Modèles thermiques

Calcul des températures

Modèle convectif

Au niveau de notre géométrie, nous connaissons l'ensemble des flux constants dégagés par les composants électroniques. Cette chaleur créée est bien sûre dissipée par la vaporisation du fluide circulant au sein de l'évaporateur. Notre objectif consiste en la détermination de la température des différents composants. Pour cela, nous considérons que le fluide rentre dans l'évaporateur à sa température de saturation Tsat. L'intégralité du flux thermique servira à vaporiser le fluide réfrigérant. Localement, un bilan thermique nous donne :

Equation 1 : $G*C_p*dT = q \pi D dz$

Pour chaque pas d'espace, on obtient alors la valeur de la température à la paroi de notre évaporateur. De plus, on suppose que lorsque un changement d'état se produit au niveau du fluide, que les phases vapeur et liquide sont en équilibre thermodynamique. On peut alors accéder à l'évolution du titre massique le long de l'évaporateur :

Equation 2 : $\frac{dx}{dz}=\frac{4*q}{m*h_{lv}*D}$

Maintenant que nous connaissons l'évolution de la température de la paroi de notre évaporateur, nous sommes en mesure de déterminer l'évolution de la température des différents composants. En effet, un "circuit" de résistances thermiques permet de relier ces 2 températures. Au niveau de notre géométrie, les tubes cylindriques sont attachés à des ailettes. Ces ailettes sont elles-même en contact avec les composants en question. Nos composants, comme dit précédemment sont considérés comme des imitateurs qui dissipent l'énergie de manière homogène. Les différentes résistances prises en compte sont :

  • Une résistance de convection au niveau de l'échange fluide / paroi, déterminée par des modèles de coefficient d'échange thermique.
  • Une résistance de conduction entre la paroi des tubes et les ailettes. Cette résistance n'ayant pas encore été déterminée par Thales Aliena Space, nous avons réalisé une simulation sous Comsol de manière à en tirer un ordre de grandeur.
  • Une résistance de contact entre la semelle de l'évaporateur et l'imitateur qui vaut 2e-4 K.m2/W.
 
Ci-dessous, la figure nous montre un schéma de résistances thermiques. Ce schéma est juste là à caractère représentatif. En effet, certains composants englobent 9 tubes (3*3 tubes), et dans ce cas-là le sens de l'écoulement n'est pas le même au niveau des différents tubes recouverts par le composant (changement du signe de la gravité).

 

On peut néanmoins à partir de la figure précédente trouver comment calculer notre température de composant à partir de celle du fluide, toutes autres grandeurs étant connues.

Equation 3 : $T_{paroi} = T_{sat}+$$\frac{q}{h}$

Equation 4 : $T_{ailette} = T_{paroi} + R_{cond}*$$\frac{Q*3*n_{passages}*\pi D}{Ll^2}$

Equation 5 : $T_{composant} = T_{ailette} + R_{contact}*$$\frac{Q}{Ll}$

où Q représente la puissance dissipée par l'élément en W, l la largeur de l'ailette, L la longueur du composant et $n_{passages}$ le nombre de passages du fluide.

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Modèle conductif

Dans le cas où le film liquide a un écoulement laminaire (Rel<2000), on peut calculer la température de paroi à partir d'un modèle conductif.

On obtient ainsi l'équation suivante :

Equation 6 : $q_p = k_l\frac{T_p-T_{sat}}{\delta}$

avec $\delta$ l'épaisseur du film et kl la conductivité thermique du fluide.

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Modèles de coefficient d'échange convectif

Au niveau du coefficient d'échange convectif, nous avons décidé de tester tous les modèles à notre disposition s'appliquant au régime d'ébullition saturée. En effet, ce régime est celui qui est corrélé avec le régime annulaire, d'un point de vue thermique. Etant donné que dans l'évaporateur, l'essentiel du fluide sera sous cette forme là en diphasique, il est logique de s'intéresser à ces différents modèles. Lorsque le titre massique x -> 1, on sait que l'on se rapproche d'une situation monophasique. De manière à modéliser ce coefficient h, à la fois en régime homogène et monophasique on utilise la corrélation de Dougall et Rohsenow. Cette corrélation est donc utilisée dans le cas des régimes en post-crise d'ébullition.

