Solutions aerodynamiques

Les solutions proposées dans cette section correspondent à la partie source d'énergie de la solution hybride. En effet elles utilisent toutes l'écoulement externe comme générateur de puissance. Elles visent donc toutes à subvenir aux besoins de l'appareil sur des périodes de longues durées (90,120,180,240 minutes).  Le cas typique que l'on prendra pour les étudier est celui d'une production de 70kW pendant 180 minutes.

L'énergie contenue dans un écoulement  se trouve sous deux formes, l'énergie cinétique liée à la vitesse et l'énergie potentielle liée aux effets de pression. Nous proposons donc des solutions exploitant l'une ou l'autre de ces énergies. 

Tableau récapitulatif des solutions explorées
Solution Source d'Energie Mise en pratique
Eolienne de Savonius Confinée énergie cinétique + énergie potentielle prometteur
Vortex Artificiel  énergie potentielle trop encombrant
Windmilling énergie cinétique Fausse solution
Turbine axiale avec diffuseur énergie cinétique+potentielle sûrement trop encombrant

Nous avons écarté d'office l'utilisation de l'APU (Axiliary Power Unit), responsable du conditionnement de l'appareil au sol (pressurisation, climatisation). Celle ci est, d'une part difficile à allumer à 11000m d'altitude et d'autre part la panne est souvent due à une rupture dans l'approvisionnement en kérosène, qu'utilise également l'APU. 

Notre étude s'est surtout concentrée sur l'éolienne de Savonius confinée que nous avons tenté de dimensionner, et qui est plus longuement discuté dans la dernière partie.

Turbine axiale avec diffuseur

Présentation

Cette solution se compose d'une éolienne axiale bi ou tri pale similaire à l'actuelle RAT sauf que celle ci se retrouve entourée d'un diffuseur afin de profiter des effets potentiels. Son utilité est similaire à celle du convergent que l'on développera plus tard pour l'éolienne de Savonius.

L'objectif est double, se rapprocher de la limite de Betz qui est la limite théorique de puissance que l'on peut récolter dans un écoulement et qui vaut environ 60% et augmenter la puissance de l'écoulement grâce à l'effet Bernoulli. Nous conservons une éolienne axiale puisque c'est celle ci qui sont naturellement les plus proches de cette limite.   

 

Modèle 3d d'éolienne tripale avec diffuseur , schéma d'un possible dispositif

Mise en pratique

Cette solution a déjà été testé dans l'éolien civil en Nouvelle-Zélande par la société Vortec bien que originellement développée par la Grumann Aerospace Corporation. Le gain sur la puissance de l'éolienne est supposée être de l'ordre de 6 par vent favorable par rapport à une éolienne nue.

Cependant dans l'éolien civil ce fut un échec commercial du fait de l'existence des vents transversaux. En effet les vents atmosphériques sont chaotiques (notamment aux niveau des quarantièmes rugissant où se situe la Nouvelle Zélande) et ils avaient tendance à malmener les installations. Dans le cas qui nous intéresse il n'existe qu'une seule direction d'écoulement, celle induite par la marche de l'avion et que l'on ressent lorsqu'on se met dans son référentiel.

M. Ragheb propose qu'un diffuseur bien conçu doit faire entre 7 et 10 diamètres de rotor pour avoir un impact significatif sur le gain de l'éolienne. Ce qui rendrait notre solution trop encombrante. Cependant le gain en puissance nous permet de réduire la taille de l'éolienne pour les même capacité d'un facteur $\sqrt{6}$ idéalement.

En effet la puissance d'un écoulement s'écrit:

$ P= \frac{1}{2} \rho V_{inf}^3 A$

Avec $\rho$ la densité du fluide Vinf​ la vitesse impactante et A l'aire de la section $A=\pi R^2$ avec R le rayon du rotor. les puissances étant dans un rapport 6

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{R_2^2}{R_1^2}=6$ donc $\frac{R_2}{R_1}=\sqrt{6}$  on a bien les rayons qui sont dans un rapport $\sqrt{6}$

Malgré cette réduction, cette solution ne règle pas le problème du déploiement, comment ranger ce diffuseur pour qu'il prenne le moins de place possible? De plus même si l'éolienne est réduite l'ajout de ce diffuseur peut rendre la solution plus lourde que l'actuelle RAT. Un tel dispositif n'a été testé en soufflerie que pour des vents à vitesses modérées (10m/s à 20m/s). En effet  il était destiné à l'éolien civil, donc tous les nombres précédents même si ils sont adimensionnels sont à prendre avec précaution.

