Régime d'ébullition saturé

Régime d'ébullition saturée

 

 

 

Notations et définitions

On introduit les grandeurs suivantes qui seront réutilisées dans les modèles décrits ci après :

  • le nombre d'ébullition qui apparait lors de l'adimensionnalisation de l'équation d'enthalpie  :

$$Bo = \frac {q} {G h_{lg}} $$

  • le nombre de Froude qui apparait dans les équations de quantité mouvement :

$$Fr = \frac {G^2} {\rho_l^2 g D}$$

  • le coefficient de transfert thermique de la phase liquide déterminé à partir de la corrélation de Dittus Boetler (1930) pour des écoulements turbulents:

$$h_l = 0,023 \frac {\lambda_l} {D} (Rel)^{0,8} Pr^{1/3}$$

  • le Reynolds liquide basé sur le flux de masse et le taux de vide : $$R_{el}= \frac {G(1-x) D} {\mu_l}$$
  • le Prandtl liquide : $$Pr= \frac {\mu_l    Cp} {\lambda}$$
  • le paramètre de Martinelli basé sur les masses volumiques et les coefficients de friction : $$X_{tt} = \frac {1-x} {x} \sqrt{\frac{\rho_g   f_{pl}} {\rho_l    f_{pg}}}$$

 

 

Modèle de Chen

Chen (1963,1966) a proposé la première corrélation pour de l'évaporation en tube vertical pour une large gamme de validité. Il a considéré le coefficient de transfert thermique de l'écoulement diphasique h comme la somme du coefficient de transfert thermique lié au phénomène de nucléation et au phénomène de convection.

Dans son modèle, il a supposé que le gradient de température imposé par les conditions de convection forcée supprimait une partie des sites de nucléation, réduisant ainsi le coefficient de transfert thermique associé à ce phénomène. De plus, la vapeur formée par l'évaporation augmente la vitesse du liquide, le taux de vide augmentant, le coefficient de transfert thermique associé devient ainsi plus important, grâce à une turbulence plus élevée, que si l'écoulement était monophasique. 

Le coefficient de transfert thermique peut ainsi être modélisé de la sorte : $ h = S h_n + F h_l$

  • avec $h_n$ le coefficient de transfert thermique associé au phénomène de nucléation. On utilise pour cela la corrélation d'ébullition en cuve de Forster et Zuber (1955) :

$$ h_n = 0,00122 [ \frac {k_l^{0,79} C_{pl}^{0,45} \rho_l^{0,49}} {\sigma^{0,5}  \nu_l^{0,29}  h_{lg}^{0,24} \rho_g^{0,24}} ] (T_p - T_{sat})^{0,24} (\rho_{sat}(T_p) - \rho_l)^{0,75} $$

  • avec S le facteur de suppression des sites de nucléation :

 $S =\frac {1} {[ 1 + 2,53.10^{-6} [R_{el} F (X_{tt})^{1,25}]^{1,17}]}$

  • avec F le coefficient multiplicateur qui représente l'augmentation du coefficient de transfert thermique par rapport à un écoulement monophasique :

 $F(X_{tt}) = 2,35 [0,213 + \frac {1} {X_{tt}}]^{0,736}$ pour $X_{tt}^{-1} >0,1$ et  $F(X_{tt}) = 1$ sinon

 

Remarque : d'autres expressions sont proposées sous l'appellation corrélation de Chen, dans la plupart des cas, le coefficient de Martinelli et le paramètre  $X_{tt}$ n'ont pas la même expression. On retrouve ainsi dans le livre de John R.Thome les expressions :

$X_{tt}= (\frac {1-x} {x})^{0,9} (\frac {\rho_g} {\rho_l})^{0,5}(\frac {\mu_l} {\mu_g})^{0,1}$ et $F(X_{tt}) = (\frac {1} {X_{tt}} + 0,213)^{0,736}$ 

Cette deuxième expression est représentée par Chen 2 dans le graphique.

Pour la première et deuxième expression, l'écart moyen aux valeurs expérimentales est de -23,1 et -45,8 et l'écart type de 14,5 et 17,2 respectivement.

 

Modèle de Kandlikar

Kandlikar a proposé la corrélation suivante pour une vaste gamme de fluides et de régimes  pour des écoulements diphasiques dans des tubes verticaux et horizontaux :

$$ h = h_l [C_1 C_0^{C_2} (25Fr)^{C_5} + C_3 B_0^{C_4} F_k] $$

Ce modèle est basé sur le calcul de coefficients dépendant du paramètre $C_0= (\frac {1-x} {x})^{0,8} \sqrt{\frac {\rho_g} {\rho_l}}$, qui est inférieur 0,65 pour les essais menés avec le HFE-7000. Les valeurs de ces coefficients sont données dans le tableau ci dessous :

 

$C_0$ < 0,65

(région convective)

$C_0$ >0,65

(région de nucléation)

$C_1$ -1,1360 0,6683
$C_2$ -0,9 -0,2
$C_3$ 667,2 1058,2
$C_4$ 0,7 0,7
$C_5$ 0,3 0,3

et $C_5 =0$ pour les écoulements verticaux ainsi que pour les écoulements horizontaux pour des Froudes liquides supérieurs à 0,04.

