Résolution Numérique

Étude avec écoulement vertical ascendant

Résolution Numérique


Le processus numérique de résolution choisi est de fixer le rayon R puis de résoudre itérativement ces 2 équations afin de déterminer α et β. On peut noter les contraintes physiques sur les angles de notre système:

$$ \alpha>\beta     et    0< (\alpha, \beta) < \frac{\pi}{2} $$

Nous avons tenté de résoudre le problème en utilisant des solveurs numériques implémentés dans Matlab mais cette méthode n’a pas donné de résultats satisfaisants pour des problèmes de stabilité (liée à la raideur du système à résoudre) et d’unicité de solutions. Nous avons donc développé notre propre code.

Nous avons également choisi un critère qui consiste à prendre en compte l’axe x et l’axe y simultanément. Nous devons trouver le couple d’angles α et β qui minimise la somme des carrés des forces normalisées tel que :

$$\normalsize (\alpha , \beta)_{opt} \Leftrightarrow min \huge [ \large ( \normalsize \frac{\sum{F_x}}{max(F_x)}\large)^2 + (\normalsize\frac{\sum{F_y}}{max(F_y)}\large)^2 \huge ] \scriptsize $$

Nous utilisons ce critère quadratique afin de pondérer une éventuelle disproportion de l’intensité des forces selon x et selon y.

Nous résolvons ainsi, de manière itérative, le minimum du critère. Ce programme sous Matlab est construit en cinq étapes majeures :

  1. Écriture des constantes physiques (viscosité, température…) invariants selon le temps et les angles α et β ;
  2. Mise en place d’une première boucle temporelle, écriture du rayon correspondant ;
  3. Mise en place d’une double boucle faisant varier α et β, écriture des forces, de leur somme et du critère : stockage du critère et des angles correspondant s’il est plus petit que le précédent ;
  4. Sortie de la double boucle, stockage des angles et d’autres paramètres pour le temps étudié ;
  5. Sortie de la boucle temporelle, affichage des résultats (forces, angles…).

 

Nous allons à présent comparer nos résultats avec ceux tirés de la thèse de M. Montout [1] et les résultats expérimentaux de l’Université de Californie réalisés par S. Maity [6], pour une étude sur une paroi verticale surchauffée de 1 à 5 K et à des pressions allant de 1 à 155 bars. Nous rappelons que, même si la pression n’apparaît pas de manière explicite dans les relations, beaucoup de grandeurs et de paramètres physiques varient en fonction de la pression (voir annexe).

Nous ferons tout d’abord l’étude d’un cas avec les graphes avant de synthétiser nos résultats dans un tableau puis de les analyser et de voir les forces et faiblesses de notre modèle. Voici les principales conditions en entrée de cette étude:

P = 10 bars

Ubulk = 0,3 m/s

ΔT = 1 K

Le premier graphe présenté est celui de l’évolution des angles α et β en fonction du rayon de la bulle, et donc du temps. On remarque que l’angle α est toujours supérieur à l’angle β, ce qui n’est pas contre-intuitif dans la mesure où c’est l’angle d’avancé qui est soumis le plus fortement à l’écoulement vertical. On peut également souligner que lorsque la bulle atteint un rayon de 0.4 mm, les angles se stabilisent, α atteint 90 degrés, limite qui correspond au détachement de la bulle de la paroi.

Il est important d’obtenir une évolution physique des angles pour pouvoir analyser ensuite les courbes des forces puisque celles-ci dépendent des couples de valeurs pour α et β.

 

Le tracé ci-dessous donne la valeur des forces suivant l’axe parallèle à la paroi ainsi que la somme des forces :

 

Nous pouvons voir que seule la force capillaire joue compense les autres forces. Le bilan des forces est équilibré jusqu’à 0.4 mm de rayon. Après cette limite, le bilan se déséquilibre et la bulle se détache. Le tracé ci-dessous donne la valeur des forces suivant l’axe perpendiculaire à la paroi ainsi que la somme des forces :

 

Sur cet axe, nous remarquons que la force capillaire compense jusqu’à une certaine limite la force aérodynamique de portance. La masse ajoutée, pour des températures de surchauffe assez faible, ne joue qu’un rôle secondaire.

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Nous vous invitons à consulter les résultats et l'analyse de cette étude.