C'est à cause de tous ces facteurs que nous n'avons pas souhaité pousser plus loin l'exploration.

Vortex Artficiel

Présentation

Le vortex artificiel tire partie de la part d'énergie potentielle contenue dans l'écoulement. L'objectif est de faire entrer l'air du flux principal dans un conduit en spirale pour générer un tourbillon. Or la mécanique des fluides nous indique qu'un tourbillon est un minimum local de pression. 

En effet comme les particules fluides tournent autour d'un axe elle subissent l'influence d'une force centrifuge locale, pour maintenir leur trajectoire circulaire un gradient de pression dirigé vers le centre du tourbillon se crée alors. On comprend ainsi aisément que le centre est bien un minimum de pression.

Ce minimum de pression va créer un appel d'air dont la direction sera colinéaire avec  l'axe du tourbillon. Il suffit alors de placer une éolienne similaire à la RAT actuelle dans ce courant artificiel pour moissonner son énergie 

Schéma du dispositif

 

Mise en pratique

Le dispositif se présenterait un peu comme le diffuseur de la solution précédente mais cette fois son axe serait perpendiculaire à la direction principale de l'écoulement. Il ne serait pas une surface simplement connexe mais une spirale (voir figure), laissant l'air s'engouffrer. Le dispositif aurait une base plus grande que l'autre pour assurer un bon effet Venturi (avoir une dépression le long de l'axe de révolution de l'installation), car les tourbillons tourneront plus vite près de la petite base, par conservation de la masse, induisant une dépression plus grande. Comme dit plus haut une éolienne axiale bipale serait placé à la base la plus grande. 

Cette exploitation originale de l'écoulement n'est pour l'instant que peu utilisée dans le domaine éolien. On la trouve plus souvent dans les systèmes d'irrigation (notamment le système ArVo développé par A Venukumar pour de la microhydroélectricité). Cependant un projet d'Atmospheric Vortex Engine s'est développé récemment au Canada et vise à utiliser d'anciennes tours de refroidissement d'installation nucléaire. Leur forme hyperboloïde étant favorable d'une part à la tenue mécanique et d'autres part à la stabilisation des tourbillons. Cependant leurs dispositifs exploitent également les différentiels de densités dus aux effets thermiques, ce qui ne nous concerne pas. Ils obtiennent ainsi dans leurs dispositifs expérimentaux plusieurs kW (entre 1 et 20)

Aussi excitante et étrange que cette solution puisse paraître elle semble au final difficile à mettre en pratique sur un appareil. Premièrement, il faut avoir assez de place pour laisser deux directions d'écoulement (le principal et l'appel d'air).

De plus on ne bénéficie d'aucun effet thermique, puisque notre installation se veut être petite, pour venir appuyer l'effet Venturi.

Enfin, au sol l'air qui se fait aspirer par la grande base est au repos, ce qui n'est pas le cas dans notre étude, il se déplace même très vite (jusqu'à 250m/s) dans une direction orthogonale à celle que l'on souhaite moissonner. Ainsi obtenir une aussi grosse variation de quantité de mouvement par changement de direction nécessite d'avoir une forte dépression dans le dispositif, ce qui devient difficile à obtenir en haute altitude. Toutes ces raisons font que nous avons rejeté cette solution.

Windmilling

Présentation

Le windmilling se base sur la rotation de la soufflante (image ci dessous) pour produire de l'énergie. La soufflante dans son utilisation habituelle (fonctionnant avec les sources primaires opérationnelles) sert à précomprimer l'air entrant avant de le transmettre au réacteur lui même. Elle joue un rôle dans le refroidissement des éléments de la turbomachine (notamment pour la turbine haute pression). Cependant ce qui nous intéresse ici c'est d'exploiter lors d'une panne l'inertie de la soufflante, cette dernière étant entretenue par l'écoulement

 

 

Soufflante à l'arrêt d'un réacteur d'A380. Crédit wikipédia

​Mise en pratique

Dans un réacteur à double flux la turbine basse pression entraîne la soufflante lorsque l'appareil fonctionne normalement. L'idée du windmilling est de placer un alternateur ou encore un aimant permanent comme le propose P.H. Mellor, S.G. Burrow sur l'arbre de transmission les reliant. selon eux on pourrait atteindre jusqu'à 20kW par réacteur, ce qui devient intéressant pour les quadrimoteurs comme l'A380. 

