Adimensionnalisation et équations régissants le problème

Adimensionnalisation et équations régissants le problème

 

L'adimensionnalisation

  Cette technique consiste à faire apparaître des groupements de nombres qui n'ont pas de dimension dans les équations. Elle est très utilisée en mécanique des fluides, car les équations à résoudre sont complexes (dérivées partielles, non-linéarité, ... ). Selon la valeur des groupements, il est possible de déterminer les effets prépondérants dans le phénomène traité et ainsi de ne résoudre que les parties correspondantes dans les équations.

  L'adimensionnalisation permet aussi de présenter les résultats expérimentaux de façon à s'affranchir des paramètres spécifiques utilisés (les différentes propriétés des fluides, les conditions aux limites, ... ). De plus, deux écoulements ayant les mêmes nombres adimensionnels sont identiques, on appelle ça une similitude. Cela permet d'utiliser des résultats obtenus avec un fluide (de l'eau par exemple) pour prédire le comportement d'un autre fluide (un réfrigérant).

  Par exemple, les cartes de configuration peuvent être tracées en fonction de paramètres dimensionnels ou non. On remarque que les séparations sont plus marquées quand on utilise des nombres adimensionnels.

Carte de configuration dimensionnelle

Carte de configuration adimensionnelle

 

Equation de quantité de mouvement pour une phase

$$ \frac {\partial} {\partial t} \alpha_k \rho_k \overline{U_k} + \nabla \alpha_k \rho_k \overline{U_k} \overline{U_k} = \nabla (-\alpha_k \overline{P_k} \overline{\overline{I}} + \alpha_k \overline{\overline{ \Sigma_k^{\nu}}}) $$

$$ - \nabla \alpha_k \rho_k \overline { \overline { U_k' U_k' } } + \alpha_I ( -2 \overline { \sigma H \vec {n} } + \overline { \nabla_s \sigma } + \overline {J_{k'} U_{k'} } - \overline {F_{k'} }) $$

On adimensionne avec :

$ U_k = j_k U^*$

$ z = D z^*$

$ t = \frac {D}{j_k} t^* $

$ P = \frac {1}{2} \rho_k j_k^2 P^*$

$ \nabla = \frac {1}{D} \nabla^*$

$ \Sigma = \frac {1}{2} \rho_k j_k^2$

$ \alpha_I = \frac {1}{D} \alpha_i^*$

$H = \frac {1}{D} H^* $

$ J = \rho_k j_k J^*$

$ \overline{\nabla_s \sigma} $ sera négligé.

On obtient :

$$ \frac {\partial} {\partial t^*} \alpha_k  \overline{U_k^*} + \nabla^* \alpha_k \overline{U_k^*} \overline{U_k^*} = \nabla^* (-\alpha_k \overline{P_k^*} \overline{\overline{I}} + \alpha_k \overline{\overline{ \Sigma_k^{\nu *}}}) $$

$$ - \nabla^* \alpha_k \overline{\overline{U_k'^* U_k'^*}} + \alpha_I^*(-2 \frac {\sigma} {D \rho_k j_k^2} \overline{H^* \vec {n} }  + \frac {\rho_{k'} j_{k'}^2}{\rho_k j_k^2}(\overline{J_{k'}^* U_{k'}}^* - \overline{F_{k'}^*})) $$

On voit donc apparaître deux nombres adimensionnels : nombre de Weber, et le rapport de inerties des phases :

$$ We = \frac {D \rho_k j_k^2} {\sigma} $$

$$ \frac {\rho_g j_g^2}{\rho_l j_l^2} $$

 

Equation de la chaleur

$$ \frac {\partial} {\partial t} \rho_k R_k H_k + \frac {\partial} {\partial z} \rho_k R_k H_k U_k = \frac {q _{pk} S_{pk}} {A} +\frac {q _{ik} S_{i}} {A} - \dot{M}_k H _{ik} + R_k \frac {\partial P} {\partial t} + \xi \frac {\tau _ {ik} S_i U_i} {A}  $$

avec $ H_k = H _ {k, sat} + C_{pk} (T_k - T_{sat})$

On adimensionne avec :

$ U_k = j_k U^*$

$ \tau  = \frac { \mu_k V_k} { D} \tau ^*$

$ H_{k,sat} = \frac {H _{k, sat} ^*} {h _{lv}} $

$ (T_k - T _{sat}) = \theta_k (T_k - T_{sat}) $

$ q _{ik} = \frac {\lambda_k \theta _k}{D} q _{ik} ^*$

$ q _{pk} = q_p q_ {pk} ^* $

On obtient :

$$ \frac {\partial}{\partial t^*} R_k ( H_{k, sat} ^* + Ja_k (T_k - T_{sat})^*) + \frac {\partial}{\partial z^*} x_k ( H_{k, sat} ^* + Ja_k (T_k - T_{sat})^*) = $$

$$Bo \frac {q_{pk}^* S_{pk} D} {A} + \frac {Ja_k} {Pe_k} \frac {q_{ik}^* S_i S} {D} - \frac {dx_k}{dz^*} H_{ik}^* + Ec_k Ja_k (R_k \frac {\partial P^*} {\partial t^*}  + \frac {1} {Re_k} \xi \frac {\tau _ {ik}^* S_i U_i^*} {A} )$$

Les nombres adimensionnels sont :

$ Re_k = \frac {U_kD}{\nu_k} $ le nombre de Reynolds, $Pe_k = \frac {U_kD}{a_k}$ le nombre de Peclet, $Ja_k = \frac {C_{pk} \theta_k}{h_{lv}} $ le nombre de Jackob, $Ec_k = \frac {U_k^2}{C_{pk} \theta_k} $ le nombre d'Eckert et le nombre d'ébulition $ Bo = \frac {q_p} {Gh_{lv}}$.