Etude théorique

 

    L'étude théorique réalisée s'appuie sur une géométrie simplifiée 2D: 

Estimation grossière du temps de vidange

En supposant que l'eau soit un fluide incompressible et que l'air ne sort pas du réservoir, on peut écrire :

\begin{equation} T_{vidange}= \frac{V_{réservoir}}{Q_{imposé}}    \end{equation}

 Donc, on peut dire, dans un premier temps, que le temps de vidange du réservoir décroît par rapport au débit imposé en Q-1 . On vérifiera numériquement ce comportement dans la suite de notre étude.

Modèle de Bernoulli

Les hypothèses pour appliquer le théorème de Bernoulli sont les suivantes:

Alors, en régime permanent, si l'on néglige les transferts de chaleur, on vérifie :

\begin{equation}\Delta _{1→0}(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gz + p)=-\Delta H^{PDC}_{1→0}\end{equation}

Le membre de droite de cette équation correspond aux pertes de charges dues aux frottements pariétaux et les différentes irrégularités dans l'écoulement devient nul si on néglige les pertes de charges et se modélise sinon.

Les deux hypothèses, en vue de comparaison, seront développés dans ce qui va suivre.

                                            

Modèle de Bernoulli sans perte de charge

Dans ce cas, le terme de droite de l'équation de Bernouilli devient nul et cette dernière s'écrit par suite:\begin{equation} \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh + p_1=\frac{1}{2}\rho v_2^2 + p_0 \end{equation}

D'autre part, d'aprés la loi de conservation du débit, on peut écrire:

\begin{equation} v_0.S_0 = v_1.S_1:\end{equation}

c'est à dire:\begin{equation} v_0.\pi R^2S_0 = v_1.Ll:\end{equation}

 d'où la relation entre la vitesse entre les deux points: 

\begin{equation} -\frac{dh}{dt}=v_1 = v_0.  \frac{\pi R^2}{L l}\end{equation}

Cette relation s'écrit :\begin{equation}\frac{dh}{dt}=- \sqrt{\frac{2gh+{\frac{2 \Delta P}{\rho}}}{1-\frac{\pi R^2}{L*l}}}. \frac{\pi R^2}{L l}\end{equation}

avec \begin{equation}\Delta P=P_1-P_0\end{equation}

On trouve,après changement de variables et intégration , la variation temporelle de la hauteur du retardant dans le réservoir:

\begin{equation}h(t) = \frac{1}{g}( ( gh_0+\frac {\Delta P}{\rho} )^{\frac{1}{2}} - g \alpha t)^2    - \frac{\Delta P}{\rho g}\end{equation}$avec$\begin{equation}  \alpha = \frac{\pi R^2}{L l}.\frac{1}{\sqrt{1- \frac{\pi R^2}{L l}}} > 0 \end{equation}

On trace sur MATLAB l'évolution temporelle de la hauteur du retardant:

On remarque une évolution linéaire de la hauteur du retardant, le temps de vidange décroît quand la différence de pression entrée-sortie augmente.

 

 

 

 

Modèle de Bernoulli avec perte de charge

La perte de charge $\begin{equation}\Delta H^{PDC}_{1→0} \end{equation}$peut être décomposée en perte de charge due aux frottements pariétaux et celle dues aux pertes de charge singulières:

\begin{equation}\Delta H^{PDC}_{1→0} = \Delta H_{frot}+\Delta H_{sing} \end{equation}

avec   \begin{equation} \Delta H_{frot} = K_{frot}.\frac{h}{D_h} \frac{1}{2} \rho v^2\end{equation} et   \begin{equation} \Delta H_{sing} = (K_{fconvergent}+K_{entrée Buse}) . \frac{1}{2} \frac{L_{Buse}}{D}\rho v^2\end{equation} où $\begin{equation} L_{Buse}\end{equation}$ est la longueur de la buse et $\begin{equation} D_h\end{equation}$ est le diamètre hydraulique de réservoir de section rectangulaire défini par : \begin{equation} D_h = \frac{2 Ll}{L+l}\end{equation}

Par le biais de corrélations empiriques, on retrouve les différents coefficients:

 

 Coefficient de frottement pariétal :

Le frottement du retardant sur les parois du réservoir entrînent une perte de charge dont le coefficient est donné par les deux corrélations dépendantes du régime de l'écoulement:

   ♦ En régime laminaire :     $\begin{equation} K_{frot} = \frac{64}{Re}\end{equation}$

   ♦ En régime turbulent :    $\begin{equation} K_{frot} = 0.3164.Re^{-0.25}\end{equation}$

 

  Coefficient de pertes de charge due au convergent  :

   La diminution de la section causée par la présence du convergent entrîne une perte de charge de plus dont le coefficient est donné par:

   - $\begin{equation} K_{convergent}= 10^{-4}\frac{n(n^4-1)}{4(n-1)} \end{equation}$ avec $\begin{equation} n= \frac{D_h}{D}\end{equation}$

Coefficient de pertes de charge due à l'entrée de la buse  :

      - $\begin{equation} K_{entréeBuse}= \frac{1}{2}  \end{equation}$

 

Aprés le calcul, on trouve  $\begin{equation} K_{entréeBuse}= \frac{1}{2}  \end{equation}$,$\begin{equation} K_{convergent}= 0.016 \end{equation}$ et  $\begin{equation} K_{frot}= 0.011  \end{equation}$

 

De manière analogue au cas précédent et en utilisant la loi de conservation des débits, on peut écrire:

\begin{equation}\frac{dh}{dt}=\sqrt{\frac{2gh+{\frac{2 \Delta P}{\rho}}}{1-\frac{L l}{\pi R^2}(1+K_{frot}\frac{h}{D_h}+(K_{convergent}+K_{entréeBuse})\frac{L}{D})}}. \frac{\pi R^2}{L l}\end{equation}

La solution analytique de cette équation est fastidieuse, numériquement, on peut tracer la solution h(t) :

  ⇒Effet des pertes de charges sur le temps de vidange:

Différence de pression$\begin{equation} \Delta P\end{equation}$ (bar)

0.1

0.22

0.58 0.92
 Temps de vidange t95 avec perte de charge (s)(*) 7.6 ( 24%) 5.8( 41% ) 3.8( 12%) 3 ( 41%)
 Temps de vidange t95 sans perte de charge (s) 6.1 4.1 3.4 2.7

(*) : pourcentage d'augmentation relative du temps de vidange t95% défini par:

\begin{equation} p=100. \frac{t^{AvecPDC} - t^{SansPDC}}{t^{SansPDC}}  \end{equation}

Par le biais de cette grandeur, on peut voir que les pertes de charges augmentent le temps de vidange

    Cela pourra être confirmé en traçant le temps de vidange en fonction de la différence de pression avec et sans pertes de charges. On peut déduire que pour la même différence de pression, le temps de vidange est plus grand avec pertes de charge ce qui impose un choix optimal du matériau du réservoir afin de réduire le minimum possible les pertes de charges.