Cette solution est peu utilisée, et seulement sur des avions de conception plus ancienne comme le Boeing 737 ou le Boeing 777 . La raison est simple, sur les bi moteurs nouvelle génération en plus des systèmes d'actionneurs il faut alimenter les ordinateurs de bord (calculateurs de commandes de vol) ce surcoût dépasse les capacité de puissance du windmilling.

De plus positionner un générateur (ou alternateur) supplémentaire sur l'arbre moteur comme sur l'A350 ne dispense pas d'avoir une RAT en plus. D'un point de vue réglementaire cette solution n'est pas validée en temps qu'alternative à l'éolienne de secours. Enfin on comprend que si l'intégrité du réacteur est atteinte lors de la panne on perd notre solution de secours.

 

 

 

Eolienne de Savonius confinée

Présentation

L'éolienne de Savonius est une éolienne transversale formée d'au moins deux godets de forme diverse (hémicylindrique, hélicoïdaux...) et fonctionnant grâce à la force de traînée. L'écoulement vient impacter les godets qui tournent, entraînant un alternateur ou un générateur. Conçue en 1929 elles sont souvent utilisées dans les milieux urbains ou l'espace se fait rare car elles possèdent une grande compacité comparées aux éoliennes axiales ou de Dahrreus. En écoulement libre elles ont l'avantage de pouvoir démarrer avec n'importe quelle vitesse de vent venant de n'importe qu'elle direction. Cependant elle sont connues pour leur faible rendement. Notre solution vise à tirer parti de leur grande compacité tout en cherchant à augmenter leur efficacité.

 

Schéma illustrant le principe de fonctionnement de l'éolienne

Mise en pratique

Notre solution consiste à placer à l'intérieur de l'appareil, par exemple à l'intérieur de la voilure, une éolienne de Savonius avec deux godets hémicylindriques (U.K Saha and al. conseille de conserver seulement deux godets, pour des raisons d'inertie de la structure). Cette éolienne est accessible depuis l'extérieur par un jeu de deux trappes qui lorsqu'elles s'ouvrent permettent à l'écoulement extérieur de s'engouffrer.

Les godets, à la différence du schéma ci dessus sont écartés et laissent passer un débit de fuite (voir partie de l'étude associée).

En plus de cela un convergent accélérant l'écoulement et par là même augmentant sa puissance est placé en amont en face du godet allant dans le sens de l'écoulement et ayant pour objectif d'atteindre Mach égal à un (voir partie dédiée).

De plus le col du convergent forme une marche avec le reste de l'installation empêchant l'écoulement d'impacter le godet remontant l'écoulement (voir partie dédiée).

Schémas du dispositif ouvert et fermé

Pour gagner de l'espace le convergent apparaît en fait lorsque la trappe s'ouvre. Ce système permet en plus de supprimer la délicate phase de déploiement. Il n'y a plus que 2 trappes qui s'ouvrent lors de la panne. Pour les ouvrir on peut penser que le saut de tension dans le circuit dû à la panne peut être suffisant pour déclencher un système d'ouverture par actionneur sur batteries (solution non aérodynamique).

Développement analytique et dimmensionnement préliminaire

Le diagramme ci-dessous montre la relation entre le rapport des vitesses $\lambda$ entre la vitesse de l'écoulement amont et la vitesse en bout de pale et le coefficient de puissance qui est le rapport entre la puissance récupérée sur l'arbre et la puissance de l'écoulement. On donc les définir de la manière suivante:

$C_p =\frac{P_{out}}{0.5 \rho V^3 HR}$

avec $\rho$ la masse volumique de l'air V la vitesse de l'écoulement H la hauteur de l'éolienne (dimension selon la direction z) et R le rayon, de telle sorte que HR soit la surface caractérisques du problème. 

