Régime d'ébullition sous refroidi

Régime d'ébullition sous refroidi

 

 

 

Notations et définitions

On réutilise dans cette partie les grandeurs présentées dans la partie précédente "Régime d'ébullition saturé".

Le Reynolds liquide s'écrit ici $Re= \frac {G D} {\mu_l}$ puisque le titre en entré est nul et très faible en sortie.

$P_r$ la pression réduite qui correspond au rapport de la pression de saturation sur la pression critique.

 

Modèle de Rohsenow

On suppose ici que le flux total peut se décomposer en deux flux associés au phénomène de nucléation et de convection. On suppose également que ces deux phénomènes agissent en parallèle et de manière indépendante. On pose ainsi $q = q_n + q_c$ avec les indice n et c désignant les deux phénomènes mis en jeu. La détermination des différents flux permettra d'estimer les coefficients de transferts thermiques associés.

Rohsenow propose de calculer le coefficient de transfert thermique associé à la convection en utilisant une relation de type Nusselt :

$$Nu = \frac {h D} {\lambda_l} = 0,023 Re^{0,8} Pr^{0,4}$$

Ce qui revient à utiliser la corrélation de Dittus Boetler présentée précédemment.

Le flux associé à la nucléation est déterminé à l'aide de la relation suivante :

$$q_n = \mu_g h_{lg} [\frac {g (\rho_l - \rho_g)} {\sigma}]^{1/2} Pr^{-5} [\frac {Cpl (Tp-Tsat)} {Csf    h_{lg}}]^3$$

Le paramètre Csf est un coefficient d'intéraction entre un couple liquide/solide, le HFE-7000 et le saphir dans notre cas. Sa valeur est répertoriée dans des tables et généralement connue pour des couples eau/métal.  

Le coefficient de transfert peut ainsi être estimé avec l'aide de la température de paroi et de saturation :

$$h_n = \frac {q_n} {Tp-Tsat}$$

Une fois que les deux coefficients de transferts thermiques sont connus, le h total est donné par une relation du type : $h= (h_c^p+h_n^p)^{\frac {1} {p}}$ avec p=2 pour la corrélation de Kutateladze (1961) et p=3 pour la corrélation de Steiner et Taborek.

Quand la température de la paroi augmente, le coefficient de transfert thermique associé à la nucléation devient prédominant par rapport à celui associé à la convection, $h_n$ se rapproche ainsi de h. De même quand la température de paroi est proche de la température de saturation, $h_n$ tend vers 0 et $h_c$

Ne connaissant pas la valeur de Csf, nous avons optimisé sa valeur afin de réduire les marges d'erreur entre les valeurs de h théoriques et les valeurs expérimentales. Bien que ces deux coefficients de transferts thermiques soient sensiblement proches, la somme des deux flux calculés est deux fois supérieure au flux total. Le calcul du flux associé à la convection étant le plus précis, ce dernier est soustrait au flux total afin d'obtenir qn avec lequel on peut désormais évaluer Csf, ce qui nous permet de vérifier la valeur utilisée précédemment. Suivant les essais, Csf vaut approximativement 1,3 ou -2, qc étant parfois supérieur à q, ce qui n'est pas physique, ce biais vient probablement d'un bruit de mesure. La valeur moyenne de Csf pour les valeurs prises positives est de 1,4. L'ordre de grandeur n'étant pas bon, on utilisera le flux de nucléation déduit de l'égalité des flux et on remontera ainsi à hn.

Pour la corrélation de Kutateladze et celle de Steiner et Taborek, on obtient respectivement un écart moyen aux valeurs expérimentales de -9,4 et -14,5 et un écart type de 11,6 et 12,7. Etant donné que nous n'avons pas utilisé la valeur de Csf et que nous nous sommes appuyés sur les données expérimentales pour trouver ces résultats nous conseillons d'utiliser le modèle asymptotique.

