Vérification préliminaires

Avant de se lancer dans des calculs conséquents, il y a des vérifications importantes à faire, en particulier la convergence en maillage. On a en plus vérifié que l'angle de contact simulé avec OpenFOAM ne donne pas de résultats trop aberrants.

 

Convergence en maillage

La convergence en maillage est une partie importante pour un travail de simulation. En effet, un maillage raffiné donne des résultats précis, mais plus le nombre mailles est élevé, plus le temps de calcul sera long. Il est donc nécessaire de trouver un compromis entre un temps de calcul raisonnable et un maillage assez précis. Le principe est simple : on commence à lancer une simulation avec un maillage grossier (ici 200*50) et on relève les grandeurs importantes pour l'étude : le rayon et la hauteur de la goutte. Afin d'être sûrs que la goutte est immobile, les calculs lancés font 500 000 itérations. Ensuite, on augmente le nombre de mailles jusqu'à ce que les résultats convergent. Cela signifie qu'augmenter le nombre de mailles ne change rien à la taille du rayon ou de la goutte.

Afin de calculer le rayon et la hauteur de la goutte, grâce à Paraview, on exporte au format .csv les points correspondants aux coordonnées de la goutte (que l'on a obtenu en effectuant une slice de normale z et un contour pour une valeur de alpha de 0.5) :

Les résultats pour les différents maillages sont donnés dans le tableau suivant. Comme attendu, le temps de calcul augmente lorsque le nombre de mailles augmente. La faible différence de temps de calcul entre un maillage de 50 000 et 100 000 vient de la performance des ordinateurs utilisés : du fait qu'ils sont utilisés par d'autres, ils ne sont pas toujours à 100% de leur capacité et donc le temps de calcul peut varier. Pour les calculs les plus importants, on les a effectué en parallèle sur 4 processeurs afin de les terminer plus rapidement, mais le temps de calcul reste tout de même assez conséquent (85h pour 160 000 mailles).
 

Maillage Nb mailles Hauteur (cm) Rayon (cm) Temps calcul (s) Temps calcul (h)
200*50 10 000 0.0204 0.786 29 462 ~ 8
300*75 22 500 0.02 0.799 47 825 ~ 13
400*50 20 000 0.0203 0.789 42 232 ~ 11
400*100 40 000 0.0202 0.795 80 351 ~ 22
500*50 25 000 0.0203 0.788 53 622 ~ 15
500*100 50 000 0.0198 0.811 121 608 ~ 34
650*150 97 500 0.0198 0.812 135 593 (4 coeurs) ~ 38
800*200 160 000 0.0198 0.811 306 363 (4 coeurs) ~ 85

Ce tableau nous permet de constater une convergence en maillage à partir de 50 000 mailles, puisque les hauteurs sont les mêmes, et les rayons sont très peu différents.  Toutefois, on a constaté que plus le maillage est raffiné, plus les contours sont "bruités", en effet, ils ne sont plus très lisses au niveau de la hauteur, ce qui rend difficile l'interprétation et le calcul des valeurs utiles, on est obligé de faire une interpolation pour avoir le contour de la goutte. C'est pourquoi on a choisi de travailler par la suite avec un maillage 500*100 (soit 50 000 mailles), car c'est le plus lisse, et le plus rapide à converger (si on le fait tourner sur 4 coeurs, il sera à priori encore plus rapide à converger).

         

Figure : Convergence en maillage (zoom sur une zone peu bruitée)

Sur la figure précédente, le contour de la goutte est représenté, avec un zoom sur la zone la plus lisse (la zone la plus intéressante car la moins bruitée).

Figure : Convergence en maillage : hauteur

            

Figure : Convergence en maillage : rayon

Les figures de convergence en maillage pour le rayon et la hauteur permettent de mieux observer la convergence à partir de 50 000 mailles puisque la hauteur est constante et le rayon également. On constate également la corrélation rayon-hauteur, en effet lorsque le rayon augmente, la hauteur diminue, et réciproquement. Ceci est logique puisqu'il y a conservation du volume de la goutte lors du processus de propagation.

Validation de l'angle de contact

Lors du processus de propagation d'une goutte sur une surface solide, celle-ci forme un angle avec la paroi : $\theta$ , qui est l'angle de contact. Celui-ci rend compte de l'aptitude du liquide à s'étaler sur la surface, il représente le mouillage du fluide. Il est lié aux tensions interfaciales par l'équation d'Young.

                                       

Figure : Angle de contact (source)

Comme il a été décrit dans le chapitre précédent, OpenFOAM permet de modéliser plusieurs types d'angles de contact :
  • Angle de contact statique ( $\theta$ = cste)
  • Angle de contact dynamique avec dépendance temporelle
  • Angle de contact dynamique avec angle d'avancement et de recul

Les angles modélisés par OpenFOAM sont détaillés dans les parties suivantes.