$\lambda= \frac{\omega R}{V}$

avec $\omega$ la vitesse de rotation caractéristique du problème

Diagramme des performances des principaux types d'éoliennes (issu de [8])

En observant le diagramme on se rend compte que le rotor de savonius possède un point de fonctionnement optimal pour une vitesse en bout de pale inférieure à celle de la vitesse de l'écoulement. Cela va dans notre sens, puisque le convergent est censé porter l'écoulement à Mach égal à 1 . Cela signifie que l'on obtiendra le maximum de l'éolienne pour des pales dont la vitesse en bout est inférieure à la célérité du son, ce que l'éolienne axiale classique ne peut pas faire. Pour elle il faudrait que la vitesse en bout de pale soit 6 fois plus grande, ce qui poserait des problèmes de chocs. Donc l'éolienne de Savonius convient tout à fait à ce genre de dispositif.

Pour pouvoir faire un dimensionnement préliminaire on peut adapter les deux relations précédente en :

$R=\frac{P_out}{0.5 C_p \rho V^3} \frac{1}{H} $et

$\omega= \frac{\lambda V}{R}$

Si l'on se fie au diagramme, au point optimal le coefficient de puissance vaut 0.31 et le rapport des vitesse environ 0.6. Si de plus on suppose être à Mach égal à 1 la vitesse de l'écoulement est de l'ordre de 300 m/s et on peut prendre la densité de l'air aux alentours de 0.2 kg/m3 (le convergent effectue une grosse détente)

Grâce à ces relations et au jeu de paramètres précédents on peut dimensionner toute sorte d'installation pour plus ou moins de puissance.

graphiques de dimensionnement de l'éolienne rayon en fonction de la hauteur et vitesse de rotation en fonction de la hauteur pour différente puissance

On voit par exemple qu'une éolienne de rayon 0.5m et 0.2m de hauteur sans dépasser 3000 tr/min pour éviter les vibrations, est capable de fournir 70kW. Si l'on considère que les godets ont une épaisseur d'environ 1 centimètre et que l'éolienne est en acier. Alors elle ne pèsera pas plus de 100kg, ce qui est moins lourd que la RAT actuelle.  

discussion préliminaire

Ce design d'installation est toujours susceptible de changer. En effet la forme des godets n'est pas optimale. On se rend compte assez vite que le moment élémentaire en bout de godet est nul (surface orientée colinéaire avec le bras de levier). On perd donc l'endroit ou le bras de levier était le plus grand. C'est pour cela qui nous avons pensé peut être recourber les godet en bout tout en gardant leur rayon pour profiter d'une part du moment élémentaire et d'autre part permettre de toujours avoir une surface apparente non nulle. 

Comme le montre les développement des parties annexes ces calculs donne une idée mais en réalité il y a beaucoup plus de paramètre à prendre en compte pour dimensionner efficacement ce dispositif.

 

 

Intérêts de la fuite

L'ajout d'un débit de fuite  $\dot{m_{leak}}$ a pour objectif d'augmenter le moment exercé sur l'axe de rotation de l'éolienne. En effet si l'on regarde le schéma si dessous on se rend compte que ce débit de fuite change deux fois de sens en conservant  la même direction, si dans un premier temps on suppose que ce débit conserve une vitesse constante (hypothèse faite simplement pour illustrer l'effet du changement de sens)au cours de sa traversée de l'éolienne on trouve qu'il exerce une poussée de :

$ F=V_{leak} \dot{m_{leak}} $

selon x pour le godet du bas (éjection du fluide selon -x) et selon -x pour le godet du haut (éjection selon x) si l'on suppose que cette force s'applique sur le centre de poussée sur chaque godet on remarque que le moment exercé par ces forces sur l'axe de rotation est positif et vaut

$M_{oz}=2V_{leak}\dot{m_{leak}} d_{centre poussee}$ 

On voit qu'un élément va être déterminant, c'est l'ouverture $e$ de la fuite, la distance entre le bout des deux godets. En effet  si ce dernier devient grand le débit de fuite va devenir grand mais la vitesse d'éjection va diminuer. La littérature s'accorde à dire que $e= \frac{1}{6}R$ avec R le rayon de l'éolienne (et pas le rayon des godets) est un choix judicieux. 

