Intéraction choc/couche limite et tremblement

 
Modélisation de l'intéraction choc/couche
 
limite et phénomène de tremblement sur
 
 un profil laminaire transsonique.

Champ de mach

EDWIGE Stéphie • LOUPY Gaëtan

 

Encadré par BRAZA Mariana​ & GROSSI Fernando

 


Introduction

Jusqu'aux années 60, la vitesse des avions n'a cessé d'augmenter jusqu'à ce qu'on atteigne des célérités proches de la vitesse du son. Les aérodynamiciens ont été confrontés à des problèmes dus à l'apparition de chocs au niveau de l'aile. Ainsi l'enveloppe de vol des avions d'aujourd'hui est limité principalement par :

Plusieurs stratégies ont été mises au point afin de s'affranchir de ces limites. Les profils supercritiques ont donc été développés pour retarder l'apparition de la traînée de choc. Plus récemment, les profils laminaires sont encore en cours de développement afin de maintenir une couche limite laminaire la plus étendue possible.

Le Bureau d'Etude Industriel présenté ici, s'inscrit dans le cadre du programme européen TFAST (Transition location effects on Shock Wave Boundary Layer Interaction). Le sujet propose d'étudier les liens qui existent entre les instabilités aérodynamiques qui interviennent en régime transsonique et de déterminer l'influence de l'état de la couche limite sur ceux-ci. Le but final est de réduire la traînée afin de réduire la consommation de carburant tout en maximisant l'enveloppe de vol. 

En pratique cela se traduit par la mise en évidence du phénomène de tremblement sur un profil spécifique (transsonique et laminaire proposé par Dassault, coordonnateur du cas-test.). Les variables considérées pour cela sont l'angle d'attaque, la vitesse et le type de couche limite. Le but est de déterminer les configurations critiques où le tremblement se déclenche, puis de rechercher des corrélations avec les phénomènes qui entrent en jeux (Décollement de la couche limite, intéractions, état de la couche limite, etc...). Les résultats numériques obtenus au cours de ce BEI seront validés par comparaison aux résultats expérimentaux qui seront réalisés au cours de l'année 2013. 

Les principaux paramètres de cette étude sont :

 

Théorie générale

Le tremblement est la réponse d'une structure à un écoulement fortement instationnaire. Il existe donc plusieurs type de tremblements qui dépendent de l'origine des fluctuations de pression:

Tourbillons liés à l'apparition du tremblement et lignes de courant​ - (Calcul elsA par Vincent Brunet - DAAP)​ - Source

Dans cette étude nous étudions uniquement le tremblement transsonique qui sera appelé tremblement par abus. Cette partie va décrire les phénomènes physiques que l'on cherche à caractériser et leur interaction dans le phénomène de tremblement.

Le problème est simplifié en prenant un problème 2D avec une aile indéformable.

Profils transsoniques et laminaires

Dassault travaille activement sur la conception de profils à la fois transsoniques et laminaires. Le but de ces profils est de maximiser la finesse aérodynamique qui est défini comme :

\begin{eqnarray}
f=max\left(\frac{C_L}{C_D}\right)
\end{eqnarray}

La traînée aérodynamique peut être décomposée en trois parties importantes :

  • La traînée de forme (ou de pression)
  • La traînée de peau (ou visqueuse)
  • La traînée d'onde (due aux chocs)

Le régime d'écoulement se défini à partir du nombre de Mach défini comme :

\begin{eqnarray}
M=\frac{U}{a} \\
avec \; a=\sqrt{\gamma rT}
\end{eqnarray}

Afin d'avoir une portance, une survitesse doit s'établir à l'extrados du profil. Donc, pour un écoulement incident avec une vitesse proche de la vitesse du son, un bulbe supersonique peut se créer à l'extrodos. Ce phénomène se produit au Mach critique $M_c$.

Bulbe supersonique sur le profil V2C - M0.70 et $\alpha=0°$

Le vol transsonique est donc un problème complexe. En effet il fait intervenir et interagir de nombreux phénomènes tels que :

  • Les chocs
  • Les couches limites
  • Les écoulements subsoniques
  • Les écoulements supersoniques
  • Les décollements de couche limite
  • Les sillages

Différentes zones en interaction autour d'un profil transsonique - Stanewsky [3]

Ce bulbe supersonique peut provoquer un choc, or un  choc dissipe de l'énergie et provoque la traînée d'onde. Il convient donc soit d'éviter que le choc survienne, soit de réduire son intensité. Jusqu'aux année 60, les aérodynamiciens ont cherché à augmenter le Mach critique en créant des profils de plus en plus fins avec des extrados beaucoup moins bombé que les profils classiques, mais ils ont été confrontés à des problèmes de solidité de la structure et de stockage de carburant.