Angle de contact statique

Dans un premier temps, on a effectué la validation de l'angle statique simulé par OpenFOAM. Pour cela, comme expliqué dans la partie lancement de simulation, on a entré des paramètres pour spécifier l'angle souhaité.

 

Dans un premier temps, on a fait une vérification simple avec une goutte initialisée avec la gravité et un angle de contact de 90°. Avec cet angle de contact, on est censé avoir le même résultat que pour une simulation sans angle de contact. Le résultat est donné sur la figure suivante.

                     

Figure : Goutte soumise à la gravité, avec et sans angle de contact

On remarque bien qu'il n'y a aucune différence entre les deux contours de goutte. Les points au centre de l'axe des abscisses correspondent à de l'air encapsulé par la goutte au départ de la simulation. Ainsi, l'angle de contact statique semble bien simulé par OpenFOAM.

 

On a testé une deuxième méthode de vérification en initialisant des gouttes sans gravité pour 3 angles de contact différents : 30, 60 et 90. Ces gouttes sont initialisées avec l'angle de contact souhaité et la simulation est lancée pendant 5s de temps physique afin de voir s'il y a des courants parasites ou non. Comme il n'y a pas de gravité, la goutte est censée garder sa forme initiale. Les trois figures suivantes montrent que c'est bien le cas puisque les courbes à 5s sont superposées exactement aux courbes initiales. On a tracé également les tangentes pour chaque angle de contact afin de montrer que l'angle simulé vaut la bonne valeur, et la forme de la goutte théorique (qui n'est qu'une cercle). Les figures montrent bien que les gouttes suivent la forme théorique et ne bougent pas au fil du temps, leur angle de contact est bien simulé et il n'y a pas de courant parasite.

                    

Figure : Goutte sans gravité, angle de contact 30°

       

Figure : Goutte sans gravité, angle de contact 60°

                  

Figure : Goutte sans gravité, angle de contact 90°

Ainsi, l'angle de contact statique simulé par OpenFOAM est bien l'angle statique réel comme le montrent ces quelques vérifications que l'on vient d'effectuer. Pour nos simulations, on va garder un angle statique dans un premier temps.

 

 

Angle de contact dynamique

Comme on l'a précisé dans la partie "lancement d'une simulation" concernant l'angle de contact, OpenFOAM permet de simuler plusieurs types d'angles dynamiques :

  • Angle dynamique avec angles de recul et d'avancement : cet angle nécessite la vitesse de la ligne de contact ($u_{\theta}$) ainsi que l'angle à l'équilibre et se base sur cette formule : 

$$ \theta = \theta_0  + (\theta_A - \theta_R) tanh (\frac{u_{wall}}{u_\theta}) $$

Figure : Angle dynamique avec angle d'avancement et de recul

  • Angle dynamique dépendant du temps : pour celui-ci, il faut connaître l'angle d'équilibre à atteindre mais aussi le temps nécessaire à atteindre cet angle. La relation entre l'angle de contact et le temps est linéaire et se base sur cette formule :

$$ \theta = \theta_0 + (t - t_0)* \frac{\theta_e - \theta_0}{t_e - t_0}$$

Figure : Angle dynamique avec dépendance linéaire temporelle

 

Pour les deux simulations précédentes, l'angle de contact à l'équilibre vaut 0.33° (d'après la publication de Chen), et le temps de simulation est de 1s (car c'est juste pour observer les deux comportements de ces angles), donc la goutte n'a pas fini de se propager entièrement. Les deux types d'angles dynamiques ont à peu près le même comportement au début de la propagation de la goutte (pendant 0.5 s environ), mais leur comportement diffère après ce temps. En effet, tandis que le premier angle a l'air "aplati" assez tôt lors de la propagation, pour le deuxième, il y a apparition de bourrelet à chaque extrémité. Ces deux bourrelets viennent des effets inertiels exercés sur la goutte, afin de satisfaire la conservation du volume, la goutte se creuse au centre. De plus, on observe que la goutte revient sur elle même, elle va se stabiliser plus tard avec le bon angle de contact.

Parmi ces deux options, la première nous parait la plus cohérente avec ce que l'on recherche même si l'idéal aurait été une loi puissance (d'après la publication de Chen). Pour avoir cette loi puissance il aurait fallu modifier les sources des angles de contact, en particulier l'angle de contact avec dépendance temporelle, afin de lui rentrer la loi souhaitée. Nous n'avons pas eu le temps de modifier les sources et avons préféré garder un angle de contact statique qui donnait tout de même des résultats assez cohérents.

Maintenant que les vérifications préliminaires sont effectuées, il est temps de passer au calcul de l'impact goutte paroi.