 

schéma de la fuite

 

Dans la réalité cette hypothèse ne tient pas vraiment, la vitesse varie fortement selon la position de l'éolienne, selon sa vitesse de rotation et selon la nature de l'écoulement rencontré.

Intérêts de l'obstruction

Les éoliennes de Savonius sont réputées avoir un faible rendement. Une des raisons est que lorsqu'elles sont plongées dans l'écoulement les deux godets qui la composent  sont simultanément impactés par cet écoulement. Cela génère deux moments de sens opposés sur l'axe de rotation.

Placer un obstacle devant le godet remontant a pour but d'annihiler  cet effet.                

 

 

 

 

 

 

 

Cependant placer cet élément en amont de l'éolienne fait que la section offerte à l'écoulement est variable en fonction du temps. Cela signifie de fait que la distribution du coefficient de pression est variable au cours du temps  et donc le couple exercé sur l'axe de rotation est variable lui aussi. Du coup si l'on fait un bilan d'énergie sur notre éolienne on obtient :

$ \frac{d E_c}{dt}= -P_{out} +C \omega $ avec C le couple $\omega$ la vitesse de rotation et Pout la puissance voulue sur l'arbre (pour alimenter l'appareil). Comme nous l'avons vu pour la roue à inertie on a

$E_c=J_{\Delta} \omega^2$  avec $J_{\Delta} $ le moment d'inertie d'ou:

$ J_{\Delta}\frac{d  \omega^2}{dt}= -P_{out} +C \omega $ on voit alors qu'une variation dans le couple entrâine directement une variation de la vitesse de rotation si l'on veut que la puissance sur l'arbre reste constante. Cela signifie qu'au cours d'une révolution l'éolienne va tour à tour accélérer, ralentir, accélérer...

Cela va impliquer des vibrations et des pertes énergétiques. Afin de contrer ce nouveau problème l'introduction d'un supercondensateur en opposition de phase avec cette oscillation pourrait être envisageable.

 

 

 

 

 

Intérêts du convergent

Comme dit précédemment l'objectif du positionnement du convergent  en amont de l'éolienne sert à augmenter la puissance de l'écoulement avant qu'il ne l'atteigne, améliorant ainsi les capacité du dispositif. 

Nous allons à présent essayer de quantifier l'apport de cet élément à l'installation elle même en terme de puissance.

La puissance d'un écoulement de masse volumique $\rho $ de vitesse uniforme U traversant une section de surface A peut s'écrire sous la forme :

$P= \frac{1}{2} \rho U^3 A$  (1)

On va se placer dans la géométrie suivante et supposer l'écoulement isentropique adiabatique et compressible, ce qui n'est pas éloigné de la réalité étant donnée la configuration adoptée.

Le but va donc être de déterminer le rapport des puissances entre les états 1 et 2.

Pour cela nous allons introduire le nombre de Mach  $M= \frac{U}{c}$ avec c la célérité du son s'exprimant comme  $c= \sqrt{ \gamma r T} $  avec T la température de l'écoulement.

Le fluide que nous étudions est évidemment l'air que nous allons considérer comme étant un gaz parfait, les tables thermodynamiques nous donnent donc:

$ \gamma = 1.4 $

$ r=287 m^{2} s^{-2} K^{-1} $

La loi des aires dans la théorie des écoulements compressibles nous permet de lier les grandeurs (P, $\rho $ , T) locales à une section donnée de la géométrie avec des grandeurs virtuelles, dîtes grandeurs d'arrêt, qui correspondent à l'état thermodynamique dans lequel serait le fluide si jamais il rencontrait un point d'arrêt (un obstacle).  Cette relation se fait par l'intermédiaire du nombre de Mach et du coefficient adiabatique $ \gamma $ . Les grandeurs d'arrêt seront par la suite notée Xo .

Ces relations sont donc :

                        $ \frac {T_{o}}{T}=1+\frac {(\gamma-1)}{2} M^2 $  (2a)

                        $ \frac {p_{o}}{p}=(1+\frac {(\gamma-1)}{2} M^2 )^{\frac{\gamma}{\gamma -1}}$ (2b)

                        $ \frac {\rho_{o}}{\rho}=(1+\frac {(\gamma-1)}{2} M^2 )^{\frac{1}{\gamma -1}}$ (2c)

Si l'on veut que l'écoulement ait une puissance maximale dans l'état 2 il faut que celui ci soit sonique. C'est à dire que la vitesse de l'écoulement au col du divergent doit être égale à la célérité du son à cette même section, forçant ainsi M=1. 