Coefficient de traînée en fonction du Mach pour un profil effilé - Source

Pour garder de bonnes propriétés structurales, les profils supercritiques ont été développés pour garder des faibles nombres de mach supersoniques dans le bulbe. Cette stratégie joue sur le Mach de divergence $M_{div}$ qui correspond au point ou la traînée d'onde commence à diverger. Le design d'un profil supercritique revient à déplacer $M_{div}$ vers 1. Ainsi le choc est plus faible et se retrouve plus en aval du profil.

La traînée de peau peut aussi être très influencée par le design du profil. Il s'agit du design de profils laminaires, il consiste à garder une couche limite laminaire la plus grande possible. En effet contrairement au cas du cylindre, la traînée de peau est plus importante que la traînée de pression pour un profil effilé. Or la viscosité peut se décomposer en deux parties distinctes :

\begin{eqnarray}
\mu=\mu_l+\mu_t
\end{eqnarray}

Ou $\mu_l$ est la vicosité du fluide et $\mu_t$ la viscosité turbulente. Donc, la traînée de peau sera plus importante sur un profil normal que sur un profil laminaire. Sur les profils classiques la zone laminaire représente est quasiment inexistante. Ainsi, un profil sera considéré laminaire si la zone laminaire dépasse 10% de la corde.

Cette étude va se concentrer sur le profil V2C de Dassault qui à été conçu pour être la la fois transsonique et laminaire.

 

Profil V2C de Dassault

Le décollement de couche limite

La couche limite est la zone de l'écoulement ou la vitesse passe de la vitesse extérieure à une vitesse nulle. Dans la couche limite, les vitesses tengentielles à la paroi sont supposées  grandes devants les vitesses normales.

Cette zone peut se décoller de la paroi. Le point de décollement de couche limite est défini comme le point ou le frottement s'annule. En effet en amont du point de décollement le frottement est positif et en aval il est négatif.

Dans notre cas le décollement est dû à deux phénomènes :

  • La géométrie, du profil convexe à l'extrados (décollement intertiel)
  • Le gradient de pression adverse dû au choc

L'apparition du gradient de pression adverse fait apparaître deux points d'inflexion dans la couche limite, ce qui déstabilise la couche limite qui se décolle. Cela met en évidence l'importance de l'intéraction entre le choc et la couche limite. Deux cas se distinguent :

  • La couche limite ne se décolle pas, le gradient de pression adverse n'est pas assez puissant.
  • La couche limite se décolle avec une gradient de pression adverse assez puissant.

Dans le cas sans décollement, l'écoulement est accéléré par la forme convexe de l'extrados jusqu'à arriver à une vitesse sonique au col puis supersonique après le col. Lorsque la géométrie du profil ne permet plus d'accélerer l'écoulement, il y a formation d'un choc droit à l'extrados. Le choc baisse graduellement en intensité dans la couche limite. La couche limite s'épaissit à cause le gradient de pression adverse mais ne décolle pas. Cela crée un convergent virtuel pour l'écoulement supersonique, ainsi il y a création d'ondes de choc oblique qui convergent vers le choc droit hors de la couche limite.

Visualisation interférométrique et schéma de l'intéraction choc/couche limite sans décollement - Délery [4]

Donc le choc se crée, ce qui influence la couche limite, ce qui modifie le choc par la suite. Cela explique le terme d'intéraction choc/couche limite.

Si il y a décollement, l'angle du convergeant virtuel est plus grand, ainsi les chocs obliques sont plus forts et et montent plus haut. Il y a donc création d'un choc en forme de Lambda. À travers le choc oblique la vitesse reste supersonique et elle devient subsonique à travers le choc droit. Il existe un point triple qui relie les trois chocs.

Visualisation interférométrique et schéma de l'intéraction choc/couche limite avec écollement - Délery [4]

La nature de la couche limite a une grande importance dans le phénomène de décollement. Les couches limites turbulentes ont une plus grande intertie que les couches limites laminaires. Ainsi une couche limite laminaire décollera plus facilement d'une couche limite turbulente. C'est un paramètre très important dans la conception d'aile laminaire, car dans l'idéal la transition laminaire turbulent devrai toujours de faire juste avant le choc pour limiter le risque de décollement. Mais d'un autre côté elle devrait se faire le plus loin possible pour limiter la traînée de peau. Le design d'un profil transonique laminaire est donc un compromis.

