Modèles à deux fluides

Les modèles à deux fluides

 

  Pour calculer les pertes de charges, ces modèles tiennent explicitement compte d'une contribution du liquide et d'une contribution de la vapeur.

  La plupart des modèles à deux fluides utilisent le concept de multiplicateur du gradient de pression liquide ($ \phi_l^2 $). Le problème se résume alors à déterminer $\phi_l^2$ après avoir calculer le gradient de pression liquide avec la corrélation de Blasius :

$$ \frac {dP}{dz}_ {liquide}= - \frac {2 f_l G^2}{\rho_l D}$$

$$ \frac {dP}{dz} _{total} = \phi_l^2 \frac {dP}{dz} _ {liquide} $$

Modèle de Lockart & Martinelli

  Ce modèle est l'un des plus vieux et des plus utilisé pour calculer les pertes de charges diphasiques. Il propose une méthode pour déterminer le multiplicateur du gradient de pression liquide. Cette corrélation a été établie pour des écoulements adiabatiques en tube de section cylindrique.

  Il utilise $ \chi $, le paramètre de Martinelli, qui compare la dissipation des deux phases :

$$ \chi = \frac {j_l}{j_g} \sqrt{ \frac {\rho_lf_l}{\rho_gf_g}} $$

  On définit des nombres de Reynolds basés sur les vitesses superficielles, puis on les utilise pour calculer les coefficients de friction afin d'obtenir $ \chi $. Une fois $\chi $ obtenu, on calcule $ \phi_l^2 $ le facteur de multiplication du gradient liquide pour obtenir la perte de charge. L'utilisation de $ \phi_l^2 $ a était reprise dans la plupart de modèle à deux fluides.

$$ Re = \frac {Dj_l} {\mu_l} $$

$$ \phi_l^2 = 1 + \frac {C} {\chi} + \frac {1} {\chi^2} $$

  Les valeurs du coefficient $ C $ sont données dans le tableau suivant

Liquide Gaz C
Turbulent Turbulent 20
Laminaire Turbulent 12
Turbulent Laminaire 10
Laminaire Laminaire 5

  Le graphe suivant compare les prédictions du modèle aux données expérimentales.

  Ce modèle ne donne pas de résultats satisfaisants, sa dispersion est très forte. Son écart moyen aux valeurs expérimentales est de 67%, avec un écart type de 127%.

 

Modèle de Friedel

  Ce modèle a été éléboré à partir d'une banque de 25 000 données. La masse volumique moyenne est la même que pour les modèle à un fluide. Ca gamme de validité est : $ \frac{\mu_l}{\mu_v} < 1000 $.

$$\frac {1}{\rho_m} = \frac {x}{\rho_g} + \frac {1 - x} {\rho_l}$$

$$\frac {1}{\mu_m} = \frac {x}{\mu_g} + \frac {1 - x} {\mu_l}$$

$$E = (1 - x)^2 + x^2 (\rho_l f_g / \rho_g f_l)$$

$$\phi_l^2 = E +3,43 x^{0,685} (1- x)^{0,314} (\rho_l/\rho_g)^{0,86} (\mu_g/\mu_l)^{0,73} (1 - \mu_g/\mu_l)^{6,84} Fr^{-0,0001} We^{-0,087} $$

avec $Fr= G^2 / (g D \rho_m^2)$ et $We = G^2 D / (\rho_m^2 \sigma)$

  Ce modèle ne donne pas de bon résultats en micro-gravité.

  Le graphe suivant compare les prédictions du modèle aux données expérimentales.

  Ce modèle ne donne pas de bons résultats, il capture mal la tendance. Son écart moyen aux valeurs expérimentales est de -16%, avec un écart type de 66%.

 

Modèle d'Awad

  Ce modèle utilise une méthode asymptotique pour prédire le gradient de pression. Il fait l'hypothèse qu'il n'y a pas de variation discontinue ou brutale du gradient de pression avec le titre vapeur. Le gradient de pression est donc un lissage entre une contribution du gaz et une contribution du liquide.

$$ \phi_l^2 = [1+ (  \frac {1} {\chi^2} )^p ]^{1/p} $$

  La constante $p$ de ce modèle a était calée avec des données expérimentales. Selon les cas, elle varie de à $ 1/2 $ à $ 1/4 $. Le modèle est le plus robuste pour une valeur $ p = 2/7 $.

  Le graphe suivant compare les prédictions du modèle aux données expérimentales.

  Ce modèle est le modèle à deux fluides qui donne les meilleurs résultats. Il est presque aussi bon que le modèle de Beattie et Whalley. Son écart moyen aux valeurs expérimentales est de 13%, avec un écart type de 72%.

 

Modèle de Müller-Steinhagen et Heck

  Ce modèle est senblable à celui d'Awad, mais il pondère differement les contributions liquide et gaz.

$ \frac {dP}{dz} _ {liquide}= - \frac {f_l G^2}{2 \rho_l D} = A $ et $ \frac {dP}{dz} _ {gaz}= - \frac {f_g G^2}{2 \rho_g D} = B $

avec, dans ce cas précis : $f_k = \frac {64}{Re_k}  $ si Re < 1187 et $f = \frac {0.3164}{Re ^ {0.25}} $ si Re > 1187 et $ Re_k = \frac {Gx_k D}{\mu_k} $

$$ K= A + 2(B-A)x $$

$$ \frac {dP}{dz}= K(1-x)^{1/C} + Bx^C $$

  Avec $C$ une constante calée sur des valeurs expérimentales, les auteurs conseillent d'utiliser $C = 3 $.

  Le graphe suivant compare les prédictions du modèle aux données expérimentales.

  Ce modèle ne donne pas de résultats satisfaisants. Son écart moyen aux valeurs expérimentales est de -63%, avec un écart type de 45%.