La théorie de Köhler

La théorie de Köhler permet de déterminer à une température Ta donnée, la pression de vapeur à la surface d’une gouttelette liquide $p_{d}^{s}(\phi,T_{d})$ à partir de celle qui règne sur une surface plane $p^{s}(\infty,T_{d})$ à la même température (pression de vapeur saturante ordinaire).

Le ratio de la pression de vapeur Pv (dans l’air) sur la pression saturante correspondante à la même température (théorique) est appelé humidité relative et sera noté RH tout le long de ce travail.

 

Effet de courbure :

La pression de vapeur à la surface d’une gouttelette est fonction du rayon noté ϕ. En effet, quand la vapeur d’eau se condense, une partie de la variation d’énergie libre ∆G va servir pour la création de la surface sphérique entre le liquide et la vapeur (Energie de surface). L’équation de Kelvin met en évidence le rapport entre les deux pressions de vapeur d’une substance pure (dans notre cas, il s’agit de l’eau) :

$p^s(\phi,T_d)= p^s(\infty,T_d). exp \big\{ \displaystyle \frac{4 M_w \sigma}{R \rho_w\phi T_d}  \big\}$

Td est la température de la gouttelette, Mw est la masse molaire de l’eau, ρw est la densité de l’eau, R est la constante des gaz parfaits et $\sigma$ est la tension de surface de l’eau à la température Td. (Elle dépendra de la fraction massique $\xi$ du soluté si la gouttelette n’est pas de l’eau pure)

 

Effet de soluté ou effet hygroscopique :

Quand la gouttelette est une solution aqueuse d’un produit quelconque, il y a diminution de la pression de vapeur à la surface. C’est l’effet hygroscopique. Si en plus la solution est diluée, on peut directement lier cette nouvelle pression au rapport du nombre de moles d’eau par le nombre total de moles dans la solution. C’est la loi de Raoult et qui n’est valide que pour des mélanges idéaux :

$\displaystyle a_w = \frac{p^s_d(\phi,T_d)}{p^s(\phi,T_d)}=\frac{n_w}{n_w+n_s}$

Où aw est appelé activité de l’eau, $p^s_d$ est la pression de vapeur à la surface de la solution, nw est le nombre de moles d’eau, ns est le nombre de moles du soluté.

Cependant, dans notre cas le mélange ne peut être considéré comme idéal et l’activité de l’eau sera explicitée à l’aide d’une expression totalement empirique. (Voir Formules empiriques des propriétés physiques des solutions du chlorure de calcium)

Ainsi, en combinant les deux effets, on obtient :

$p^s_d(\phi,T_d)= a_w.p^s(\infty,T_d). exp \big\{ \displaystyle \frac{4 M_w \sigma}{R \rho_w\phi T_d}  \big\}$