Equations bilan

Cette partie se base en grande partie sur différents cas de calculs similaires au notre correspondant aux références [3], [4] et [6].

Transfert de masse :

Pour chacune des phases la conservation de la masse s'écrit de la manière suivante :

$\frac{\partial \alpha_k\rho_k}{\partial t}+\frac{\partial \alpha_k\rho_kU_{k,i}}{\partial x_i}=\Gamma_k$ avec $\sum \Gamma_k​=0$

On désignera les différente phase par leurs indice : 1, 2 et 3 pour la phase gaz, le média et la biomasse + le char respectivement. Le transfert de masse ne pouvant avoir lieu, vu la réaction en jeu, que de la biomasse vers le gaz on a :

$\Gamma_1=-\Gamma_3$ et $\Gamma_2=0$

$\Gamma_1$, le taux de transfert de la biomasse vers le gaz en $kg/m³/s$, s'écrit de la façon suivante :

$\Gamma_1=-n_3\frac{dm_3}{dt}$ avec $n_3$ le nombre de particules de biomasse par unité de volume en $m^{-3}$.

En écrivant $n_3=\frac{\rho_3\alpha_3}{m_3}$ on obtient $\Gamma_1=\frac{\alpha_3\rho_3(\rho_{biom}-\rho_{char})r_c^2U_l}{r_3^3\rho_{char}+r_c^3(\rho_{biom}-\rho_{char})}$

Il apparaît au final que cette expression est peut être plus adaptée aux réactions à masse volumique de particule constante et non à volume constant car l'expression de $\Gamma_1$ fait intervenir $\rho_3$. Pour tout travaux qui suivraient il serait peut être plus intéressant d'écrire $n_3=\frac{\alpha_3}{V_3}$ et ainsi obtenir $\Gamma_1=\frac{\alpha_3(\rho_{biom}-\rho_{char})r_c^2U_l}{r_3^3}$

En effet dans cette dernière formule $\Gamma_1$ ne dépend plus de $\rho_3$ qui est susceptible de varier. La formule utilisée dans ce BEI est la première des deux versions. $\Gamma_1$ est codé directement dans le fichier user ustrmv.F.

 

Transfert de quantité de mouvement :

Pour chaque phase k la forme non conservative de la conservation de la quantité de mouvement projetée sur la direction i s'écrit de la manière suivante :

$\alpha_{k}\rho_{k}\frac{\partial​ U_{k,i}}{\partial t}+\alpha_k \rho_k U_{k,i}\frac{\partial U_{k,i}}{\partial x_j} $

$=$

$-\alpha_k \frac{\partial​ P_g}{\partial x_i}+\alpha_k \rho_k g_i+\frac{\partial}{\partial x_i}[-\alpha_k \rho_k <u'_{k,i}u'_{k,j}>+\Theta_{k,ij}]+I'_{k,i}+[U_{\sigma,i}-U_{k,i}]\Gamma_k+\delta_{kp}\sum_{n \neq k}S_{kn,i}$

Tout ces termes à l'exeption de $[U_{\sigma,i}-U_{k,i}]\Gamma_k$ sont déjà pris en charge par NEPTUNE et ne nécessitent pas de traitement particulier. Le terme $[U_{\sigma,i}-U_{k,i}]\Gamma_k$ représente le gain de quantité de mouvement induit par le transfert de matière.  $U_{\sigma,i}$ est ici supposée égale à la vitesse de particules de la phase 3 au point considéré. C'est une hypothèse assez réductrice mais nous ne disposons pas de modèle plus élaboré, ce point est une piste d'amélioration de ce travail. Sous cette hypothèse on remarque que ce terme est non nul pour la phase gaz uniquement. En effet quand on considère la phase média $\Gamma_k$ est nul et quand on s'intéresse à la phase biomasse c'est $(U_{\sigma,i}-U_{k,i})$ qui est nul.