 

$F_k$ est un coefficient dépendant du fluide utilisé et la valeur de ce paramètre pour quelques fluides est résumée dans le tableau ci dessous :

Fluide $F_k$
Eau 1.00
R-113 1.30
R-114 1.40
Azote 4,70

N'ayant pas accès à la valeur de $F_k$ pour le HFE-7000, nous prendrons celle du R-123 dont les propriétés sont proches.

Dans notre cas d'étude, $C_5=0$, ce coefficient nul rend le calcul de h indépendant de la gravité, qui intervient dans le nombre de FroudeCe qui revient dans notre cas d'étude à:

 $ h = h_l [C_1 C_0^{C_2} + C_3 Bo^{C_4} Fk]$

L'écart moyen aux valeurs expérimentales est de -19,5 et l'écart type de 14,2. Cependant, ses valeurs dépendent assez sensiblement du coefficient $F_k$, ne connaissant pas sa valeur pour le HFE-7000, nous recommandons d'utiliser pour ce fluide le modèle de Gungor et Winterton.

 

Modèle de Gungor et Winterton

Gungor et Winteron (1986) proposent une nouvelle forme du modèle de Chen en utilisant une base de données de 3693 points pour l'eau, des réfrigérants (R-11, R-12, R-22, R-113 et R-114) ainsi que l'éthylène pour des écoulements verticaux majoritairement ainsi que quelques écoulements horizontaux. De même que pour le modèle de Chen, ils considèrent que le coefficient de transfert thermique de l'écoulement est la somme des coefficients de transfert thermique de la nucléation et de la convection :

$$ h = E   h_l + S   h_{nb} $$

  • avec $h_{nb}$ qui est obtenu par la corrélation de Dittus-Boetler (1930) en prenant la fraction liquide de l'écoulement et en utilisant l'équation de Copper (1984b) pour déterminer le coefficient d'ébullition nuclée en cuve. Son expression est la suivante :

$h_{nb} = 55 P_r^{0,12} (-0,04343 lnP_r)^{-0,55} M^{-0,5} q^{0,67}$

où M est la masse molaire, $P_r$ est la pression réduite qui est le ratio de la pression de saturation $P_{sat}$ sur la pression critique $P_{crit}$.

  • avec E le coefficient multiplicateur qui représente l'augmentation du coefficient de transfert thermique par rapport à un écoulement monophasique qui est fonction du paramètre de Martinelli ainsi que le flux de chaleur via le nombre d'ébullition $Bo$ :

$E = 1 + 24000 Bo^{1,16} + 1,37 (\frac {1} {X_{tt}})^{0,86}$

  • avec S le facteur de suppression de sites de nucléation :

$S = [1 + 0,00000115 E^2 Re_L^{1,17}]^{-1}$

Par rapport aux valeurs expérimentales obtenues, la précision des résultats obtenus avec cette corrélation est plus ou moins 21,4% contre 57,7% pour le modèle de Chen.

 

Gungor et Winterton (1987) ont proposé une année plus tard une version plus simple de leur corrélation en ne prenant en compte que la contribution convective :

$ h = E_n h_l$ avec $E_n =[1 + 3000 (\frac {q} {G h_{lg}})^{0,86} + (\frac {x} {1-x})^{3/4} ( \frac {\rho_l} {\rho_g})^{0,41}]$

La précision des résultats obtenue est très proche de l'ancienne corrélation et s'est parfois révélée meilleure, comme pour le cas du R-134.

L'écart moyen aux valeurs expérimentales est de -24,0 et l'écart type de 17,1.

 

Modèle de Schrock et Grossman

Schrock et Grossman (1959) proposent la corrélation suivante pour les écoulements verticaux ascendants pour l'eau :

$$ h = 7,39 10^3 h_l [B_o + 0,00015 (\frac {1} {X_{tt}})^{0,66}]$$

L'écart moyen aux valeurs expérimentales est de -52,9 et l'écart type de 15,3.

 

Modèle sans arrachage

  Ce modèle est un modèle théorique qui permet, à partir du taux de vide en entrée de déterminer toutes les grandeurs de l'écoulement. Pour cela, il suffit de calculer l'incrément de taux de vide donné par le modèle et d'utiliser un schéma de résolution Eulérien.

$X= \frac {j_l} {j_g} \sqrt {\frac {\rho_l f_{pl}} {\rho_g f_{pg}}}$

$R_g = (1 + X^{0,8}) ^{-0,378}$

$R_l = 1 - R_g$

$$ \frac {d R_g} {d z} G^2 (\frac {R_l x^2} {\rho_g R_g^2} + \frac {R_g (1 -x )^2} {\rho_l R_l^2}) = - \sqrt{R_g} \frac {\tau_{ig} 4} {D}  + R_g \frac {\tau_p   4} {D} - (\rho_l - \rho_g) R_g R_l g + G^2 \frac {d x} {d z} (\frac {2 x R_l} {\rho_g   R_g} + \frac {(1 - x) (2 R_g - 1)} {\rho_l   R_l})$$ avec

  • $\tau_i = -1/2 f_i \rho_g |U_g - U_l| (U_g - U_l)$, le frottement interfacial estimé d'après Wallis (1969)
  • $f_i = 0,005 (1 + 300 \frac {\delta} {D}) = 0,005 (1 + 150 (1- \sqrt{R_g}))$, le coefficient de frottement interfacial
  • $\tau_p = - \frac {1} {2} f_pl \rho_l U_l^2$
  • $f_pl = C Re_l^{-n}$

L'écart moyen aux valeurs expérimentales est de 59,0 et l'écart type de 198,6.