Eolienne de Savonius confinée

Présentation

L'éolienne de Savonius est une éolienne transversale formée d'au moins deux godets de forme diverse (hémicylindrique, hélicoïdaux...) et fonctionnant grâce à la force de traînée. L'écoulement vient impacter les godets qui tournent, entraînant un alternateur ou un générateur. Conçue en 1929 elles sont souvent utilisées dans les milieux urbains ou l'espace se fait rare car elles possèdent une grande compacité comparées aux éoliennes axiales ou de Dahrreus. En écoulement libre elles ont l'avantage de pouvoir démarrer avec n'importe quelle vitesse de vent venant de n'importe qu'elle direction. Cependant elle sont connues pour leur faible rendement. Notre solution vise à tirer parti de leur grande compacité tout en cherchant à augmenter leur efficacité.

 

Schéma illustrant le principe de fonctionnement de l'éolienne

Mise en pratique

Notre solution consiste à placer à l'intérieur de l'appareil, par exemple à l'intérieur de la voilure, une éolienne de Savonius avec deux godets hémicylindriques (U.K Saha and al. conseille de conserver seulement deux godets, pour des raisons d'inertie de la structure). Cette éolienne est accessible depuis l'extérieur par un jeu de deux trappes qui lorsqu'elles s'ouvrent permettent à l'écoulement extérieur de s'engouffrer.

Les godets, à la différence du schéma ci dessus sont écartés et laissent passer un débit de fuite (voir partie de l'étude associée).

En plus de cela un convergent accélérant l'écoulement et par là même augmentant sa puissance est placé en amont en face du godet allant dans le sens de l'écoulement et ayant pour objectif d'atteindre Mach égal à un (voir partie dédiée).

De plus le col du convergent forme une marche avec le reste de l'installation empêchant l'écoulement d'impacter le godet remontant l'écoulement (voir partie dédiée).

Schémas du dispositif ouvert et fermé

Pour gagner de l'espace le convergent apparaît en fait lorsque la trappe s'ouvre. Ce système permet en plus de supprimer la délicate phase de déploiement. Il n'y a plus que 2 trappes qui s'ouvrent lors de la panne. Pour les ouvrir on peut penser que le saut de tension dans le circuit dû à la panne peut être suffisant pour déclencher un système d'ouverture par actionneur sur batteries (solution non aérodynamique).

Développement analytique et dimmensionnement préliminaire

Le diagramme ci-dessous montre la relation entre le rapport des vitesses $\lambda$ entre la vitesse de l'écoulement amont et la vitesse en bout de pale et le coefficient de puissance qui est le rapport entre la puissance récupérée sur l'arbre et la puissance de l'écoulement. On donc les définir de la manière suivante:

$C_p =\frac{P_{out}}{0.5 \rho V^3 HR}$

avec $\rho$ la masse volumique de l'air V la vitesse de l'écoulement H la hauteur de l'éolienne (dimension selon la direction z) et R le rayon, de telle sorte que HR soit la surface caractérisques du problème. 

$\lambda= \frac{\omega R}{V}$

avec $\omega$ la vitesse de rotation caractéristique du problème

Diagramme des performances des principaux types d'éoliennes (issu de [8])

En observant le diagramme on se rend compte que le rotor de savonius possède un point de fonctionnement optimal pour une vitesse en bout de pale inférieure à celle de la vitesse de l'écoulement. Cela va dans notre sens, puisque le convergent est censé porter l'écoulement à Mach égal à 1 . Cela signifie que l'on obtiendra le maximum de l'éolienne pour des pales dont la vitesse en bout est inférieure à la célérité du son, ce que l'éolienne axiale classique ne peut pas faire. Pour elle il faudrait que la vitesse en bout de pale soit 6 fois plus grande, ce qui poserait des problèmes de chocs. Donc l'éolienne de Savonius convient tout à fait à ce genre de dispositif.