Sous NEPTUNE dans l'équation de conservation $\alpha_k \rho_k$ passe du coté des termes sources et le terme résultant, $\frac{1}{\alpha_{k}\rho_{k}}[U_{\sigma,i}-U_{k,i}]\Gamma_k$ se code dans le fichier ustsns.F sous la forme $\sum_{l=1}^3TSA(l)U_{l,i}$

Il en découle pour la phase gaz :

  • $TSA(3)=\frac{\Gamma_1}{\alpha_1 \rho_1}$
  • $TSA(2)=0$
  • $TSA(1)=-TSA(3)$
  • $TSB=0$

 

Transport des scalaires :

Pour bien décrire la composition des gaz produits il est nécessaire d'introduire dans la simulation trois scalaires représentant la fraction massique de chaque composés : $Y_{H_2}$, $Y_{CO}$, et $Y_{CH_4}$. On a pas besoin d'introduire $Y_{H_2O}$ car il peut être calculé à partir des trois autres.

Le transport d'un scalaire S quelconque porté par une phase k s'écrit de la façon suivante sous forme conservative :

$\frac{\partial}{\partial x_i}\alpha_k \rho_{k}S+\frac{\partial}{\partial x_i} \alpha_{k} \rho_{k} U_{k,i} S = \frac {\partial}{\partial x_i}(\alpha_{k}\rho_{k}D_{k,S}\frac{\partial S}{\partial x_i}) +\Psi_{k,S}$

Avec $\Psi_{k,S}$ terme source de S dans k.

Pour la fraction massique de l'espèce m on a : $\Psi_{k,S}=x_m\frac{W_m}{W_{pyro}}\Gamma_1$

En développant les termes du premier membre, en identifiant les termes relatifs à la conservation de la masse et en passant $\alpha_k$ on obtient l'équation sous forme non conservative telle qu'elle est traitée dans NEPTUNE :

$\rho_k[\frac{\partial S}{\partial t}+U_{k,i} \frac{\partial}{\partial x_i}S]=\frac{1}{\alpha_k}[\frac{\partial}{\partial x_i} (\alpha{k} \rho_{k} D_{k,S} \frac{\partial}{\partial x_i} S)+\Psi_{k,S}-\Gamma_k]$

$\frac{\partial}{\partial x_i} (\alpha{k} \rho_{k} D_{k,S} \frac{\partial}{\partial x_i} S)$ correspond à la diffusion du scalaire dans la phase porteuse. Pour les fractions massiques, le coefficient $D_{k,S}$ a été pris égal à $10^{-5}$ pour chaque espèces. On pourrait améliorer cette valeur en la calculant grâce à la théorie de Chapman-Enskog.

$\frac{1}{\alpha_k }[\Psi_{k,S}-\Gamma_k]$ est le seul terme nécessitant un traitement dans le fichier ustssp.F. Pour les fractions massiques, vu la forme de $\Psi_{k,S}$ se terme se simplifie en : $\frac{\Gamma_1}{\alpha_1}(x_m\frac{W_m}{W_{pyro}}-Y_m)$

Dans le fichier user ce terme s'identifie à TSA et on doit aussi coder $TSB=\frac{\partial TSA}{\partial S}$

Au final pour les fractions massiques on obtient :

  • $TSA_{m}=\frac{\Gamma_1}{\alpha_1}(x_m\frac{W_m}{W_{pyro}}-Y_m)$
  • $TSB_m=-\frac{\Gamma_1}{\alpha_1}$

Pour résoudre le problème on a besoin d'un dernier scalaire $\chi_d$ qui régit la conservation du nombre de particule par unité de masse. Il est définit comme $\chi_d=\frac{m_3(t=0)}{m_3(t)}$ ce qui dans notre cas se simplifie en $\chi_d=\frac{\rho_3(t=0)}{\rho_3(t)}$. Son transport se traite exactement de la même manière si ce n'est qu'il est porté par la phase 3, qu'il n'est pas sujet à la diffusion et que $\Psi_{3,\chi_d}=0$ vu qu'il n'y a ni attrition ni agglomération. On a au final :

  • $TSA_{\chi_d}=\Gamma_1\frac{\chi_d}{\alpha_3}$
  • $TSB_{\chi_d}=\frac{\Gamma_1}{\alpha_3}$