 

Modèle asymptotique

Ce modèle considère également les phénomènes de nucléation et de convection pour estimer le coefficient de transfert thermique global, dont l'expression est la suivante :

$$ h =[(h_{n,o}    F_{nb})^p + (h_c    F_{tp} )^ p  ]^{1/p}$$ où

  • $h_{n,o}$ le coefficient local de nucléation pour un flux de référence $q_0$ (égal à 20000 W/m²/K dans notre cas) pour une pression réduite $P_r$ (ici égale à 0,1).
  • $F_{nb}$ est le coefficient correcteur de nucléation, qui n'est pas un facteur de suppression des sites de nucléation comme dans le modèle de Chen, puisqu'on est en présence d'un modèle asymptotique.
  • $F_{tp}$ est un coefficient qui modélise une convection plus importante dans le cas diphasique, dûe à une vitesse liquide plus élevée, que dans le cas monophasique.
  • $h_c$ est le coefficient de transfert thermique associé à la convection.

 

Le coefficient de transfert thermique $h_{n,o}$ est une valeur de référence pour un flux donné sous une pression réduite connue pour un fluide donné, la valeur de quelques fluides est donnée dans le tableau ci dessous :

Fluide $P_crit$ M $q_o$ $h_{n,o}$
Eau 220,6 18,02 150000 25580
R-113 34,1 187,4 20000 2180
R-114 32,6 170,9 20000 2460
R-123 36,7 152,9 20000 2600

Ne possédant d'information sur le HFE-7000, nous prendrons comme précédemment le réfrigérant R-123 dont les propiétés sont proches.

Le coefficient correcteur de nucléation est basé sur la pression réduite, le flux de chaleur, le diamètre du tube, la rugosité et la masse molaire comme suit :

$$F_{nb} = F_{pf}    (\frac {q} {q_0})^{nf} (\frac {d_i} {d_{i,o}})^{-0,4} (\frac {R_p} {R_{p,o}})^{0,133} F(M)$$ avec

  • $F_{pf}$ le facteur correctif de pression, valable pour des pressions réduites inférieures à 0,95, prenant en compte l'augmentation du coefficient de transfert thermique associé à la nucléation.

$$F_{pf} = 2,816 P_r^{0,45} + [3,4 + (\frac {1,7} {1-Pr^7})] Pr^{3,7}$$

  • l'exposant de nucléation $n_f$ donné par : $n_f = 0,8 - 0,1 exp ( 1,75 Pr)$
  • F(M), le facteur de correction de masse molaire résiduelle dont l'équation, valable pour des masses molaires comprises entre 10 et 187 g/mol, est pour tout fluide non cryogénique :

$$F(M) = 0,377 + 0,199 ln(M) + 0,0000028427 M^2$$

 

La corrélation de Gnielinski permettant d'estimer $h_c$ est la suivante :

$$ h_c = \frac {(f_l / 8)(Re - 1000) Pr \lambda_l} {D (1+ 12,7 (f_l / 8)^{1/2} (Pr^{2/3}-1))}$$

avec $f_l$ le facteur de friction de Fanning donné par la relation :

$$f_l = [0,7904 ln(Re) - 1,64]^{-2}$$

Cette expression est valable pour des Reynolds compris entre 4000 et 5000000 et des Prandtl compris entre 0.5 et 2000 pour des écoulement monophasiques.

 

Le coefficient $F_{tp}$ pour des titres inférieurs aux titres critiques est obtenu avec l'équation suivante :

$$F_{tp} = [(1-x)^{1.5} + 1,9 x^{0,6} (\frac {\rho_l} {\rho_g})^{0,35}]^{1,1}$$

Le coefficient $F_{tp}$ est bien estimé pour un ratio $(\rho_l / \rho_g)$ compris entre 3,75 et 5000 et tend vers 1 quand x tend vers 0, comme c'est le cas ici pour le régime d'ébullition sous refroidi.

Pour la corrélation de Kutateladze et celle de Steiner et Taborek, on obtient respectivement un écart moyen aux valeurs expérimentales de -34,8 et -38,3 et un écart type de 20,3 et 21,0.