La mise en équation du problème

     Différentes versions de l’équation différentielle classique de Maxwell  décrivent l’évolution de la taille d’une particule déposée dans l’air humide et le transfert de masse résultant de la diffusion de la vapeur d’eau vers elle. Cependant, peu d’entre elles traitent d’une façon adéquate le cas des gouttelettes avec forte concentration en sel hygroscopique. Ce qui est d’ailleurs le cas dans la phase initiale de leur grossissement. On essayera dans cette partie de présenter un modèle mathématique assez fin permettant de bien décrire cette phase critique. Cependant, et afin de rendre les plus simples possibles les équations de conservation de masse et d’enthalpie, on va supposer que la particule n’est pas en mouvement par rapport à l’air qui l’entoure.

     En notant ϕ le diamètre de la gouttelette hygroscopique, l’équation de conservation de masse (Maxwell 1890) s’écrit :

$\phi \displaystyle \frac{d\phi}{dt} =  \displaystyle \frac{4 D^*_\nu M_w}{R\rho_d} \big[ \displaystyle \frac{p^\nu_a}{T_a} -\displaystyle \frac{p^s_d}{T_d}  \big]$    (1)

Où R est la constante universelle des gaz parfaits, Mw est la masse molaire de l’eau, ρd est la densité de la gouttelette, Dv* est la diffusivité modifiée de la vapeur d’eau, Ta est la température de l’air et Td est la température de la gouttelette (supposée uniforme). Le moteur du transfert de masse est le gradient de concentration en vapeur d’eau entre l’air et la surface de la gouttelette. Ce qui est traduit par une différence de pression partielle de vapeur (pv dans l’air et pds au voisinage immédiat de la surface de la gouttelette). La pression de vapeur à la surface de la gouttelette est supposée en équilibre avec l’eau contenue à l’intérieur de cette dernière, ce qui justifie la présence de l’exposant s.

     Quant à la variation de la température Td de la gouttelette, ceci s’explique par la présence de deux termes. Le premier est un terme de conduction de chaleur relatif à la différence des températures (Ta-Td). Le deuxième résulte de la dissipation de la chaleur de condensation. Ainsi, on s’est permis d’écrire :

$\displaystyle \frac{dT_a}{dT} = \displaystyle \frac{3}{\phi^2c_{p,w}} \bigg[
\displaystyle \frac{4k^*_\nu}{\rho_d}(T_a-T_d)+h_{fg} \phi \displaystyle \frac{d\phi}{dt} \bigg]$    (2)

Où cpw est la capacité thermique massique de la gouttelette, kv* est la conductivité modifiée de l’air humide et hlf est la chaleur de condensation à la température Td.

La pression de saturation Ps(Td) peut s’écrire en fonction de Ps(Ta) grâce à la relation de Clausius-Clapeyron :

$p^s(T_d)= p^s(T_a)exp\big\{ \displaystyle \frac{h_{fg}M_w}{R} \big( \displaystyle \frac{1}{T_a}- \displaystyle \frac{1}{T_d}\big) \big\}$

Ainsi, en combinant cette relation avec l’’équation (1) obtenue dans la section précédente et avec l’équation (2), on obtient :

$\phi \displaystyle \frac{d\phi}{dt}= \displaystyle \frac{4D^*M_wp^s(T_a)}{R\rho_d}\bigg[ \displaystyle \frac{RH}{T_a}- \displaystyle \frac{a_w}{T_d}*exp \big\{ \displaystyle \frac{4M_w\sigma}{R\rho_w\phi T_d} + \displaystyle \frac{h_{fg}Mw}{R}(\displaystyle \frac{1}{T_a}-\displaystyle \frac{1}{T_d}) \big\} \bigg]$

Reste maintenant à expliciter les expressions de Dv* et de Kv* :

     En effet, quant les particules étudiées deviennent assez petites, l’évolution de leurs tailles est gouvernée par la théorie cinétique. Dans notre cas (particules de taille initiale de 0.7 microns), on est à une échelle intermédiaire entre le régime des milieux continus et celui moléculaire. Ainsi, il fallait prendre en compte une expression de Dv* et une autre de Kv* qui soient applicables dans les deux cas. On a trouvé ainsi dans la littérature les expressions suivantes (Pruppacher and Klett 1978)

$D^*_{\nu}= D_{\nu}(T_a)\bigg[ \displaystyle \frac{1}{1+2\delta_c\lambda/\phi}  + \displaystyle \frac{2D_{\nu}}{\phi\alpha_c \sqrt{RT_d/2\pi M_w}} \bigg]$

Où αc est un coefficient de condensation pris égal à 1, δc est un coefficient relatif à l’épaisseur de la couche non continue pris égal à 2/3et λ est le libre parcours moyen des molécules d’eau dans l’air (6~7*10^-8m à la pression atmosphérique et à une température comme la nôtre).

De même, on a :

$k^*_{\nu}= k_{\nu}(T_a)\bigg[ \displaystyle \frac{1}{1+2\delta_t \lambda /\phi}+ \displaystyle \frac{2k_{\nu}}{\phi\alpha_t\rho_ac_p \sqrt{RT_a/2\pi M_a}}  \bigg]^{-1}$

Où αt est un coefficient d’accommodation thermique pris égal à 0.3, δt est un coefficient relatif à l’épaisseur de la couche thermique non continue pris égal à 2/3et λ est le même que le précédent.

On note que cp est la capacité thermique massique de l’air humide et que ρa est la densité de l’air humide.