Modélisation des équations

Équation de la combustion : 

L'équation de la combustion s'écrit :

$C+O_2\longrightarrow CO_2$

k=1 gaz g (air+$CO_2$)

k= 2 (olivine)

k= 3 (char C)

Conservation de la masse :

Le bilan de masse pour chaque phase k s’écrit :

$\frac{\partial \alpha_k \rho_k}{\partial t} + \frac{\partial \alpha_k \rho_k U_{k,i}}{\partial x_i}=\Gamma_k$ avec  $\sum \Gamma_k​=0$

  • Pour la phase gaz ($O_{2}+CO_{2}$) :

$\Gamma_g=\sum \Gamma_{p \rightarrow g}=-\Gamma_C$

  • Pour l'olivine (k=2) :

$\Gamma_{olivine}=0 $ car l'olivine est inerte

Expression du taux de transfert de masse d'une particule réactive de char :

Soit $n_k$ le nombre de moles de l'espèce k

On choisit un modèle à coeur rétrécissant pour modéliser la variation du nombre de moles de char en fonction du temps. Le choix de ce modèle sera justifié par la suite :

$\frac{dn_c}{dt}=k_{c}S(C_{{O_2}_{s}}-C_{{O_2}_{\infty}})$

avec $n_c$ en $mol$, kc en $m/s$, C en $mol/m^3$ et $S$ en $m^2$

Cette expression sera validée par les expériences réalisées en laboratoire.

La concentration en dioxygène à la surface de la particule solide étant nulle on obtient :

$\frac{dn_c}{dt}=-k_{c}SC_{{O_2}_{\infty}}$ (1)

avec kc le coefficient de transfert de matière autour de la particule p et nc le nombre de moles de carbone.

On prendra dans un premier temps la constante cinétique $k_c$ constante est égale à $10^{-3} m^³ $de gaz$/m^²$ de solide.s

(1) peut s'écrire : $\frac{dm_c}{dt}=-k_{c}M_{c}SC_{{O_2}_{\infty}}$

afin d'obtenir la variation de la masse de char en fonction du temps.

Expression du taux de transfert de masse $\Gamma_c$ :

Le taux de transfert de masse $\Gamma_{C}$ en $kg/m³/s$ d'une particule réactive de char s'écrit :

$\Gamma_c=n(\frac{dm_c}{dt})$ avec n le nombre de particules de char par unité de volume en $m^{-3}$.

n s'exprime de la façon suivante :

$n=\frac{\rho_{c} \alpha_c}{m_c}$ avec m la masse d'une particule de char, $\alpha \rho$ la masse apparente du char.

Donc, $n=\frac{\rho_{c} \alpha_c}{V_{c} \rho_c}=\frac{\alpha_c}{V_c}$ avec $V_c$ le volume d'une particule de char.

On obtient donc :

$$\Gamma_c=-\frac{\alpha_{c}k_{c}M_{c}SC_{{O_2}_{\infty}}}{V_c}$$

 

Avec $C_{O_2}=\frac{Y_{O_2} \rho_{mélange} \alpha_{g}}{M_{O_2}}$ soit $C_{O_2}=\frac{(1-Y_{CO_2}) \rho_{mélange} \alpha_{g}}{M_{O_2}}$ avec $C_{0_2}$ en $mol/m^3$

$Y_{CO_2}$ est le scalaire transporté par la phase gazeuse

$\rho_{mélange}$ est calculé à l'aide de la loi des gaz parfaits dans le scripts usphyv.F

 

 

Bilan de quantité de mouvement :

Pour chaque phase k, le bilan de quantité de mouvement s'écrit :

$\alpha_{k}\rho_{k}\frac{\partial​ U_{k,i}}{\partial t}+\alpha_k \rho_k U_{k,i}\frac{\partial U_{k,i}}{\partial x_j} $

$=$

$ -\alpha_k \frac{\partial​ P_g}{\partial x_i}+\alpha_k \rho_k g_i+\frac{\partial}{\partial x_i}[-\alpha_k \rho_k < u'_{k,i} u'_{k,j}>+\Theta_{k,ij}]+I'_{k,i}+[U_{\sigma,i}-U_{k,i}]\Gamma_k+\delta_{kp}\sum_{n \neq  k}S_{kn,i}$

 où $I'_{k,i}$ est tel que:

$I'_{g,i}​=I'_{k,i}​=\alpha_{k}\rho_{k}\frac{V_{(r,k),i}}{\tau _{gk}^{F}}​$ avec $V_{(r,k),i}$ la ième

composante de la vitesse relative locale entre la kième phase particulaire et l'écoulement gazeux localement non perturbé, i.e $V_{(r,k),i}=U_{k,i}-U_{g,i}-V_{(d,k),i}$.

