Equation de la chaleur et Discrétisation

Notre étude étant un problème de conduction instationnaire, le modèle régissant la physique, ici, n'est autre que l'équation de la chaleur :

En faisant l'hypothèse d'une conductivité uniforme $\lambda$ dans le piston:

$ \rho C_p\Large{ \frac{\partial T}{\partial t}} $=$    \nabla .( \lambda \nabla T )  = \lambda \Delta  T$ 

Soit en cylindrique :

$ \Large{ \frac{\partial T}{\partial t}} $=$\Large{ \frac{\lambda}{\rho C_p}(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial T}{\partial r})+\frac{1}{r²}\frac{\partial^2 T}{\partial \theta²}+\frac{\partial^2 T}{\partial z²})}$=$\Large{ \frac{\lambda}{\rho C_p}(\frac{\partial^2 T}{\partial r²}+\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r}+\frac{1}{r²}\frac{\partial^2 T}{\partial \theta²}+\frac{\partial^2 T}{\partial z²})}$

En optant pour un schéma explicite, centré, on obtient :

Les dérivées selon $e_r$ : $ \Large{\Delta_r = \frac{T^n_{i+1,j,k}-T^n_{i-1,j,k}}{2rdr}+\frac{T^n_{i+1,j,k}-2T^n_{i,j,k}+T^n_{i-1,j,k}}{dr²}}$

La dérivée selon  $e_\theta$ : $ \Large{\Delta_\theta =  \frac{T^n_{i,j+1,k}-2T^n_{i,j,k}+T^n_{i,j-1,k}}{r² d\theta²}} $

La dérivée selon $e_z$ : $ \Large{\Delta_z =  \frac{T^n_{i,j,k+1}-2T^n_{i,j,k}+T^n_{i,j,k-1}}{ dz²}} $

$ \Large{T^{n+1}_{i,j,k}=T^{n}_{i,j,k} +\frac{\lambda}{\rho C_p}(\Delta_r+\Delta_\theta+\Delta_z) }$