D'après l'étude de Déléry [x], le décollement de la couche limite sur plaque plane pour une couche limite turbulente apparaît dès que le Mach amont au choc dépasse 1.3. Ce critère reste valable sur profil surpercritique.

Il existe plusieurs types de décollements :

  • Le décollement au pied de choc directement lié au choc. Cette zone grandit avec l'intensification du choc et finit par atteindre le bord de fuite.
  • Le décollement au bord de fuite provoqué par la géométrie convexe associé à un bulbe de décollement au pied du choc. Ces deux zones grandissent avec l'intensification du choc jusqu'à fusionner. (Explosion du bulbe de décollement)

​​

À gauche : Décollement au pied du choc - À droite : Décollement au pied du choc et au bord de fuite - Lee [2]

Le type de décollement qui apparaît dépend de la famille géométrique du profil [11]:

  • Les profils normaux font apparaître un bulbe de décollement au pied de choc seul.
  • Les profils supercritiques  font apparaître les décollements au pied du choc et au bord de fuite.

La transition laminaire - turbulent

La transition laminaire-turbulent est un phénomène pas très bien compris en mécanique des fluides. Mais il est très important dans le phénomène d'instabilité transsonique car il a un rôle prépondérant dans le tremblement transsonique.

La transition est dûe à a des instabilités de l'écoulement laminaire. Sur une paroi solide, la couche limite laminaire (1) engendre des ondes de Tollmien-Shlichtling (2) qui sont des tourbillons bidimensionnels de vorticité perpendiculaires à l'écoulement. Ils sont initialement parfaitement parallèles, mais au bout d'une certaine distance ces rouleaux sont déstabilisés (3) et deviennent tridimensionnels. La vorticité éloigne les parties aval du rouleau de la paroi et colle les parties en amont à la paroi. Ainsi les têtes des rouleaux se retrouvent dans des zones à plus grande convection ce qui accentue le phénomène d'étirement (4).

Formation et étirement des ondes de Tollmien-Shlichling - Cédric Content [10]

Lorsque les têtes des tourbillons se trouvent à une hauteur de l'ordre de grandeur de l'épaisseur de couche limite, il apparaît un déficit de vitesse ce qui engendre une forte instabilité (4). Finalement des spots turbulents (5) se créent. Il deviennent de plus en plus volumineux pour aboutir à un écoulement pleinement turbulent (6).

Formation et destruction des ondes de Tollmien-Shlichling - Shlichling [1]

Le ${R_e}_c$ de transition peut dépend de plusieurs paramètres :

  • Un gradient de pression positif, ce qui favorise le décollement de la couche limite. Un choc sur la surface se traduira par un gradient adverse de pression très important ce qui favorise fortement à la fois le décollement et la transition de la couche limite.
  • Les bruits extérieurs et la turbulence modérée environnante.
  • La courbure de la surface, une surface concave sera stabilisant, une surface convexe (le cas du profil d'aile) sera déstabilisant car elle favorise le décollement.
  • Les défauts de surface, une aile est rarement parfaitement plane. sa surface peut continue des rivets, des joints entre plaque, ou des insectes, toutes ces perturbations vont diminuer le ${R_e}_c$ de transition.
  • Les bulbes de décollement, qui peuvent être dus au choc dans notre cas. Si le bulbe de décollement est trop grand, une modification globale du champ de pression s'effectue, ce qui influence fortement la transition.

Lors de cette étude deux configurations seront étudiées. Une configuration pleinement turbulente et une configuration avec une transition laminaire turbulent à 30% de la corde. Cette valeur vient de mesures faites par Dassault sur le profil V2C.

Le tremblement transsonique

Le tremblement transsonique (Buffet) est un phénomène qui n'est pas totalement compris de nos jours. C'est un des problèmes principaux du programme TFAST. Le tremblement consiste en une interaction entre la couche limite et le choc qui conduit à une oscillation périodique du choc. Le mécanisme d'auto-entretien du phénomène est relativement bien compris, mais le phénomène déclencheur est encore sujet à de vifs débats.

Enveloppe de vol - Stanewsky et Basler [5]

Le tremblement est le phénomène qui limite l'enveloppe de vol des avions. Ainsi le conditions de vols de croisière sont définie avec les marges $\Delta C_L$ et $\Delta M$ par rapport aux limites de tremblement. Il est donc très important pour les industriels de trouver une méthode simple de détermination des limites de tremblement. Il leur faut aussi maîtriser au maximum ces conditions d'entrée afin d'élargir les domaines de vol.

