Présentation et équations

Étude sans écoulement: fluide au repos

Présentation et équations


 

Nous allons dans un premier temps, nous intéresser à un cas test où la bulle d’air n’est pas soumise à un écoulement et se forme sur une paroi horizontale. Nous nous intéressons à ce cas car nous connaissons la solution expérimentale où l’on doit trouver que l’équilibre est atteint pour des angles α et β égaux. Cela nous permettra de valider les expressions de certaines forces importantes telles l’expression de la force capillaire et de la force d’Archimède généralisée.

Lors du phénomène d’ébullition nucléé à la paroi, on observe la croissance de la bulle jusqu’à atteindre un rayon de détachement ou « lift off ». Ce phénomène sur des parois chauffantes est dû aux cavités qui créent des sites de nucléation qui sont nécessaires à l’apparition des bulles. Jusqu’à l’instant de décollement, les forces appliquées sur la bulle se compensent. Le déséquilibre sera atteint lors du décollement.

Le rayon de la bulle suit une loi en racine carré qui dépend d’un nombre adimensionnel important dans les phénomènes de transfert de chaleur lors de changement de phase : le nombre de Jacob Ja:

$$ R(t) = K J_a \sqrt{\eta t}$$

K étant une constante proche de l’unité et qui dépend des propriétés thermiques et η la diffusivité thermique du liquide (m²/s).

Nous pouvons alors tracer l’évolution du rayon de la bulle en fonction du temps :

 

Soient ρl et ρb  les masses volumiques respectives du liquide et de la bulle (en kg/m3), Tw la température de la paroi (en K), Tsat la température d’ébullition du fluide à la pression considérée (en K), Cpl la capacité calorifique du liquide (en J/kg/K) et hlv la chaleur latente de vaporisation. Cette chaleur exprimée en J/kg est l’énergie qui doit être apportée pour passer de l’état liquide à l’état gazeux. Finalement σ est la tension de surface entre la bulle et le liquide en N/m.

L’expression du nombre de Jacob fait apparaître l’écart de température entre la température de la paroi (ou mur) chauffante et la température d’ébullition (ou de saturation) :

$$J_a = \frac{\rho_l C p_l (T_w - T_{sat})}{\rho_b h_{lv}}$$

 

Appliquons alors sur la bulle le principe fondamental de la statique:

$$  \sum  \vec{F_{ext}}  = 0$$

Sans écoulement, les trois forces impliquées dans ce bilan sont :

  • La force d'Archimède : $$F_A=(\rho_l-\rho_b) \frac{4}{3} \pi R^3 g$$
  • Les forces capillaires comprenant les forces de tension superficielles et les forces de contact: $$F_C = -2\pi \sigma Rsin^2\alpha = -2\pi \sigma R sin^2 \beta$$ Avec dw le diamètre du pied de bulle (ou diamètre de contact), estimé à dw = 2.R.sinβ (nous supposons ici que la bulle est une sphère parfaite, tronquée à sa base). Nous nous basons sur les travaux de Thorncroft & Al [7] (voir Bibliographie)
  • Les forces de masse ajoutée ou d'inertie dues à la bulle qui déplace une masse de fluide lors de son expansion : $$F_C = -1.784 \frac{4}{3} \pi cos \theta (3 R  \dot{R}^2 + R^3 \ddot{R}) + \frac{2}{3} \rho_l \pi R^3 (\frac{\dot{R}^2}{R} + \ddot{R})$$

Avec R le rayon de la bulle qui évolue au cours du temps, sa dérivée première et sa dérivée seconde.

Le schéma simplifié ci-dessous montre les différentes phases, de la création de la bulle sur le site de nucléation à son détachement de la paroi:

 

Nous considérons la bulle comme sphérique tout au long de ce processus. Cela implique une hypothèse sur l’étape 3. En effet, nous ne modéliserons pas cette étape où le pied de la bulle est conique. Néanmoins, cette hypothèse est plutôt faible dans la mesure où cette étape est très rapide comparée aux autres.

Nous avons développé un programme pour prédire l’évolution de l’angle en fonction du temps en utilisant l’équation R = f(t,Ja) :

 

On s’aperçoit alors que la valeur limite à laquelle la bulle se détache est atteinte lorsque α et β valent 45°. Cette valeur est vérifiée par les travaux expérimentaux de Maity [6] qui a étudié des détachements de bulle soumis à des écoulements horizontaux. Dans le cas de très faibles vitesses d'écoulements, il trouve des angles α et β égaux et entre 40° et 50°. Si l’on prend la valeur du temps minimal pour lequel α = β = 45° et que l’on reporte cette valeur sur la figure qui donne le rayon en fonction du temps, on peut aisément en déduire le rayon de détachement de la bulle.

Pour obtenir différents tracés, nous pouvons modifier certains paramètres. Cependant, le seul pertinent est la différence de température (Tw-Tsat) dans le nombre de Jacob. En effet, les autres paramètres sont des grandeurs qui évoluent avec la température et la pression,  comme la capacité calorifique ou les masses volumiques. Or nous travaillons ici avec une pression et une température saturante fixe.

Nous vous invitons à consulter les résultats de cette étude 

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