$\delta_{kp}$ est le symbole de Kronecker (où l’indice p définit une phase particulaire donnée) et $S_{kn,i}$ modélise les effets de collisions entre les différentes phases particulaires. Le terme $U_{\sigma,i} \Gamma_k$ représente le transfert de quantité de mouvement dû aux échanges de masses entre la phase gazeuse et les particules réactives.

On suppose que la vitesse de la phase gazeuse après la réaction (ici $C_{O_2}$) $U_{\sigma,i}$ est égale à la vitesse de la particule (ie le char C): $U_{\sigma,i}=U_{C,i}$.

Les scalaires

Les scalaires résolus ici sont $Y_{C_{O_2}}$ et $\chi_d$ avec $Y_{O_2}=1-Y_{C_{O_2}}$.

Sous l'hypothèse d'un mélange de gaz idéaux dans le réacteur, la densité du mélange $\rho_g$ et la fraction massique de $ Y_{CO{_2}}$ sont contrôlés :

$\rho_g=\frac{P_ref W_g}{R_g T_g}=\frac{P_ref}{R_g T_g}[\frac{Y_{O_2}}{W_{O_2}}+\frac{Y_{C{O_2}}}{W_{Y_{C{O_2}}}}]^{-1}$

L'équation de transport de $Y_{C_{O_2}}$

$\alpha_{g} \rho_{g} \frac{\partial Y_{CO_2}}{\partial t} + \alpha_{g} \rho_{g} U_{g,j} \frac{\partial Y_{CO_2}}{\partial x_{j}} =  \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\alpha_{g} \rho_{g} \frac{\nu_{CO_{2}}}{\sigma_{g}} \frac{\partial Y_{CO_{2}}}{\partial x_{j}}) - Y_{CO_{2}} \Gamma_{g} + \psi_{Y_{CO_{2}}}$

$\nu_g^{t}$ et $\sigma_g$ sont respectivement la viscosité cinématique et le nombre de Schmidt turbulent. $W_g$ et $R_g$ sont respectivement la masse molaire du gaz et la constante  de masse du gaz, alors que $P_{ref}$ est la pression de référence au sein du réacteur.

Conservation du nombre de particules par unité de masse ($\chi_d$)

$\chi_d$ est le scalaire transporté pour modéliser la taille des particules. 

$\chi_d=\frac{\rho_{p_0}}{\rho_p}(\frac{d_{p_0}}{dp})^3$

$\rho_{p,0}$ et $dp_{p,0}$ représentent respectivement la masse volumique et le diamètre de référence du char. Ici, la masse volumique du char est constante donc :

$\chi_{d}=(\frac{d_{p_0}}{d_{p}})^3$

L'équation de transport du scalaire $\chi_d$ s'écrit :

$\alpha_{c}\rho_{c}\frac{\partial \chi_{d}}{\partial t}+\alpha_{c} \rho_{c} U_{c}\frac{\partial \chi_{d}}{\partial x_i} = - \frac{\partial}{\partial x_i}(\alpha_c \rho_c {<u'_{c} \chi_{d} >}_{c})+\Gamma_d -\chi_d \Gamma_c$

Or dans notre cas l'attrition n'est pas prise en compte donc $\Gamma_c$ qui représente la variation de $chi_d$ due à l'attrition et/ou l'agglomération des particules de char est nul. L'équation devient alors :

$\alpha_{c}\rho_{c}\frac{\partial \chi_{d}}{\partial t}+\alpha_{c} \rho_{c} U_{c}\frac{\partial \chi_{d}}{\partial x_i} = - \frac{\partial}{\partial x_i}(\alpha_c \rho_c {<u'_{c} \chi_{d} >}_{c}) -\chi_d \Gamma_c$