Pour pouvoir faire un dimensionnement préliminaire on peut adapter les deux relations précédente en :

$R=\frac{P_out}{0.5 C_p \rho V^3} \frac{1}{H} $et

$\omega= \frac{\lambda V}{R}$

Si l'on se fie au diagramme, au point optimal le coefficient de puissance vaut 0.31 et le rapport des vitesse environ 0.6. Si de plus on suppose être à Mach égal à 1 la vitesse de l'écoulement est de l'ordre de 300 m/s et on peut prendre la densité de l'air aux alentours de 0.2 kg/m3 (le convergent effectue une grosse détente)

Grâce à ces relations et au jeu de paramètres précédents on peut dimensionner toute sorte d'installation pour plus ou moins de puissance.

graphiques de dimensionnement de l'éolienne rayon en fonction de la hauteur et vitesse de rotation en fonction de la hauteur pour différente puissance

On voit par exemple qu'une éolienne de rayon 0.5m et 0.2m de hauteur sans dépasser 3000 tr/min pour éviter les vibrations, est capable de fournir 70kW. Si l'on considère que les godets ont une épaisseur d'environ 1 centimètre et que l'éolienne est en acier. Alors elle ne pèsera pas plus de 100kg, ce qui est moins lourd que la RAT actuelle.  

discussion préliminaire

Ce design d'installation est toujours susceptible de changer. En effet la forme des godets n'est pas optimale. On se rend compte assez vite que le moment élémentaire en bout de godet est nul (surface orientée colinéaire avec le bras de levier). On perd donc l'endroit ou le bras de levier était le plus grand. C'est pour cela qui nous avons pensé peut être recourber les godet en bout tout en gardant leur rayon pour profiter d'une part du moment élémentaire et d'autre part permettre de toujours avoir une surface apparente non nulle. 

Comme le montre les développement des parties annexes ces calculs donne une idée mais en réalité il y a beaucoup plus de paramètre à prendre en compte pour dimensionner efficacement ce dispositif.

 

 

Intérêts de la fuite

L'ajout d'un débit de fuite  $\dot{m_{leak}}$ a pour objectif d'augmenter le moment exercé sur l'axe de rotation de l'éolienne. En effet si l'on regarde le schéma si dessous on se rend compte que ce débit de fuite change deux fois de sens en conservant  la même direction, si dans un premier temps on suppose que ce débit conserve une vitesse constante (hypothèse faite simplement pour illustrer l'effet du changement de sens)au cours de sa traversée de l'éolienne on trouve qu'il exerce une poussée de :

$ F=V_{leak} \dot{m_{leak}} $

selon x pour le godet du bas (éjection du fluide selon -x) et selon -x pour le godet du haut (éjection selon x) si l'on suppose que cette force s'applique sur le centre de poussée sur chaque godet on remarque que le moment exercé par ces forces sur l'axe de rotation est positif et vaut

$M_{oz}=2V_{leak}\dot{m_{leak}} d_{centre poussee}$ 

On voit qu'un élément va être déterminant, c'est l'ouverture $e$ de la fuite, la distance entre le bout des deux godets. En effet  si ce dernier devient grand le débit de fuite va devenir grand mais la vitesse d'éjection va diminuer. La littérature s'accorde à dire que $e= \frac{1}{6}R$ avec R le rayon de l'éolienne (et pas le rayon des godets) est un choix judicieux. 

 

schéma de la fuite

 

Dans la réalité cette hypothèse ne tient pas vraiment, la vitesse varie fortement selon la position de l'éolienne, selon sa vitesse de rotation et selon la nature de l'écoulement rencontré.

Intérêts de l'obstruction

Les éoliennes de Savonius sont réputées avoir un faible rendement. Une des raisons est que lorsqu'elles sont plongées dans l'écoulement les deux godets qui la composent  sont simultanément impactés par cet écoulement. Cela génère deux moments de sens opposés sur l'axe de rotation.

Placer un obstacle devant le godet remontant a pour but d'annihiler  cet effet.                

