On modélise tous les flux sous la forme: 

$\phi$ = $h_i *(T_{ext}-T_{surface})$

$\phi$: flux surfacique (W/m²)

$h_i$: coefficient de flux convectif (W/(m²​.K) 

Nous avons modélisé les flux de chaleur suivant en se basant sur les hypothèses précédentes:

1) Wochni: $h_{wochni}$ = $3.2*D^{-0.2}*P^{0.8}*T^{-0.55}*w^{0.8}$  (Face supérieure)  (équation tirée de [1])

$P$: Pression des gaz instantanée (donnée expérimentale)​

$T$: Température des gaz instantanée (donnée expérimentale) 

$w$: Vitesse orthoradiale (rotation solide des gaz) , qui dépend du swirl, de la vitesse instantanée du piston et de la phase du cycle

2) Jet impactant: $h_{jet}$=$31.5*\sqrt{RPM}$ (Face inférieure) (équation inspirée de [6])                     

3) Flux latéraux: $h_{parois}$=0

4) Impact du spray: Pendant la durée d'injection on impose un terme puits qui va refroidir localement la surface du piston (au niveau des ellipses) Nous avons par ailleurs supposé un flux constant = 3MW/m2 . En réalité ce flux n'est pas constant mais varie en fonction du début de l'injection. Cette valeur a été extraite de l'article [5]       

Equation de la chaleur:

En faisant l'hypothèse d'une conductivité uniforme $\lambda$ dans le piston:

$ \rho C_p\Large{ \frac{\partial T}{\partial t}} $=$    \nabla .( \lambda \nabla T )  = \lambda \Delta  T$