Naissance du tremblement

Le tremblement apparaît lorsque l'incidence ou le nombre de Mach augmente. Le mécanisme de déstabilisation est le suivant :

  1. un choc apparaît sur l'extrados du profil mais n'est pas assez fort pour décoller la couche limite.
  2. En s'approchant de la limite de tremblement, le choc se dirige vers le bord de fuite tout en s'intensifiant jusqu'à provoquer un gradient de pression adverse assez fort pour créer un bulbe de décollement au pied du choc. Il s'en suit rapidement l'apparition d'un décollement au bord de fuite.
  3. Le bulbe de décollement et le décollement au bord de fuite se rejoignent, ainsi toute la couche limite à l'aval du choc est décollée est commence à osciller à basse fréquence avec des plus hautes fréquences au bord de fuite. Le décollement modifie toute la répartition de pression autour du profil, ce qui engendre une nouvelle position stable pour le choc. La modification de la position du choc modifie l'écoulement amont, ce qui modifie l'écoulement aval. cela conduit à la mise en oscillation du système.
  4. Si le nombre de Mach ou l'incidence sont trop grand, la couche limite se met à vibrer à haute fréquence, ainsi elle ne peut plus influencer le choc qui se comporte comme un passe bas vis à vis des perturbations. Or ce filtre devient de plus en plus sélectif quand le choc s'intensifie. De plus le choc empêche aux perturbations de remonter l'écoulement, ainsi si un choc se trouve trop proche du bord de fuite à grand nombre de Mach par exemple, il empêchera la modification de l'écoulement en aval. Donc l'oscillation du choc disparaît.

Donc la zone d'oscillation du choc est limitée à la fois en minimum et maximum par rapport à l'incidence et nombre de Mach :

Zone de tremblement et d'oscillation du choc sur un profil BGK1 - Lee [2]

Il ne faut donc pas confondre le tremblement qui survient quand l'aile se met à bouger et le zone d'oscillation du choc. Ainsi l'oscillation du choc n'est pas la seule cause de la mise en mouvement de l'aile, les autres instabilités plus haute fréquence jouent aussi un rôle.

Crouch [7] propose une autre explication en mettant en avant son étude d'instabilité globale des équations. Cette vision mathématique donne des résultats cohérents avec l'expérience au niveau de l'entrée en oscillation, mais elle ne fait pas apparaître une causalité physique claire de l'oscillation du choc.

Mécanisme d'auto-entretien

Le mécanisme d'auto entretien du tremblement est un transfert périodique d'énergie entre le choc et le bord de fuite qui passe par la couche limite. La modélisation la plus récente a été proposée par Lee [2].

Le choc oscillant autour de sa position d'équilibre produit des fluctuations de pression à son pied. Ces fluctuations voyagent ensuite par la couche limite jusqu'au bord de fuite à une vitesse  $a_p$. En arrivant au bord de fuite, elles se reflètent et sont renvoyées en amont de l'écoulement par l'extérieur de l'écoulement avec une vitesse $a_u$. Ce sont des ondes de Kutta. Ensuite le choc qui se comporte comme un passe bas ne se laisse influencer que par les perturbations assez basses fréquences, ce qui lui donne de l'énergie et lui défini un nouvel équilibre.

Mécanisme d'auto-entretien selon Lee [2]

À partir de ce cycle, Lee définit la période d'oscillation qui est fonction des vitesses $a_p$ et $a_u$ :

\begin{eqnarray}T=\int_{x_s}^{c}\frac{dx}{a_p}+\int_{c}^{x_s}\frac{dx}{a_u} \end{eqnarray}

La présence du bouclage aéroélastique à été confirmé dans des simulations numériques. Mais il n'y a pas encore de méthode simple de détermination des vitesses $a_p$ et $a_u$.

Il existe une deuxième interprétation plus globale du phénomène. Lorsque le choc remontre le profil, il s'intensifie et la couche limite se décolle, ainsi s'en suit une diminution de la circulation autour du profil. Donc le choc baisse en intensité, ce qui lui donne une position stable plus en aval du choc. Or proche du bord de fuite on constate que la couche limite est recollée, ainsi la circulation augmente. Ce phénomène se produit ainsi de suite.

Mais aucune modélisation ne donne précisément la fréquence d'oscillation du choc. Ainsi une part du phénomène physique reste incomprise.