 

 

 

 

 

 

 

Cependant placer cet élément en amont de l'éolienne fait que la section offerte à l'écoulement est variable en fonction du temps. Cela signifie de fait que la distribution du coefficient de pression est variable au cours du temps  et donc le couple exercé sur l'axe de rotation est variable lui aussi. Du coup si l'on fait un bilan d'énergie sur notre éolienne on obtient :

$ \frac{d E_c}{dt}= -P_{out} +C \omega $ avec C le couple $\omega$ la vitesse de rotation et Pout la puissance voulue sur l'arbre (pour alimenter l'appareil). Comme nous l'avons vu pour la roue à inertie on a

$E_c=J_{\Delta} \omega^2$  avec $J_{\Delta} $ le moment d'inertie d'ou:

$ J_{\Delta}\frac{d  \omega^2}{dt}= -P_{out} +C \omega $ on voit alors qu'une variation dans le couple entrâine directement une variation de la vitesse de rotation si l'on veut que la puissance sur l'arbre reste constante. Cela signifie qu'au cours d'une révolution l'éolienne va tour à tour accélérer, ralentir, accélérer...

Cela va impliquer des vibrations et des pertes énergétiques. Afin de contrer ce nouveau problème l'introduction d'un supercondensateur en opposition de phase avec cette oscillation pourrait être envisageable.

 

 

 

 

 

Intérêts du convergent

Comme dit précédemment l'objectif du positionnement du convergent  en amont de l'éolienne sert à augmenter la puissance de l'écoulement avant qu'il ne l'atteigne, améliorant ainsi les capacité du dispositif. 

Nous allons à présent essayer de quantifier l'apport de cet élément à l'installation elle même en terme de puissance.

La puissance d'un écoulement de masse volumique $\rho $ de vitesse uniforme U traversant une section de surface A peut s'écrire sous la forme :

$P= \frac{1}{2} \rho U^3 A$  (1)

On va se placer dans la géométrie suivante et supposer l'écoulement isentropique adiabatique et compressible, ce qui n'est pas éloigné de la réalité étant donnée la configuration adoptée.

Le but va donc être de déterminer le rapport des puissances entre les états 1 et 2.

Pour cela nous allons introduire le nombre de Mach  $M= \frac{U}{c}$ avec c la célérité du son s'exprimant comme  $c= \sqrt{ \gamma r T} $  avec T la température de l'écoulement.

Le fluide que nous étudions est évidemment l'air que nous allons considérer comme étant un gaz parfait, les tables thermodynamiques nous donnent donc:

$ \gamma = 1.4 $

$ r=287 m^{2} s^{-2} K^{-1} $

La loi des aires dans la théorie des écoulements compressibles nous permet de lier les grandeurs (P, $\rho $ , T) locales à une section donnée de la géométrie avec des grandeurs virtuelles, dîtes grandeurs d'arrêt, qui correspondent à l'état thermodynamique dans lequel serait le fluide si jamais il rencontrait un point d'arrêt (un obstacle).  Cette relation se fait par l'intermédiaire du nombre de Mach et du coefficient adiabatique $ \gamma $ . Les grandeurs d'arrêt seront par la suite notée Xo .

Ces relations sont donc :

                        $ \frac {T_{o}}{T}=1+\frac {(\gamma-1)}{2} M^2 $  (2a)

                        $ \frac {p_{o}}{p}=(1+\frac {(\gamma-1)}{2} M^2 )^{\frac{\gamma}{\gamma -1}}$ (2b)

                        $ \frac {\rho_{o}}{\rho}=(1+\frac {(\gamma-1)}{2} M^2 )^{\frac{1}{\gamma -1}}$ (2c)

Si l'on veut que l'écoulement ait une puissance maximale dans l'état 2 il faut que celui ci soit sonique. C'est à dire que la vitesse de l'écoulement au col du divergent doit être égale à la célérité du son à cette même section, forçant ainsi M=1. 

