I. Ecoulement parallèle

 

Le problème est ici, à une dimension, il existe cependant deux façons distinctes pour considérer la réaction à l'interface. La première est surfacique et consiste à cantonner la réaction à l'interface Laitier/Acier. L'autre approche considérera une réaction volumique. La réaction aura lieu dans une couche de mélange très fine.

Un programme Matlab sera mis en place à partir des équations de Navier-Stokes simplifié pour le cas 1D. Ces simulations permettront de tracer l'évolution de la concentration d'Aluminium en fonction de y et du temps t, ce pour les deux cas que nous nous sommes posés. Grâce à ces profils, nous seront en mesure de déterminer la valeur de la constante de réaction entre les composants de l'acier et du laitier.

Approche Surfacique

 

 

Figure 7 : Représentation schématique de la réaction surfacique

La réaction a lieu à la surface et on en déduit donc l’équation d’évolution de la concentration suivante :

$$ \frac{\partial C_{Al}}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C_{Al}}{\partial y^2} $$

Cette équation a pour solution analytique :

$$ C_{Al}(y,t)=(C_{Al,\infty }-C_{Al,interf })\cdot erf(\frac{y}{2\sqrt{D_{Al}}\ t})+C_{Al,interf} $$

 

Figure 8 : Evolution du titre massique en aluminium en fonction de y pour différents temps

On définit le coefficient de transfert de matière à l'interface comme suit :

$$k_{l} = \frac{D\frac{(\partial Y_{i}}{\partial y})_{y = 0}}{Y_{i,s}-Y_{i,\infty }}$$

Le coefficient de transfert de matière associé est de l'ordre de 10-4 .

Approche Volumique

 

Figure 9 : Représentation schématique de la réaction volumique

Cette fois ci, la réaction a lieu dans une couche de mélange d’épaisseur très fine. On peut maintenant introduire un terme réactif dans l’équation d’évolution de la concentration.

$$  \frac{\partial C_{Al}}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C_{Al}}{\partial y^2} \ - \ kC_{Al} $$

Cette équation a pour solution :

$$ C_{Al}(y,t)=k \int_{0}^{t}f(y,t')e^{-kt}dt'+f(y,t)e^{-kt} $$

où f est la fonction
$$ f(y,t)=(C_{Al,\infty }-C_{Al,interf })\cdot erf(\frac{y}{2\sqrt{D_{Al}}\ t})+C_{Al,interf} $$

Analyse des résultats

 

Une des premières étapes est donc de déterminer le coefficient de vitesse de réaction. Ceci est rendu possible en adoptant une méthode itérative se reposant sur des résultats fournits par le rapport Antonino.

Un programme Matlab permet de tracer l'évolution des profils de concentration selon la profondeur y pour différentes positions x. On dispose des profils de concentrations du rapport Antonini et cherchons à aligner les résultats de ce dernier avec ceux fournis par le programme Matlab.

En considérant les différentes valeurs testées, on remarque que plus la valeur du coefficient de vitesse de réaction est élevé, plus la réaction a lieu proche de l'interface, et l'avancée du front de réaction se fait don lentement. Ce point est en accord avec la logique dans la mesure où la réaction se faisant plus rapidement, elle reste cantonnée dans une zone proche de l'interface acier/laitier. En revanche, pour de faibles valeurs de ce même coefficient de réaction, celle ci se fait plus lentement et a donc le temps de pénétrer plus profondément dans le domaine acier.

k_reac = 10 s-1

Figure 10 : Profils de titre massique pour les cas volumique et surfacique - kréac=10s-1

 

k_reac = 0.001 s-1

 

Figure 11 : Profils de titre massique pour les cas volumique et surfacique - kréac=0.001 s-1

La méthode itérative nous a donc permis d'obtenir une valeur de 0.001 s-1 pour le k_reac.

Le coefficient de transfert de masse associé k_Al est de l'ordre de 10-5 m/s.