Equations bilans

 

Étude avec écoulement vertical ascendant

Équations bilans


Présentation de l'étude

Nous allons maintenant établir les équations qui régissent le mouvement de la bulle lorsqu’elle se forme sur la paroi en présence d’un écoulement. Pour cela, on applique le principe fondamental de la dynamique où notre système est la bulle soumis à un champ de vitesse:

$$\sum \vec{F_{ext}} = m \frac{d \vec{V}}{dt}$$

Le vecteur V est bidimensionnel et modélise la vitesse bidimensionnelle de la bulle. On peut distinguer plusieurs phases dans la dynamique de la bulle. Tout d’abord, celle-ci va se former sur la paroi grâce aux sites de nucléation avant de grossir. Après cette deuxième étape, selon la dynamique de la bulle, soit elle va se détacher à cause de la force de portance ou alors elle va glisser sur la paroi dû fait des forces capillaires qui vont devenir prépondérantes.

Nous nous plaçons dans le cas du schéma simplifié ci-dessous :

Nous allons considérer dans cette étude le régime permanent d’où : 

$$\sum \vec{F_{ext}} = m \frac{d\vec{V}}{dt} = 0 $$

Les principales forces qui s’appliquent sur notre système sont :

  • La force d’Archimède généralisée (comprenant la force de pesanteur et la pression hydrostatique) suivant l’axe x ;
  • La force de traînée suivant l’axe x ;
  • La force de portance suivant l’axe y ;
  • Les forces capillaires suivants les 2 axes x et y ;
  • Les forces d’inertie et de masse ajoutée (comprenant la force de Cheng) appliquées sur les 2 axes x et y.

Nous avons choisi de ne pas considérer une force dont la contribution est négligeable : la force de Basset.

 

Mise en équations

Nous définissons 2 fonctions fx(α , β) et fy(α , β) non linéaires en α et β :

$$f_x(\alpha , \beta) = 1.25 \frac{\alpha - \beta}{\pi^2-(\alpha - \beta)^2}(sin \alpha + sin \beta)^2$$

$$f_y(\alpha , \beta) = - \frac{cos \alpha - cos \beta}{\alpha - \beta} (sin \alpha + sin \beta) - \frac{(sin \alpha + sin \beta)^2}{2}$$

La vitesse notée Ul correspondant au champ de vitesse en proche paroi peut être définie par la relation suivante de Reichards :

$$U_l(y) = u^* \huge ( \normalsize \frac{1}{\kappa} ln(1 + \kappa \frac{y u^*}{V_l}) + c \huge [ \normalsize 1 - exp(-\frac{\frac{yu^*}{V_l}}{\chi}) - \frac{\frac{yu^*}{V_l}}{\chi} exp (\frac{-0.33 y u^*}{V_l})\huge ])$$

Avec χ=11, κ=0,41 et c=7,4.

Cette relation est très usitée car elle peut s’appliquer à tout type d’écoulement. En effet, cette expression prend en compte toutes les zones de la couche limite : zone tampon, buffer et zone logarithmique.

La vitesse de frottement u* peut être estimée à partir de la relation de Petukhov:

$$u* = U_{l, bulk} (\frac{1}{2.236 ln(Re_l) - 4.639})$$

Et Ul,bulk la vitesse de l’écoulement liquide globale.

A noter la définition du nombre de Reynolds de la phase liquide qui caractérise le régime d’écoulement et qui permet de calculer u* :

$$Re_l = \frac{2R U_{l_bulk}}{V_l}$$

Les forces de traînée et de portance font apparaître les coefficients Cd (drag coefficient) et C(lift coefficient).

