Profil liquide-fluide : y(x)

La forme de la goutte est gouvernée par l'équation de Laplace : $$ \Delta P = \underbrace{P_L}_\text{Pression du liquide} - \underbrace{P_F}_\text{Pression du fluide} = \sigma_{LF}(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}) $$ Avec $R_1$ et $R_2$ les rayons de courbure de l'interface.

Sur l'interface, la pression s'exprime grâce à $ P_i  = P_{i0} +\rho_i g \left[ H(t) - y(x) \right] $, où i = l ou f pour le liquide ou le fluide respectivement, $P_{i0}$ la pression de référence, $H(t)$ la hauteur du sommet de la goutte et $y(x)$ la forme de l'interface. La différence de pression peut être déterminée au point $x=0$ et $y=H(t)$ à chaque instant. On a alors  $ \Delta P_0 = P_{l0} - P_{f0} = \frac{ 2 \gamma_{lf}}{R_0 (t)} $, où $R_0(t)$ est le rayon de courbure au sommet de la goutte ( toujours positif dans notre cas).

En substituant les formules des pressions dans l'équation précédente, et en remplaçant les rayons de courbure par leur valeur, on obtient : $$ \frac{ \pm \frac{d^2 y}{dx^2} }{ \left[ 1 + (\frac{dy}{dx})^2 \right]^{\frac{3}{2} } } + \frac{ \pm \frac{dy}{dx} }{x \left[1 + (\frac{dy}{dx})^2 \right]^{\frac{1}{2}} } = \frac{2}{R_0 (t) } + \frac{ \Delta \rho g }{\gamma_{lf} } \left[ H(t) - y(x) \right] $$.

Il faut faire attention aux $ \pm $ pour pouvoir obtenir le profil, en effet, les signes vont changer selon que l'on est sur la partie inférieure ou supérieure de la goutte lorsque l'angle de contact est supérieur à 90° (soit au début de la propagation). Cette équation est une équation du deuxième degré et nécessite donc deux conditions limites :

$$
    \left \{
    \begin{array}{ll}
    y(x=0) = H(t) \\
    \frac{dy}{dx} (x=0) =0
    \end{array}
    \right.
$$

Cette équation doit être transformée en deux équations différentielles du premier ordre, en posant $y_1 = y$ et $ y_2 = \frac{dy}{dx} $.

L'équation devient alors:

$$
    \left \{
    \begin{array}{ll}
    \frac{dy_1}{dx} = y_2 \\
    \frac{dy_2}{dx} = \left[ \frac{\Delta \rho g}{ \gamma_{lf} } (H(t) - y_1 ) + \frac{2}{R_0} - \frac{y_2}{x \sqrt{1 + y_2^2} } \right] * (1+y_2^2 )^{\frac{3}{2}}
    \end{array}
    \right.
$$

Avec les conditions limites suivantes :

$$
    \left \{
    \begin{array}{ll}
    y_1(x=0) = H(t) \\
    y_2 (x=0) =0
    \end{array}
    \right.
$$.

 

Pour résoudre cette équation, on a besoin de $H(t)$ et de $R_0(t)$ . Une fois qu'un des 2 est connu, l'autre se déduit par la conservation du volume ( $ V_1 = \int_0^{H(t)} L x dy = cst $ ).

Une fois que le profil est connu, l'angle de contact est déterminé avec :

$$
    \frac{dy}{dx} (x=R(t)) = \left \{
    \begin{array}{ll}
   \tan[180 - \theta_d (t) ] \text{ si } \frac{dy}{dx} (x=R) > 0 \\
   - \tan[\theta_d (t) ] \text{ si } \frac{dy}{dx} (x=R) \leq 0
    \end{array}
    \right.
$$