU_c}{dz} + U_c \frac {d\alpha_c}{dz} = \frac{\Gamma_c}{\rho_c}$        $\alpha_g \frac {dU_g}{dz} + U_g \frac {d\alpha_g}{dz} = \frac{\Gamma_g}{\rho_g}$        $\alpha_c \frac {dU_c}{dz} + U_c \frac {d\alpha_c}{dz} = 0$

Comme dans la partie dense les diamètres vont être calculés de la même façon, cependant ces équations font apparaître les vitesses des phases , il faut coupler les équations de bilans de masse de quantité de mouvement et d'enthalpie pour obtenir les résultats.

Bilan de quantiteé de mouvement

Le bilans de quantité de mouvement sont écrites en régime permanents, ils font apparaitre les forces volumiques (le poids), les forces surfaciques (le terme faisant intervenir la pression et les frottements aux parois) ainsi que les forces d'intéractions char/gaz et média/gaz, dans un cas laminaire. Pour la phase gazeuse, on a:

$\underbrace {\frac{\partial}{\partial z} (\alpha_g \rho_g U_g^2)}_{\text {terme d'advection}} = - \underbrace{\alpha_g \rho_g g}_{\text{force volumique}} - \underbrace{\alpha_g \frac{\partial P}{\partial z} + F_f}_{\text{force_surfacique}} + \underbrace{I_{c \to g}}_{\text{force d'interaction char/gaz}} + \underbrace{I_{m \to g}}_{\text{force d'interaction media/gaz}}$

Le terme d'interaction gaz/char s'écrit tel que : $I_{c \to g} = \alpha_c \rho_c \frac{V_{slip}}{\tau_{gc}^F} + U_c \Gamma_g$ où $V_{slip}$ est la vitesse de glissement $V_{slip}=U_g-U_c$ et $\tau_{gc}^F$ est le temps d'entrainement caractéristique, ce dernier compare la vitesse terminale de chute des particules (ici le char) à la vitesse de glissement.

On passe maintenant aux phases solides et de la même façon on retrouve les équations suivantes :

$\rho_c \alpha_c U_c \frac{dU_c}{dz} = \alpha_c rho_c g - \alpha_c \frac{dP}{dz} + \alpha_c \rho_c \frac{V_{slip_c}}{\tau_{gc}^F}$

$\rho_m \alpha_m U_m \frac{dU_m}{dz} = \alpha_m rho_m g - \alpha_m \frac{dP}{dz} + \alpha_m \rho_m \frac{V_{slip_m}}{\tau_{gm}^F}$

Ainsi à l'issu de cette étape les termes de réaction des bilans de matières sont alors utilisables dans le code, la zone dilluée n'est pas isotherme contrairement au RAC , il faut alors faire un bilan d'enthalpie pour determiner la temperature des phases le long du combusteur.

Bilan d'enthalpie

Afin d'obtenir la température des phases on effectue un bilan d'enthalpie sur chaque phase, en faisant les hypothèse suivantes :

  • Les pertes thermiques au paroi ne sont pas prises en compte
  • pas d'échanges thermiques entre deux tranches consécutives du RP
  • L'enthalpie pour un constituant i est définie comme la somme de son enthalpie standart de formation auquel s'ajoute un terme d'échauffement
  • Les gaz sont supposés parfaits

Dans toute cette partie les équations bilan vont êtres réalisées sur une population dont les tailles sont supposés uniformes ce qui fait qu'on a choisit de travailler avec un diamètre moyen, et donc les équations bilans d'enthalpie vont rester les mêmes il n'y aura pas de changements sauf l'utilisation d'un diametre moyen, et donc on garde la même modèlisation effectuée lors des travaux précédents.