Résolution numérique

Pour la résolution numérique, on va coder les équations obtenues précédemment avec Matlab afin de les résoudre et de déterminer R,H et $\theta$ à chaque instant en se basant sur la procédure numérique expliquée précédemment.

On code dans un premier temps l'initialisation de la goutte avant de coder la résolution à chaque instant.

Initialisation de la goutte

Pour l'initialisation de la goutte, on utilise l'équation trouvée grâce à l'équation de Laplace afin de trouver le profil $y(x)$ initial de la goutte. A cause des $\pm$ on sépare le calcul de la goutte en quatre parties :

                                       

Du fait de la symétrie de la goutte, on calcule uniquement la partie 1 et la partie 4, puis par symétrie, la forme globale de la goutte est déduite.

L'initialisation de la goutte se passe très bien. Le système d'équation du premier ordre est résolu avec la fonction ode45 de Matlab. La goutte initiale calculée par Matlab est donnée sur la figure suivante :

              

Figure : Goutte initiale, résolue mathématiquement

Ainsi, le système d'équation du premier ordre issu de l'équation de Laplace de la capillarité est bien résolu par Matlab puisqu'on retrouve bien une goutte initiale d'un rayon de 0.02 cm.

Boucle temporelle

Après avoir vérifié que le système d'équation du premier ordre pour la détermination du profil liquide-fluide est bien résolu grâce à l'initialisation de la goutte, on s'occupe désormais de la résolution de la première équation issue de l'équilibre énergétique.

Afin de résoudre la première équation, obtenue par le bilan d'énergie, on la discrétise en temps et en espace. On résout comme pour la goutte initiale, la partie inférieure et la partie supérieure. Le comportement de chaque partie se passe plutôt bien, le seul problème vient du raccordement entre les deux parties, qui ne se fait pas, comme on peut le constater sur la figure suivante.

                    

C'est donc ici que se situe la difficulté qui ne nous permet pas d'avoir une solution analytique du mouillage d'une goutte de forme "cylindrique" (en 2,5 D).

Le profil liquide-fluide n'ayant pas pu être déterminé, il n'est pas possible de mettre en place la suite de la procédure numérique.