I. Caractéristiques du nuage de cendres


Homogénéité du nuage


Dans cette partie, nous allons nous assurer que le nuage reste homogène pendant que le second avion le traverse. Pour cela, il nous faut calculer la vitesse de sédimentation des différentes particules (vitesse verticale), pour s'assurer qu'elle est négligeable devant celle de l'avion. Cela implique que l'avion traversera le nuage avant que les particules ne retombent sur le sol.

Il nous faut également connaître le temps de relaxation $\tau$ des particules de cendres. En effet, la trajectoire des particules en sortie de l'avion est soumise à un régime transitoire pendant lequel leur déplacement est aléatoire. Puis, lorsque le régime permanent est atteint, leur trajectoire est rectiligne. Si le temps de relaxation des particules est suffisamment petit (3$\tau$ correspond au temps nécessaire pour atteindre le régime permanent), nous pouvons négliger les effets transitoires.

 

Données à 10 km d'altitude

Air Température $T_{air}$ -50°C
Masse volumique de l'air $\rho_{air}$ 0,43 $kg/m^3$
Viscosité dynamique de l'air $\mu_{air}$ $1,445.10^{-5}  Pa.s$
Cendre Rayon des particules $R_{cendre}$ $[0,1 ; 100]  \mu$m
Masse volumique des particules $\rho_{cendre}$ 1000 $kg/m^3$
Avion Vitesse de l'avion $\vec{U}$ 900 km/h ou 250 m/s
Constante Constante gravitationnelle $\vec{g}$ 9,79 $m/s^2$

 

Vitesse de sédimentation

Pour calculer le temps de vie du nuage, il nous faut commencer par calculer les vitesses de sédimentation $V_t$ des particules en fonction de leur rayon. En effet, les grosses particules entraînées par leur poids tomberont plus rapidement que les autres.

On peut décomposer la vitesse des particules $\vec{V_p}$ en deux composantes : une composante horizontale correspondant à l'opposé de la vitesse de l'avion $- \vec{U}$ et une composante verticale, la vitesse de sédimentation $\vec{V_t}$.

On effectue un bilan des forces en utilisant les deux hypothèses suivantes :

  • $\rho_{cendre} >> \rho_{air}$
  • On se trouve dans le régime de Stokes : $Re_p = \frac {2R \rho_{air} V_t} {\mu_{air}}  << 1$

$ m_{cendre} \frac {d \vec{V_p}} {dt} = m_{cendre} \vec{g} + \vec{F_D} $

où $\vec{F_D}$ est la force de traînée des particules.

On obtient :

$ \vec{V_p} = \frac {2} {9} \frac {R_{cendre}^2 \rho_{cendre}} {\mu_{air}} \vec{g} + \vec{U} $

On peut définir $\tau$ le temps de relaxation :

$\tau$ =  $ \frac {2} {9} \frac {R_{cendre}^2 \rho_{cendre}} {\mu_{air}} $

On peut alors chercher les vitesses de sédimentation des particules en fonction de leur rayon, en restant dans l'hypothèse du régime de Stokes.

 

Quelques résultats

Rayon de la particule ($\mu$m)

Vitesse de sédimentation (m/s) Temps de relaxation (s) Nombre de Reynolds de la particule
0,1 1,50.$10^{-6}$ 1,54.$10^{-7}$ 8,96.$10^{-9}$
0,5 3,76.$10^{-5}$ 3,84.$10^{-6}$ 1,12.$10^{-6}$
1 1,50.$10^{-4}$ 1,54.$10^{-5}$ 8,96.$10^{-6}$
5 3,76.$10^{-3}$ 3,84.$10^{-4}$ 1,12.$10^{-3}$
10 1,50.$10^{-2}$ 1,54.$10^{-3}$ 8,96.$10^{-3}$
50 0,376 3,84.$10^{-2}$ 1,12

 

Conclusion

Tout d'abord, on remarque que pour les particules dont le diamètre est égal à 100 µm, l'hypothèse du régime de Stokes n'est plus vérifée.

On trouve une vitesse de sédimentation maximale de l'ordre du décimètre par seconde pour les plus grosses particules (100 $\mu$m). La vitesse de l'avion est de 250 m/s. Les plus grosses particules étant les plus rapides à tomber, on peut en déduire que le nuage sera homogène lors du passage du second avion dans le nuage de cendres. De plus la totalité de l'avion sera dans le nuage avant que celui-ci ne sédimente.

De plus, le temps de relaxation des plus grosses particules est de l'ordre du dixième de seconde ce qui signifie que les particules auront atteint un régime permanent lors du passage de l'avion.