Procédure numérique

La résolution des équations présentées précédemment doit permettre de connaître la forme de notre goutte en 2,5 D à tout moment. Cependant, ces équations étant directement liées il n'est pas possible de les résoudre analytiquement. C'est pourquoi une procédure numérique adaptée a été mise en place et présentée par Gu & Li dans leur article A model for a liquid drop spreading on a solid surface.

Les étapes à suivre sont les suivantes :

- Initialisation de la goutte et des grandeurs physiques (rayon, hauteur, angle de contact ...)

- Choix d'un $ \Delta R_0$ tel que $\Delta R_0=R_0(t+\Delta t)-R_0(t)$

- Choix d'un $H(t+\Delta t)$ associé tel que  $0<H(t+\Delta t)< 2r_0$

- Calcul du profil liquide-fluide à $t+\Delta t$ grâce à l'équation :

$$ \frac{ \pm \frac{d^2 y}{dx^2} }{ \left[ 1 + (\frac{dy}{dx})^2 \right]^{\frac{3}{2} } } + \frac{ \pm \frac{dy}{dx} }{x \left[1 + (\frac{dy}{dx})^2 \right]^{\frac{1}{2}} } = \frac{2}{R_0 (t) } + \frac{ \Delta \rho g }{\gamma_{lf} } \left[ H(t) - y(x) \right] $$

 

et les conditions limites :

$$
    \left \{
    \begin{array}{ll}
    y_1(x=0) = H(t) \\
    y_2 (x=0) =0
    \end{array}
    \right.
$$.

- En considérant la conservation du volume de la goutte   $V_l = \int_0^H 2Lxdy$   la hauteur H est ajustée.

- Il est alors possible de calculer $R(t+\Delta t)$, $A_{lf}(t+\Delta t)$, $x_m(t+\Delta t)$, $y_m(t+\Delta t)$ et $\theta_d(t+\Delta t)$

- Enfin, l'équation du bilan d'énergie permet de calculer le pas de temps $\Delta t$ qui correspond à cette variation  $ \Delta R_0$. Pour cela, il suffit d'incrémenter le pas de temps $\Delta t$ jusqu'à ce que l'équation bilan soit vérifiée. Le coefficient $\epsilon_\delta^{-1}$ est choisi au hasard.

- Le temps final où le profil de la goutte n'évolue plus peut être déterminé de deux façons : la valeur de l'angle de contact dynamique est à peu près égale à celle de l'angle de contact d'équilibre ou la vitesse du profil est inférieure à une vitesse minimale fixée.

- Enfin le coefficient $\epsilon_\delta^{-1}$ qui intervient dans le bilan énergétique est choisi de manière à ce que le résultat analytique déterminé corresponde le plus possible aux résultats de la simulation numérique.

 

Il existe plusieurs problématiques qui sont liées à cette procédure :

- Le choix de $ \Delta R_0$ doit être adapté au problème. Si la valeur prise est trop grande, le calcul ne pourra pas converger. A contrario, si cette valeur est trop faible le pas de temps sera lui aussi très faible et le calcul en sera d'autant plus long.

- L'équation qui nous permet d'obtenir le profil de la goutte est décrite avec les signes $\pm$. En réalité il s'agit donc de deux systèmes différentiels à résoudre.

- Pour ajuster la valeur de la hauteur H pour qu'elle vérifie la conservation du volume de fluide, il faut donc incrémenter la valeur de H jusqu'à ce que le volume soit à peu près égal à celui du pas de temps précédent. On a donc une boucle "while" ou "until" dans laquelle il faut résoudre à chaque itération l'équation qui donne le profil de la goutte.

- Pour déterminer le $\Delta t$ qui vérifie le bilan d'énergie, il faut aussi incrémenter une valeur de $\Delta t$ petite jusqu'à ce que cette équation soit vérifiée. Ainsi, on a ici aussi une boucle de type "while" ou "until" où il faut résoudre l'équation d'énergie. Enfin, la valeur de ce pas de temps change pour chaque itération temporelle.