Contribution des différentes forces

Étude avec écoulement vertical ascendant

Contribution des différentes forces


Un travail préliminaire peut être de tracer les différentes forces pour les 2 axes pour se rendre compte de la contribution des forces en présence.

La figure ci-dessous décrit les forces présentes sur l’axe parallèle à la paroi en fonction de la variation de rayon.

On voit assez clairement que la force de traînée et la force d’Archimède généralisée sont les 2 forces les plus importantes du bilan sur cet axe.

On peut, de même, tracer les forces sur l’axe perpendiculaire à la paroi en fonction du rayon pour se rendre compte de la nette prépondérance de la force de portance qui va avoir tendance à décrocher la bulle de la paroi.

Intéressons-nous maintenant au système d’équation écrit précédemment. Ces 2 équations non linéaires et couplées (puisqu’elles dépendent toutes 2 des angles α et β) peuvent se mettre sous forme adimensionnées, ce qui va nous permettre de faire ressortir les nombres adimensionnels importants.

Les plus importants sont le nombre de Reynolds de la bulle que nous avons déjà évoqué, le nombre de Weber qui compare les forces d’inertie et la tension de surface, le nombre de Froude qui compare les effets inertiels à ceux de la gravité et le nombre d’Eötvös qui est le rapport entre la gravité et les effets de tension de surface :

$$We = \frac{\rho_l U_l^2 R}{\sigma}$$

$$Fr = \frac{\rho_l U_l^2}{(\rho_l - \rho_b) g R}$$

$$Eo = \frac{(\rho_l - \rho_b) g R^2}{\sigma}$$

 

Le système peut alors s’écrire de façon plus synthétique :

$$ \frac{4}{3}Eo - f_x(\alpha , \beta) + \frac{1}{2} C_d We (1 - C sin \theta)^2 + 6.544 We C (1 - \frac{2}{3} C sin \theta) = 0$$

$$-f_y(\alpha , \beta) + \frac{1}{2} C_l We (1 - C sin \theta)^2 - 4.757 We C^2 cos \theta = 0$$

$$ \textrm{avec C} = \frac{K Ja²}{Pr Re_b} $$

Écrire le système d'équation de manière adimensionnalisée permet de faire varier les conditions de pression et de température mais de garder un caractère générique et le sens physique si l'on conserve la valeur des nombres sans dimensions.

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