Caractéristiques et conséquences

Se comportant comme un passe bas, l'oscillation du choc se fait à basse fréquence. Généralement le tremblement est caractérisé par une fréquence voisine de 100 Hz. Le phénomène n'est pas en lui même dangereux pour un avion, mais il convient de l'éviter pour empêcher le développement de phénomènes de flottement. De plus l'oscillation de l'avion peut être source d'inconfort pour les passagers et provoquer une fatigue prématurée des structures.

Simulation numérique

Présentation du code NSMB

Le code Navier-Stokes Multi-Block est un solveur Navier Stokes parallèle développé par l'EPFL (Ecole Polytechnique Fédérale de Louisiane), le KTH (Kungl. Tekniska Hoegskolan), le CERFACS et Airbus France. L'Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse participe à son développement depuis 2001.

L'avantage principal de ce solveur est la parallélisation du calcul par la décomposition automatique du domaine en différents blocs. Il est compatible avec des maillages structurés très variés pour des configurations allant des écoulements subsoniques incompressibles jusqu'aux écoulements supersoniques.

Codé en Fortran 77, il utilise la méthode des volumes finis avec des schémas spatiaux centrés ou amont et une intégration temporelle explicite ou implicite. 

Il existe une grande diversité de modèles implémentés permettant des calculs RANS (Reynolds Average Navier-Stokes) ainsi que des calculs LES (Large Eddy Simulation).

 

Modèle Splalart Almaras

Les simulations mises en place sont des calculs RANS utilisant le modèle de Spalart-Almaras avec la correction d'Edward et Chandra. Ce dernier constitue un modèle à une équation de transport de la viscosité turbulente permettant la fermeture du système pour la résolution des équations de Navier-Stokes moyennées définies comme suit:

  • Equation de conservation de la masse:

\begin{eqnarray}\frac{\partial \bar{\rho} }{\partial t}+\frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_{j}}}{\partial x_{j}}=0\end{eqnarray}

  • Equation de quantité de mouvement

\begin{eqnarray}\frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_{i}}}{\partial t}+\frac{\partial \bar{\rho}  \tilde{u_{i}} \tilde{u_{j}}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial \bar{\tau} _{ij}-\bar{\rho}\widetilde{u''_{i}u''_{j}}}{\partial x_{j}}= 0\end{eqnarray} Avec le tenseur de Reynolds \begin{eqnarray}\tau_{r} = \bar{\rho} \widetilde{u''_{i}u''_{j}}\end{eqnarray}

  • Equation de conservation de l'énergie

\begin{eqnarray}\frac{\partial \bar{\rho} \hat{E}}{\partial t}+\frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_{j}}  \hat{H}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial \bar{q_{j}}+\bar{\rho}\widetilde{e''u''_{j}}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial (\bar{\tau} _{ij}-\bar{\rho}\widetilde{u''_{i}u''_{j}})\tilde{u}_{i}}{\partial x_{j}}=-T_{s}^{k}\end{eqnarray}

Avec

L'énergie totale: \begin{eqnarray}\hat{E}=\tilde{e}+\frac{1}{2}\tilde{u}_{k}\tilde{u}_{k}\end{eqnarray}

L'enthalpie totale: \begin{eqnarray}\hat{H}=\tilde{e}+\frac{\bar{p}}{\rho}\end{eqnarray}

Tsk un terme source d'énergie cinétique turbulente

L'hypothèse de Boussinesq donne \begin{eqnarray}-\widetilde{u''_{i}u''_{j}}=2 \nu_{t}S_{ij}\end{eqnarray}

Le modèle implémenté donne donc l'évolution de la viscosité turbulente.

Théorie du modèle

L'équation de transport de la viscosité turbulente est implémentée comme suit:

\begin{eqnarray}\frac{D \tilde{\nu}}{Dt}=c_{b1}[1-f_{t2}]\tilde{S}\tilde{\nu} +\frac{1}{\sigma}[\nabla ((\nu +\tilde{\nu})\nabla\tilde{\nu})+c_{b2}(\nabla\tilde{\nu})^{2}]-(c_{w1}f_{w}-\frac{c_{b1}}{\kappa}f_{t2})(\frac{\tilde{\nu}}{d})+f_{t1}\Delta U^{2}\end{eqnarray}

 

 

 

 

 

 

Avantages

 

 

 

 

 

Limites:

Mise en place des simulations

Les simulations ont été réalisées à partir d'un profil 2D d'aile super critique spécifique fournit par l'industriel Dassault. La configuration à partir de laquelle a été menée les simulations est un profil de corde 0.25m et le domaine s'étend sur huit fois la longueur de la corde. L'origine du système est prise au niveau du bord d'attaque de l'aile.

