Formules empiriques

    Dans l’établissement du modèle de transfert de masse, on avait besoin de certaines propriétés des solutions de chlorure de calcium. Plus précisément, on avait besoin d’expressions analytiques traduisant ces propriétés pour pouvoir les intégrer ensuite dans les équations appropriées.  La section suivante donnera les détails de ces formules empiriques qu’on a utilisées. Elles sont toutes fonctions de la température de la gouttelette Td (parfois de la température réduite $ \displaystyle\theta = \frac{T_{d}}{T_{c,w}} $), de la fraction massique $\xi $ de chlorure de calcium et des propriétés de l'eau pure à la même température

1) La pression de vapeur de saturation de la solution

$\displaystyle p^{s}(T_{d})$ étant la pression de vapeur d’eau à la même température, on a:

$\displaystyle \frac{p_{d}^{s}(\xi,T_{d})}{p^{s}(T_{d})}= \pi_{25}f(\xi,\theta) $ où  $f(\xi,\theta)= A+ B\theta $ avec

- $ A= 2- \bigg[ 1+ \big( \displaystyle \frac{\xi}{\pi_0}\big)^{\pi_1}\bigg]^{\pi_2} $

-$ B=\bigg[ 1+ \big( \displaystyle \frac{\xi}{\pi_3}\big)^{\pi_4}\bigg]^{\pi_5}-1 $

-$ \pi_{25}=1- \bigg[ 1+ \big( \displaystyle \frac{\xi}{\pi_6}\big)^{\pi_7}\bigg]^{\pi_8}- \pi_9  ~e^{- \displaystyle \frac{(\xi-0.1)^2}{0.005}} $

Les constantes sont données dans le tableau suivant:

$ \pi_{0}$ $ \pi_{1}$ $ \pi_{2}$ $ \pi_{3}$ $ \pi_{4}$ $ \pi_{5}$ $ \pi_{6}$ $ \pi_{7}$ $ \pi_{8}$ $ \pi_{9}$
0.31 3.698 0.60 0.231 4.584 0.49 0.478 -5.20 -0.40 0.018

2) La densité de la solution

De même la densité de la goutte hygroscopique $ \rho_{d}$ s’écrit

$ \rho_{d}(\xi,T)= \rho_{w}(T) \sum_{i=0}^{3}{\rho_i} \bigg( \displaystyle \frac{\xi}{1-\xi} \bigg)^i$

Où on a $\rho(\tau) = \rho_{c,w}\bigg( 1+B_0 \tau^{1/3}+B_1\tau^{2/3}+B_2\tau^{5/3}+B_3\tau^{16/3}+B_4\tau^{43/3}+ B_5\tau^{110/3}\bigg)$
avec $\tau= \displaystyle1-\frac{T_{d}}{T_{c,w}}$ , $ \displaystyle\ T_{c,w}$  étant la température critique de l'eau.
De plus, on a:

$\rho_0$

$\rho_1$

$\rho_2$

$\rho_3$

1 0.836014 -0.436300 0.105642

3) La tension de surface

On a l'expression suivante:

$ \sigma(\xi,\theta)= \sigma_{w}(\theta)\big(1+\sigma_1\xi+\sigma_2\xi\theta+\sigma_3\xi\theta^2+\sigma_4\xi^2+\sigma_5\xi^3\big) $

où la tension de surface d'une gouttelette d'eau pure $\sigma_{w}(\theta)$ vérifie:

$\sigma_w=0.2358\bigg(\displaystyle\frac{374.00-T}{647.15}\bigg)^{1.256}\bigg[1-0.625\big(\displaystyle\frac{374.00-T}{647.15}\big)\bigg]$ et

Les constantes sont données dans le tableau suivant:

$\sigma_{1}$ $\sigma_{2}$ $\sigma_{3}$ $\sigma_{4}$ $\sigma_{5}$
2.33067 -10.78779 13.56611 1.95017 -1.77990

4) La capacité thermique massique

On a:     $C_{p,d}(T_d,\xi)= C_{p,w}(T_d). \bigg( 1- f_1(\xi).f_2(T_d)\bigg)$, où:

-$C_{p,w} $ est la capacité thermique de l'eau pure à la même température Td de la gouttelette qui vérifie d'ailleurs:

$C_{p,w}= 4217.4-3.720283T_d+0.1412855T_d^2-2.654387 \times 10^{-3}T_d^3+ 2.093236 \times 10^{-5}T_d^4$

-f1 et f2 sont deux fonctions réelles admettant les expressions suivantes:

$f_1(\xi)= A\xi+ B\xi^2+C\xi^3$  et $f_2(\theta)= F \theta^{0.02}+G\theta^{0.04}+H\theta^{0.06}$

Avec cette fois-ci $ \displaystyle\theta = \frac{T_{d}}{228} $ et:

A B C F G H
1.63799 -1.69002 1.05124 58.5228 -105.6343 47.7948

5) La chaleur de condensation

La chaleur de condensation d'une gouttelette solution de chlorure de calcium est différente de celle de l'eau pure. On appelle différence d'enthalpie de dilution la quantité supplémentaire d'énergie nécessaire pour faire évaporer la même quantité d'eau. Celle-ci s'écrit dans notre cas (en KJ/Kg):

$\Delta h_d= \Delta h_{d,0} \bigg[ 1+\big( \displaystyle \frac{\zeta}{H_1}\big)^{H_2} \bigg]^{H_3}$ où  $\zeta = \displaystyle \frac{\xi}{H_4-\xi}$ et $\Delta h_{d,0}= H_5 + H_6 \theta$

Les paramètres Hi sont indiqués dans le tableau suivant:

H1 H2 H3 H4 H5 H6
0.855 -1.965 -2.265 0.8 -955.690 3011.974

Ainsi la chaleur de condensation totale Ld devient: $L_d =L_v+10^3.\Delta h_d$

où $L_v= \big( 25.00-0.02274T_d \big) \times 10^5$ est la chaleur de condensation de l'eau pure (en J/Kg)