Cette condition est nécessaire puisque dans un divergent, si la vitesse de l'écoulement vient à dépasser celle du son, un choc droit se forme faisant repasser l'écoulement dans le régime subsonique. Ainsi lorsque cela vient à se produire avant le col, le fluide, dû au rétrécissement de section va de nouveau accélérer pour se rapprocher de M=1 . On comprends ainsi que l'on ne peut s'éloigner de cette limite et que l'on va osciller autour. 

La présence de chocs implique la création locale d'entropie et donc de perte énergétique. Afin de les éviter et de conserver l'hypothèse d'un écoulement isentropique nous allons considérer que l'écoulement ne devient sonique qu'au col. 

Nous avons donc $M_2=1$.

Si l'on écrit la conservation de la masse entre l'état 1 et 2 (entrée/col) on obtient

$\rho_1 U_1 A_1 =\rho_2 U_2 A_2$

ce qui conduit à écrire le rapport des puissance grâce à la relation (1) $\tau = \frac{P_2}{P_1} $ :

$ \tau = \frac{U_2^2}{U_1^2}$  avec l'expression du nombre de Mach ce rapport devient:

$ \tau = \frac{M_2^2 c_2^2}{M_1^2 c_1^2}$ or $M_2=1$ D'après l'expression de la célérité du son :

$ \tau = \frac{ T_2} {M_1^2 T_1} $  En manipulant un peu on peut transformer cette expression de la manière suivante:

$\tau = \frac{\frac{T_o}{T_1}}{M_1^2 \frac{T_o}{T_2}}$ Ce qui conduit, en remplaçant $ \frac{T_o}{T_{1,2}}$ par l'expression donnée par (2a) et toujours en gardant en tête que $M_2=1$  à l'expression suivante :

  $\tau = \frac{2+(\gamma-1)M_1^2}{(\gamma+1) M_1^2} $ (3)

On remarque que $ \tau $  ne dépend que de la nature du gaz ainsi que du nombre de Mach de la section d'entrée, si on le trace pour un intervalle de nombre de mach de compris entre 0.1  et 0.9, typique du domaine rencontré par les avions civils on obtient:

  

On constate immédiatement que plus l'on se situe à Mach faible plus le gain en puissance devient grand. Par exemple pour un nombre de Mach de 0.85 (vitesse de croisière) le gain n'est que de 1.32, par contre pour l'atterrissage où l'on si situe plutôt autour de Mach 0.2 on a un gain de 21 ce qui est considérable.

Comme dit précédemment c'est à l'atterrissage que l'on a les plus gros pics de stress énergétique mais c'est aussi à l'atterrissage que l'écoulement est naturellement le moins puissant. Dimensionner le convergent pour que durant cette phase l'on soit assuré d'avoir Mach=1 permettrait de réduire la taille de l'installation

Pour ce faire il suffit d'utiliser la loi des aires qui exprime le rapport des sections de col et d'entrée en fonction du nombre de Mach d'entrée pour peu que l'on soit sonique au col en conservant un écoulement isentropique:

$ \frac{A_1}{A_2}  = \frac {1}{M_1} ( \frac{2}{(\gamma +1)}(1+\frac{\gamma-1}{2} M_1^2) ^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$ (4)

Si l'on prend Mach=0.2 ce qui est réaliste pour un atterrissage (70 m/s avec une célérité de 330m/s) on obtient un rapport d'air de 3 . Ce qui signifie de l'aire d'entrée doit être 3 fois plus grande que l'aire du col pour pouvoir assuré d'avoir Mach 1 au col à l'atterrissage. Cette relation sera utile dans une autre partie lorsque l'on aura déterminer les dimensions de l'éolienne.

Par contre dimensionner le convergent pour l'atterrissage implique de générer des chocs droits pour des nombres de Mach d'entrée plus grands car le régime sonique sera atteint plus en amont dans le convergent, nous discuterons des conséquences dans une autre partie.