Ces coefficients dépendent d’un nombre de Reynolds associé à la bulle Reb. Ces coefficients, à travers leurs expressions, dépendent aussi de la forme de la bulle. Les expressions empiriques suivantes sont applicables pour une bulle de forme sphérique.

$$Re_b = \frac{R U_l}{V_l}$$

D'où

$$C_d(Re_b,S_r) = (\frac{16}{Re_b}) \huge ( \normalsize1+\frac{3}{2} \huge[ \normalsize\frac{12}{Re_b}+0.75(1+\frac{3.315}{Re_b^{1/2}})\huge] \normalsize^{-1} \huge ) \normalsize (1+0.55 S_r^2)$$

Concernant la force de portance, celle-ci peut se décomposer en 2 termes :

  • La portance classique à laquelle est soumis tout corps dans un écoulement
  • Un effet d’aspiration lié à la proximité de la bulle sur la paroi

Nous choisissons dans la littérature des expressions empiriques pour le coefficient de portance. Ces expressions ont été proposées par Legendre et Magnaudet [8]. On distingue ainsi un coefficient CL pour des petits nombres de Reynolds (inférieurs à 100) et pour des grands nombres de Reynolds (de l’ordre de quelques centaines) :

$$C_L^{low Reb} (Re_b,S_r) = \frac{6}{\pi^2} \frac{2.255}{\sqrt{Re_b S_r} (1+0.2 \frac{Re_b}{S_r})^{3/2}}$$

$$C_L^{high Reb} (Re_b) = \frac{1}{2} (\frac{1+16/Re_b}{1+29/Re_b})$$

Les 2 coefficients dépendent d’un paramètre que l’on notera Sr 

$$S_r = \frac{2\omega R}{|U_l - U_b|}$$

Où ω est la vorticité de l’écoulement que l’on calcule comme étant la dérivée du champ de vitesse de l’écoulement Ul. A noter que le paramètre Sr n’a de sens que s’il est compris entre 0 et 1.

L’effet d’aspiration ou « Bernoulli Suction » a été mis en évidence et étudié par Van Helden [5]. Nous allons voir quelle peut être l’influence de l’aspiration à notre cas d’étude.

Au vu des résultats expérimentaux présentés dans l’étude de Legendre & Al [8qui utilise le formalisme de Van Helden, nous pouvons, à l’aide de fonctions de la toolbox «cftool» de Matlab, en déduire une relation empirique pour le coefficient de portance :

$$C_L(Re_b) = -0.048*exp(0.0034*Re_b)+0.648*exp(-0.07589*Re_b)$$

Nous pouvons alors tracer l’évolution de la force de portance en fonction du nombre de Reynolds et surtout la comparer avec la contribution « classique » à la force de portance :

 

Bien qu’inférieure, la contribution par effet d’aspiration ne semble pas à négliger devant l’effet « classique » de la force de portance. En effet, nous avons vu précédemment que c’était la force de portance qui allait entraîner le phénomène de détachement de la bulle de la paroi.

Nous inclurons donc cette contribution dans nos codes développés durant le BEI. On peut remarquer que, pour des grands nombres de Reynolds, cette force devient négative, c'est-à-dire qu’elle joue un rôle attractif pour la bulle vers la paroi et non répulsif.

Nous ajouterons donc par la suite les 2 forces et on désignera par Cle coefficient global lié à la force de portance.

Ainsi, on peut écrire le système d’équations qui régit la dynamique de la bulle :

Suivant x :

$$-(\rho_l - \rho_b) \frac{4}{3} \pi R^3 g - \pi \sigma R f_x(\alpha , \beta) + \frac{1}{2} \rho_l C_d \pi R^2(U_l - \dot{R} sin \theta)^2$$

$$+ 6.544 \rho_l \pi R^2 (U_l \dot{R} - (\dot{R}^2 + \frac{R \ddot{R}}{3}) sin \theta) = 0 $$

Cette équation gouverne le détachement des bulles de leur site actif de nucléation ainsi que le glissement de celles-ci sur la paroi.

Suivant y :

$$-\pi \sigma R f_y(\alpha , \beta) + \frac{1}{2}\rho_l C_l \pi R^2(U_l - \dot{R}sin \theta)^2 - 1.784 \frac{4}{3}\pi cos \theta (3 R \dot{R}^2+R^3 \ddot{R}) $$

$$+ \frac{2}{3} \rho_l \pi R^3 (\frac{\dot{R}^2}{R}+\ddot{R}) = 0 $$

Cette équation gouverne le phénomène de décollage de bulle.

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Nous vous invitons à consulter la deuxième partie de cette étude.