Profil V2C

Le maillage préalablement réalisé est de type structuré en forme C et raffiné en proche paroi afin de capter les échelles de la couche limite. Au total, le domaine a été discrétisé sur 160 000 mailles.

Maillage du profil V2C

Différentes configurations ont été définies:

Configurations

Transition (% de corde)

Mach

Angle d'attaque (°)

 
1 0 0.7 0 à 7
2 0 0.75 0 à 7
3 30 0.7 0 à 7
4 30 0.75 0 à 7

Différentes configurations étudiées

Le calcul est ensuite réalisé à partir d'un schéma spatial amont avec une intégration temporelle de type implicite. La résolution se fait par une méthode RANS en stationnaire et URANS en instationnaire à partir du modèle de Spalart-Almaras présenté dans la paragraphe précédent.

 

Démarche de calcul

 La démarche utilisée pour chaque configuration suit la logique suivante:

La vérification de la convergence du calcul stationnaire permet de repérer l'angle d'attaque critique à partir duquel le phénomène de tremblement apparaît. Elle se fait par le tracé du résidu du calcul au cours des itérations.

Cela permettra ensuite d'analyser l'influence des paramètres tels que le Mach, et le type de couche limite sur le déclenchement du buffet.

Si le buffet apparaît, le calcul instationnaire est réalisé. Pour ce type de simulations, il est important de garantir la qualité des résultats par une analyse de la mise en place du régime permanent. En effet, le régime transitoire n'a aucune valeur d'un point de vue physique et il est nécessaire de vérifier  la convergence vers un mode cyclique d'amplitude et de fréquence constante. Ceci est caractéristique de l'instationnarité du tremblement.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L'utilitaire forces2tec est utilisé pour calculer à partir des fichiers de sortie de NSMB, la courbe d'évolution temporelle des coefficients aérodynamiques adimensionnalisés (Cx,Cz,Cm). Cela permet d'observer l'atteinte du régime cyclique et de mesurer la fréquence du buffet. 

Ex. configuration 1: Couche limite turbulente, Mach 0.7, Alpha 5°

Le post-traitement complet se fait ensuite via Tecplot. Il s'agit d'un outil de visualisation de calculs CFD à partir duquel les champs et profils de multiples grandeurs peuvent être obtenues. L'utilitaire n2t permet de traduire les fichiers de sortie de NSMB en format lisible par Tecplot. C'est de cette façon que les champs de vitesse, de pression et le profil du coefficient de portance autour de l'aile ont été tracés.

Bibliographie

[1] H. Schlichting and K. Gersten. Boundary-layer theory. Springer, 2003.

[2] B.H.K. Lee. Self-sustained shock oscillations on airfoils at transonic speeds. Progress
in Aerospace Sciences, 37 :147–196, 2001.

[3] E. Stanewsky. Shock boundary-layer interaction. AGARD (A.R. 224-4.5), April 1988.

[4] J. Délery. Shock wave/turbulent boundary layer interaction and its control. Aerospace
Science, 22 :209–280, 1985.

[5] E. Stanewsky and D. Basler. Experimental investigation of buffet onset and penetration
on supercritical airfoil at transonic speeds. AGARD (C.P. 483-4), April 1990.

[6] G. Broweys. Étude de stratégies de contrôle du tremblement transsonique sur voilure supercritique. PhD thesis, Université de Poitier, Mars 2010

[7] J.D. Crouch, A. Garbaruk, D. Magidov, and A. Travin. Origin of transonic buffet on airfoils. Journal of Fluid Mechanics, 628 :357–369, 2009.

[8] A. Bouhadji and M. Braza. Organised modes and shock-vortex interaction in unsteady viscous transonic flows around an aerofoil. Computers and Fluids, 32 :1233–1281, 2003.

[9] CERFACS : Caractéristiques de NSMB Source

[10] C. Content. Méthode innovante pour le calcul de la transition laminaire-turbulent dans les codes Navier-Stokes. PhD thesis, ISAE Toulouse, Octobre 2011

[11] H.H. Pearcey, A.B. Haines, and J. Osborne. The interaction between local effect at the shock and rear separation - a source of a significant scale effects in windtunnel tests on airfoils and wings. AGARD, Rapport Technique CP35, 1968.