Compléments de modèles

Frottement interfacial

Modèle de Wallis

Le modèle de Wallis nous permet de modéliser les frottement interfaciaux $\tau_i$ entre la phase liquide et la phase gazeuse. On a le système d'équations suivant:

 

Equation 1 : $\tau_i = -0.5*f_i*\rho_g*\left | U_g-U_l \right |(U_g-U_l)$

Equation 2 : $f_i = 0.005(1+\frac{300*\delta}{D}) = 0.005(1+150*(1-\sqrt{R_g}))$

 

Les vitesses du gaz et du liquide sont déterminées à partir des vitesses superficielles calculées à chaque pas d'espace.
 

Référence : [1]

 

Frottement pariétal

Modèle de Lockhart et Martinelli

Le modèle de Lockhart et Martinelli permet de déterminer le frottement pariétal au niveau de notre système. Au niveau de ce modèle, nous devons calculer le paramètre C en premier. Ce paramètre nous est nécessaire pour calculer les pertes de charge. Les coefficients de frottement pariétal sont définis de la manière suivante :

Equation 3 : $f_{pl}=K(\frac{J_lD_h}{\nu_l})^{-n}$

Equation 4 : $f_{pg}=K(\frac{J_gD_h}{\nu_g})^{-n}$

 

En écoulement laminaire n = 1, K=16 et en écoulement turbulent n = 1/4, K=0.079.

De manière à calculer le paramètre C, il faut d'abord s'intéresser au régime d'écoulement dans lequel on se trouve, que ce soit aussi bien au niveau du gaz que du liquide. Pour cela, il nous faut donc connaître les valeurs des Re.

Le tableau suivant montre la valeur du paramètre C en fonction des régimes d'écoulement. 

Liquide

Gaz

C

Turbulent

Turbulent

20

Laminaire

Turbulent

12

Turbulent

Laminaire

10

Laminaire

Laminaire

5

 

Le régime laminaire est défini pour un Reynolds inférieur à 2000 et le régime turbulent pour un Reynolds supérieur à 3000. Dans la zone de transition, il n'y a donc pas de corrélation. Dans nos simulations, le changement de régime occasionnait des discontinuités dans l'expression de la contrainte de frottement diphasique. Le problème a été résolu en utilisant le lissage proposé par Julien Hugon. Cette interpolation linéaire de C est une fonction de log(Rel) et/ou log(Reg). Lorsque une seule des deux phases est dans la zone de transition (cas le plus fréquemment rencontré), l'interpolation linéaire de C est de type C(Rel)=a*log(Rel)+b ou C(Reg)=a'*log(Reg)+b'.
 
A titre d'exemple, dans le cas où le gaz est en régime turbulent et le liquide en régime de transition, la corrélation utilisée est :
 
Equation 5 : $C(Re_l)=\frac{20-12}{log(3000)-log(2000)}*(log(Re_l)-log(2000))+12$
 
Dans le cas où les deux phases sont en zones de transition, on utilise deux interpolations linéaires de C du type C(Rel, Reg)=a*log(Rel)+b*log(Reg)+c, une pour le cas Rel>Reg et l'autre pour le cas Rel<Reg.
 
Après on peut calculer $\phi_l$ et $\phi_g$ :
 
Equation 6 : $\phi_l^2 = (1+\frac{C}{X}+\frac{1}{X^2})$
 
Equation 7 : $\phi_g^2=(1+CX+X^2)$
 
Pour calculer ces 2 paramètres, on a besoin de X :
 
Equation 8 : $X=\frac{J_l}{J_g}*\sqrt{\frac{\rho_l}{\rho_g}*\frac{f_{pl}}{f_{pg}}}$
 
On peut alors calculer les pertes de charge dans la phase liquide et la phase gazeuse.
 
Equation 9 : $(\frac{dp}{dz})_l = -\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_lJ_l^2}{2}$
 
Equation 10 : $(\frac{dp}{dz})_g = -\frac{S_p}{A}f_{pg}\frac{\rho_gJ_g^2}{2}$
 
On peut alors calculer les pertes de charge par frottement :
 
Equation 11 : $(\frac{dp}{dz})_{fr} = \frac{\tau_pS_p}{A}=\phi_l^2(\frac{dp}{dz})_l=\phi_g^2(\frac{dp}{dz})_g$
 
 

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Référence : [1]

 

Modèle de Baroczy

 

La corrélation de Baroczy consiste à exprimer la perte de charge par frottement diphasique en fonction de la perte de charge par frottement (dP/dz)l que l’on aurait si la phase liquide s’écoulait seule avec le même débit de masse que l’écoulement diphasique, $\dot{m}$. Pour cela, il faut pouvoir exprimer le coefficient multiplicatif $\phi_{l0}$ défini de la manière suivante :
 
Equation 12 : $\phi_{l0}^{2}= \frac{(dp/dz)_{fr}}{(dp/dz)_l}$
 
Pour cela, on va utiliser aussi la perte de charge par frottement (dP/dz)g que l’on aurait si la phase vapeur s’écoulait seule avec le même débit de masse que l’écoulement diphasique et introduire la variable Y définie de la manière suivante :
 
Equation 13 : $Y^2 = \frac{(dp/dz)_g}{(dp/dz)_l}$
 
$(dp/dz)_g$ et $(dp/dz)_l$ sont définis de la même manière que dans le modèle de Lockhart et Martinelli (voir équations 9 et 10).
 
