Formulation des équations

 

 

Dans le puits :

 

 

Le code se base principalement sur la résolution des équations de Navier-Stokes simplifiées,  de l'équation de la chaleur et de certaines lois de fermeture pariétales.

En première approche, on résout le système d'équations en utilisant le modèle homogène qui suppose que la vitesse du liquide et celle de la vapeur produite sont égales. Cette hypothèse sera corrigée par la suite par un facteur de glissement « slip ratio ». Le modèle homogène nous permet de considérer le mélange diphasique comme étant une seule phase en remplaçant les grandeurs de cette phase par celle du mélange.

Dans tous ce qui suit la discrétisation se fait par la méthode de différence finie avec un schéma explicite.

L'équation de quantité de mouvement nous permet de calculer la pression par le biais du calcul de la pression hydrostatique et des pertes de charges.

Les pertes de charges se calculent par la relation :

$ \frac{dp}{dz} = \frac{-\lambda*L*\rho*U^2}{2*Dh*dz} $

Après discrétisation par la méthode de différence finie avec un schéma décentré amont on retrouve l'expression suivante :

$ P_{puits}( k-1 )= P_{puits}( k )-\rho_M*g*dz-\frac{\lambda*L*\rho_M*U²}{2*D} $

Ici on suppose que $ P_{puits}(1) $ correspond à la pression au fond du puits et $ P_{puits}(n_{puits}) $ à celle en tête du puits.

 

L'initialisation de la pression, c'est à dire le champ de pression à l'instant initial, se calcule par la pression hydrostatique et on suppose qu'à l'instant initial il n'existe dans le puits que de l'eau sous forme liquide x=0 

$ P^1_{puits}(k-1)=P^1_{puits}(k)-\rho_{l}*g*dz $

La pression au fond du puits est calculé à travers le calcul de la pression dans le réservoir :

et  $ P^N_{puits}=P_{res}(n_{res}) $

L'équation de la chaleur  nous permet de modéliser le champ de température dans le domaine fluide :

$ \frac{\partial T }{\partial t} + U\frac { \partial T }{\partial z}=D\frac {\partial ²T}{\partial z²} - h *(T(z) - Tp(z))$

Après discrétisation et en utilisant un schéma explicite centré on obtient :

$T^{N+1}(k)=T^N(k)-\frac{U*dt}{dz}(T^N(k+1)-T^N(k))+\frac{D*dt}{dz²}(T^N(k+1)-2*T^N(k)+T^N(k-1)) $ $ -h*dt*(T^N(k)-Tp^N(k))$

Changement de phase :

Condition de début d'ébullition :     $ T(z)>T_{sat}(P(z)) $

 

Hypothèses :

 

- On suppose que la température est égale à la température de saturation pendant l'ébullition    $ T(t,z)=T_{sat}(P(t,z))$

 

Il s'ajoute alors un terme à l'équation de la chaleur, le flux de chaleur du changement de phase,

$Q_{changphase}=G*h_{lg}\frac{ dx}{dz }$ avec $G=Q\frac{(\rho_g*x+\rho_l*(1-x))} {\pi*R²}$

et la température devient égale à la température de saturation

$T(t,z)=T_{sat}(P(t,z))$

L'équation de la chaleur devient :

$ \frac{\partial T }{\partial t}+U \frac{ \partial T }{\partial z}=D \frac{\partial ²T}{\partial z²}$ $- h *(T_{sat}(P(z)) - Tp(z)) - \frac{G*h_{lg}}{\rho C_p}\frac{ dx}{dz }$

ainsi :

$ G*h_{lg}\frac{ dx}{dz }=- U \frac{ \partial T }{\partial z}+D \frac{\partial ²T}{\partial z²} - h *(T_{sat}(P(z)) - Tp(z))$

après discrétisation :

$x^N(k+1)=x^N(k)-\frac{dz}{G*h_lg}(\frac{U} {dz}(T^N(k+1)-T^N(k))$

$+\frac{D}{dz²}(T^N(k+2)-2*T^N(k+1)+T^N(k))-h(T^N(k)-Tp^N(k)))$

On utilise l'expression du modèle homogène de la fraction volumique :

$  R_g(k) = \frac{x(k)}{(x(k)+\frac{\rho_g}{\rho_l}*(1-x(k)))}  $