Cette condition est nécessaire puisque dans un divergent, si la vitesse de l'écoulement vient à dépasser celle du son, un choc droit se forme faisant repasser l'écoulement dans le régime subsonique. Ainsi lorsque cela vient à se produire avant le col, le fluide, dû au rétrécissement de section va de nouveau accélérer pour se rapprocher de M=1 . On comprends ainsi que l'on ne peut s'éloigner de cette limite et que l'on va osciller autour. 

La présence de chocs implique la création locale d'entropie et donc de perte énergétique. Afin de les éviter et de conserver l'hypothèse d'un écoulement isentropique nous allons considérer que l'écoulement ne devient sonique qu'au col. 

Nous avons donc $M_2=1$.

Si l'on écrit la conservation de la masse entre l'état 1 et 2 (entrée/col) on obtient

$\rho_1 U_1 A_1 =\rho_2 U_2 A_2$

ce qui conduit à écrire le rapport des puissance grâce à la relation (1) $\tau = \frac{P_2}{P_1} $ :

$ \tau = \frac{U_2^2}{U_1^2}$  avec l'expression du nombre de Mach ce rapport devient:

$ \tau = \frac{M_2^2 c_2^2}{M_1^2 c_1^2}$ or $M_2=1$ D'après l'expression de la célérité du son :

$ \tau = \frac{ T_2} {M_1^2 T_1} $  En manipulant un peu on peut transformer cette expression de la manière suivante:

$\tau = \frac{\frac{T_o}{T_1}}{M_1^2 \frac{T_o}{T_2}}$ Ce qui conduit, en remplaçant $ \frac{T_o}{T_{1,2}}$ par l'expression donnée par (2a) et toujours en gardant en tête que $M_2=1$  à l'expression suivante :

  $\tau = \frac{2+(\gamma-1)M_1^2}{(\gamma+1) M_1^2} $ (3)

On remarque que $ \tau $  ne dépend que de la nature du gaz ainsi que du nombre de Mach de la section d'entrée, si on le trace pour un intervalle de nombre de mach de compris entre 0.1  et 0.9, typique du domaine rencontré par les avions civils on obtient:

  

On constate immédiatement que plus l'on se situe à Mach faible plus le gain en puissance devient grand. Par exemple pour un nombre de Mach de 0.85 (vitesse de croisière) le gain n'est que de 1.32, par contre pour l'atterrissage où l'on si situe plutôt autour de Mach 0.2 on a un gain de 21 ce qui est considérable.

Comme dit précédemment c'est à l'atterrissage que l'on a les plus gros pics de stress énergétique mais c'est aussi à l'atterrissage que l'écoulement est naturellement le moins puissant. Dimensionner le convergent pour que durant cette phase l'on soit assuré d'avoir Mach=1 permettrait de réduire la taille de l'installation

Pour ce faire il suffit d'utiliser la loi des aires qui exprime le rapport des sections de col et d'entrée en fonction du nombre de Mach d'entrée pour peu que l'on soit sonique au col en conservant un écoulement isentropique:

$ \frac{A_1}{A_2}  = \frac {1}{M_1} ( \frac{2}{(\gamma +1)}(1+\frac{\gamma-1}{2} M_1^2) ^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$ (4)

Si l'on prend Mach=0.2 ce qui est réaliste pour un atterrissage (70 m/s avec une célérité de 330m/s) on obtient un rapport d'air de 3 . Ce qui signifie de l'aire d'entrée doit être 3 fois plus grande que l'aire du col pour pouvoir assuré d'avoir Mach 1 au col à l'atterrissage. Cette relation sera utile dans une autre partie lorsque l'on aura déterminer les dimensions de l'éolienne.

Par contre dimensionner le convergent pour l'atterrissage implique de générer des chocs droits pour des nombres de Mach d'entrée plus grands car le régime sonique sera atteint plus en amont dans le convergent, nous discuterons des conséquences dans une autre partie.