Les deux phases s’écoulant seules, avec le même débit de masse que l’écoulement diphasique, auraient respectivement les vitesses moyennes vl = G/ρl et vg = G/ρg, à partir desquels on peut définir les nombres de Reynolds Revl et Revg . On a alors :
 
Equation 14 : $Y^2 = \frac{\rho_l}{\rho_g}(\frac{\mu_g}{\mu_l})^n$
 
Baroczy donne une expression de Φl0 à partir de nombreux points expérimentaux regroupant différents fluides. La corrélation qu’il obtient est graphique mais ses courbes ont par la suite été corrélées par Chisholm en 1973, qui a obtenu l’expression suivante :
 
Equation 15 : $\phi_{l0}^2 = 1+(Y^2-1)[Bx^{\frac{2-n}{2}}(1-x)^{\frac{2-n}{2}}+x^{2-n}]$

 

n est l’opposé de l’exposant de Revl que l’on a dans $f_pl$(Revl), soit n = 1 si l’écoulement liquide seul est laminaire (Revl < 2000) et n = 0.25 s’il est turbulent (Revl > 3000). Pour la zone de transition, on utilise dans le modèle la même valeur que dans le cas turbulent, soit n = 0.25. B est une variable dépendant de Y et de G dont l’expression varie en fonction de la valeur de Y :

 
Valeur de Y 0<Y<9.5 9.5$\leq$Y<28 28$\leq$Y
Expression de B $\frac{55}{G^{1/2}}$  $\frac{520}{YG^{1/2}}$  $\frac{15000}{Y^2G^{1/2}}$ 

Finalement, on peut calculer les pertes de charge par frottement :

Equation 16 : $(\frac{dp}{dz})_{fr} = \phi_{l0}^2(\frac{dp}{dz})_l$

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Référence : [4]

 

Modèle d'Awad

 

Le modèle d'Awad est un autre modèle empirique nous permettant de déterminer le frottement pariétal. On calcule d'abord le nombre de Reynolds de chaque phase :
 
Equation 17 : $Re_l = \frac{J_l D}{\nu_l}$ et  $Re_g = \frac{J_g D}{\nu_g}$
 
Les coefficients de frottement pariétal liquide et gazeux sont définis de la même manière que pour le modèle de Lockhart et Martinelli (voir équations 3 et 4). En fonction du régime, on en déduit la valeur du paramètre K et n :
 
Ecoulement laminaire => K=16 et n=1
 
Ecoulement turbulent => K=0.0079 et n=0.25
 
On calcule alors le X, le même que pour le modèle Lockhart et Martinelli :
 
Equation 18 :  $X=\frac{J_l}{J_g}*\sqrt{\frac{\rho_l}{\rho_g}*\frac{f_{pl}}{f_{pg}}}$
 
La définition de $\phi_l$ et $\phi_g$ change par contre.
 
Equation 19 : $\phi_l^2 = (1+(\frac{1}{X^2})^p)^{\frac{1}{p}}$
 
Equation 20 : $\phi_g^2 = [1+(X^2)^p]^{\frac{1}{p}}$
 
La valeur du paramètre p est difficile à déterminer. Elle varie en fonction des cas et généralement, elle est choisie comme le minimum de l’erreur RMS. Pour assurer des conditions de robustesse, nous prendrons p = 2/7. On peut alors calculer le gradient de pression liquide et gazeux.
 
Equation 21 : $(\frac{dp}{dz})_l = -\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_lJ_l^2}{2}$
 
Equation 22 : $(\frac{dp}{dz})_g = -\frac{S_p}{A}f_{pg}\frac{\rho_gJ_g^2}{2}$
 
Le gradient de pression par frottement nous est donné par la formule suivante.
 
Equation 23 : $(\frac{dp}{dz})_{fr} = \frac{\tau_pS_p}{A}=\phi_l^2(\frac{dp}{dz})_l=\phi_g^2(\frac{dp}{dz})_g$
 
Finalement, on peut voir que le modèle d’Awad reprend les mêmes équations que le modèle de Lockhart et Martinelli. Les seuls paramètres qui changent sont les facteurs diphasiques $\phi_l$  et $\phi_g$ . Au niveau de la méthode de calcul, elle est  aussi similaire à ce modèle ainsi que pour les résultats, de par les tests effectués.

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Référence : [8]

 

Modèle de perte de charge dans les coudes

Dans la littérature, nous avons déterminé le modèle empirique suivant pour les pertes de charge dans les coudes. $\Delta p_{rb}$ correspond à la perte de charge totale dans le coude pour un écoulement diphasique.

Equation 24 : $\Delta p_{rb} = \phi \Delta p_{sp}$

 

avec $\Delta p_{sp}$ perte de charge totale dans le coude en situation monophasique, exprimée de la manière suivante :

Equation 25 : $\Delta p_{sp} = K_{sp}\frac{G^2}{2\rho_l}$

Dans l'équation 25, $K_{sp}$ correspond au coefficient de perte de charge local pour un écoulement monophasique liquide. Pour estimer la valeur de $K_{sp}$, [Idelshik 1986] suggère l'expression suivante :

Equation 26 : $K_{sp}=f_{pl} \frac{L}{D}+0.294(\frac{R}{D})^{0.5}$

où R est le rayon de courbure et $f_{pl}$ le coefficient de frottement pariétal calculé par les modèles cités précédemment.

Le coefficient multiplicateur pour l'écoulement diphasique $\phi$ est donné par :

Equation 27 : $\phi = 1+(\frac{\rho_l}{\rho_g}-1)x[b(1-x)+x]$

Avec b exprimé de la manière suivante :

Equation 28 : $b = 1+\frac{2.2}{K_{sp}(2+\frac{R}{D})}$

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Référence : [3]

 

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