Dans tous les modèles qui vont suivre, le titre massique est toujours calculé par le bilan d'enthalpie suivant :

Equation 7 : $x(z)= \frac{4q_p}{DGh_{lg}}(z-z_s)$

 

 

Modèle de Kandlikar

La corrélation de Kandlikar (1989) est décrite par l'équation suivante :

Equation 8 :

$h=h_l[C_1C_0^{C_2}(25Fr)^{C_5}+C_3Bo^{C_4}Fk]$

De manière à déterminer les différentes constantes de l'équation 13, il est nécessaire de s'intéresser à notre écoulement dans la région fluide. Pour cela, on va calculer divers nombres adimensionnels :

  • $C_0 = (\frac{1-x}{x})^{0.8}\sqrt{\frac{\rho_g}{\rho_l}}$
  • Le nombre de Bond $Bo = \frac{q}{GDh_{lg}}$
  • Le nombre de Froude $Fr = \frac{G^2}{\rho_l^2gD}$

Maintenant, nous pouvons déterminer les différents $C_i$ à partir de la valeur de $C_0$ :

 

 
$C_0$ < 0.65
Région convective
$C_0$ > 0.65
Région de l’ébullition nucléée
$C_1$
$C_2$
$C_3$
$C_4$
$C_5$
1.1360
-0.9
667.2
0.7
0.3
0.6683
-0.2
1058
0.7
0.3

$C_5=0$ pour les tubes verticaux et les tubes horizontaux quand Fr>0.04. Pour notre fluide, on a Fk = 1.4

Il ne reste plus qu'à calculer hl et on aura alors la valeur de h corrélée :

Equation 9 :

$h_l=0.023\frac{\lambda_l}{D}(\frac{G(1-x)D}{\mu_l})^{0.8} Pr^{1/3}$

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Référence : [1]

 

Modèle de Gunger et Winterton

Pour le modèle de Gunger et Winterton (1986), l'équation donnant h est :

Equation 10 :

$h=h_l[1+3000(\frac{q}{Gh_{lg}})^{0.86}+(\frac{x}{1-x})^{3/4}(\frac{\rho_l}{\rho_g})^{0.41}]$

La valeur de $h_l$ étant donnée par l'équation 9.

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Référence : [1]

 

Modèle de Schrock et Grossman

Le modèle de Schrock et Grossman (1959) détermine h par :

Equation 11 :

$h=7,39.10^3h_l[\frac{q}{Gh_{lg}}+0.00015(\frac{1}{X_{tt}})^{0.66}]$

$X_{tt}$ est déterminée par l'équation suivante et $h_l$ toujours par la n°9.

Equation 12 :

$X = \frac{1-x}{x}\sqrt{\frac{\rho_g f_{pl}}{\rho_l f_{pg}}}$

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Référence : [1]

 

Modèle monophasique

Au niveau du modèle monophasique, l'équation à résoudre est :

Equation 13 : 

$q = h_l (T_p-T_l(z))$

$T_l$ correspondant à la température du liquide dans notre système.

Dans notre cas d'étude, le chauffage est réalisé à flux q imposé. De manière à connaître $T_p$ il va nous falloir tout d'abord calculer la valeur de $h_l$. Une corrélation du Nusselt pour les écoulements internes forcés nous donne :

Equation 14 :

$Nu = \frac{h_l D}{\lambda_l}=0.0023(\frac{GD}{\mu_l})^{0.8} Pr^{1/3}$ soit $h_l = 0.0023\frac{\lambda_l}{D}(\frac{GD}{\mu_l})^{0.8} Pr^{1/3}$

Un bilan de chaleur sur l'écoulement de fluide dans le cylindre implique :

Equation 15 :

$T_l(z) - T_{le}=\frac{qS_p}{AGC_{pl}}(z-z_e)$

On peut finalement calculer la température de paroi :

Equation 16 :

$T_p(z)-T_l(z)=\frac{q}{h_l}$

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Référence : [1]

 

 

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